從取材到命制從解題到再思考

☉福建福州第十一中學(xué)胡鵬程

從取材到命制從解題到再思考

☉福建福州第十一中學(xué)胡鵬程

筆者參加了2016年福州市中考命題工作，其中第26題是一道動態(tài)幾何試題.本題的素材來源于教材，從取材到命制，從解題到再思考，經(jīng)歷了一個不斷思考、學(xué)習(xí)的過程.現(xiàn)將一些思考及感悟與同行交流、分享.

一、試題取材

源自人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊的一個數(shù)學(xué)活動：如果我們身旁沒有量角器或三角尺，又需要作60°、30°、15°等大小的角，可以采用下面的方法（如圖1）.

（1）對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；

（2）再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，同時，得到了線段BN.

觀察所得到的∠ABM、∠MBN和∠NBC，這三個角有什么關(guān)系？你能證明嗎？

簡析：如圖2，連接AN.由對稱性可知∠ABM=∠MBN，且BN=BA.又因為NA=NB，可得△NAB是等邊三角形，所以∠ABM=∠MBN=∠NBC= 30°.

本活動給出了一個利用矩形紙片折出30°角的方法.

圖2

二、思考探究

根據(jù)上述數(shù)學(xué)活動我們有如下思考.

思考1：本活動中兩次折疊分別得到兩個階段性的結(jié)論，第1次折疊得到“EF垂直平分線段AB”，第2次折疊得到“BN=BA”，再由這兩個階段性的結(jié)論推出“△NAB是等邊三角形”.

首先，所有這一系列結(jié)論都與矩形的邊長無關(guān)，屬于“變中的不變”；其次，由于“EF垂直平分線段AB”和“BN=BA”是相互獨立的，那么這兩個階段性的結(jié)論可以獨立推廣.

思考2：對于“BN=BA”這個結(jié)論，從運動元素的主從關(guān)系看，點N是被動點，被點M牽制，點M運動，點N隨之運動；從軌跡的角度看，點N的軌跡其實是一段圓弧.也就是說，點M在AD邊上運動，點N則在以B為圓心，BA長為半徑的圓弧上運動（如圖3）.

圖3

三、試題命制

1.初稿

作為福州中考的“保留曲目”，動態(tài)幾何試題一般都安排在壓軸部分.在平面幾何的背景下，讓圖形中的元素動起來，并用運動的觀點觀察問題，就可以從“一般性”和“特殊性”的角度命制動態(tài)幾何試題.用函數(shù)來描述運動過程中兩個目標(biāo)變量之間的關(guān)系，或探索運動過程中圖形所固有的性質(zhì)，都屬于對“一般性”的考查；而運動過程中，在限定條件下進(jìn)行的計算，或研究滿足某些條件的對象是否存在，則可以說是對“特殊性”考查的主要形式.

上述數(shù)學(xué)活動中，圖形是學(xué)生所熟悉的，對折操作也是常見的，以此為素材命制試題，可以確保試題具有較高的信度.經(jīng)過討論，命題組將活動中的第二次操作確定為命題的核心點.

我們知道，平面內(nèi)確定一個點需要兩個獨立條件.

從“特殊性”的角度看，一方面，由前面的分析可知，“對折”是點N的一個限制條件，對折使得點N在圓弧上運動，只要再設(shè)置一個條件，點N即可確定；另一方面，N、M兩點是相互牽制的，具有對應(yīng)關(guān)系，只要固定其中一個點，另外一個點也隨之確定，限制點N即可對點M進(jìn)行相關(guān)計算，固定點M亦可對點N展開相關(guān)計算，這樣就可生成“特殊性”考查.

從“一般性”的角度思考，如果不增加條件，雖然點N及其運動所產(chǎn)生的量都無法確定，但可以根據(jù)其運動的范圍設(shè)計出取值范圍或最值問題，也就形成“一般性”的考查.如前所述，點M沿著線段AD從A向D運動時，點N在圓弧上運動，射線CN與直線AD的交點F也開始向點D運動，當(dāng)CN與圓弧相切時，點F與點D的距離最近，且恰與點M重合.但是，隨著點M繼續(xù)向右運動，點F則開始“往回走”，并且會落到線段DA的延長線上.考慮到運動過程中，相切這個位置較為特殊，有考查價值，于是將其選為第（3）問的考點；又考慮到點F落在DA的延長線上時，沒法確定最值，我們形成初稿.

如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點A（4，0）、C（0，3），D是邊CB上一點，將△OCD沿直線OD折疊，得到△OED.

（1）當(dāng)OE平分∠AOD時，求CD的長；

（2）當(dāng)CD=1時，求點E的坐標(biāo)；

（3）連接AE并延長，交直線BC于點F，設(shè)點F的橫坐標(biāo)為x，求x的最大值.

圖4

2.定稿

第（1）、（2）兩問其實就是一個由E定D和由D定E的互逆的過程，都屬于“特殊性”的考查，第（3）問探究運動過程中的最值，屬于“一般性”的考查.整道題，基本符合我們的命題意圖，且問題之間還算連續(xù)，大致可以成題.但同時也存在一個致命的問題：坐標(biāo)系給的很不自然.這明明就是一個平面幾何背景下的動態(tài)幾何試題，卻安了一個坐標(biāo)系進(jìn)去，人為的痕跡過于明顯，坐標(biāo)系貌似只是為了第（3）問設(shè)問方便而建立的，其實際意義并不大.

實際上，只需要修改題目的表述，對點F的運動范圍進(jìn)行限制，讓其落在線段BC上就可以把坐標(biāo)系“拿掉”.至于第（2）問，只要點E的位置是確定的，可以計算的量就有很多，完全不受坐標(biāo)系的影響.

經(jīng)過討論，命題組決定去掉坐標(biāo)系，得到如下定稿.

如圖5，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是邊CD上一點，將△ADM沿直線AM對折，得到△ANM.

（1）當(dāng)AN平分∠MAB時，求DM的長；

（2）連接BN，當(dāng)DM=1時，求△ABN的面積；

（3）當(dāng)射線BN交線段CD于點F時，求DF的最大值.

三個小題有不同思維的層次，所設(shè)問題既獨立又相互關(guān)聯(lián)；三個問題或立足初中階段的基本知識，或蘊含初中階段重要的數(shù)學(xué)思想方法；去掉坐標(biāo)系后，第（2）問的難度雖然稍微有所加大，但題目呈現(xiàn)方式自然，而且基本保留了初稿的意圖；第（3）問最值問題的考查有一定的思維量，但計算量不大，體現(xiàn)了多思少算的精神.

圖5

3.進(jìn)一步思考

對于第（2）問，我們給出以下兩種解法.

解法1：如圖6，延長MN交AB的延長線于點Q.

易得△ANM≌△ADM，則∠DMA=∠AMN.又∠DMA=∠MAQ，則∠AMN=∠MAQ，則MQ=AQ.

設(shè)NQ=x，則AQ=MQ=1+x.

在Rt△ANQ中，由AQ2=AN2+NQ2，可列方程（x+1）2= 32+x2.解得x=4.則NQ=4，AQ=5.

圖6

圖7

解法2：如圖7，過點N作PQ∥BC，分別交AB、CD于點P、Q.

設(shè)MQ=m，則NP=3m，則AP=1+m，QN=3-3m，可列方

雖然題目本身沒有問題，但在確定第（3）問的解答時又遇到一個問題：為什么BN與弧相切時DF最大？應(yīng)該怎么說明？

從幾何直觀的角度的確能判斷出BN與弧相切時，DF有最大值，通過幾何畫板也可以得到驗證.但直觀歸直觀，它只是解題時一個方向性的判斷，不能作為最終的依據(jù).作為解答，我們需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评怼⒀菟?在命制動態(tài)幾何試題時，很多命題者喜歡用“最值”或“取值范圍”問題來壓軸.不可否認(rèn)，“最值”或“取值范圍”問題即使是在高中也具有較強的選拔功能，但在初中階段往往存在一個尷尬的情況：這兩類問題的很多解答都采用直觀代替演繹推理的做法.筆者認(rèn)為這種做法不值得提倡.雖然直觀很重要，但其始終不能代替邏輯推理.這是因為：數(shù)學(xué)是用抽象的眼光從客觀世界的物體中提取幾何圖形進(jìn)行研究，因此我們所研究的幾何圖形比它們的現(xiàn)實原型更一般、更純粹，這就需要具有一般性和抽象性的方法，如果沒有邏輯推理，只依靠直觀，對圖形的認(rèn)識將難以深入，也不利于學(xué)生的長期發(fā)展.

命題組嘗試著給出下列兩種解法.

解法1：如圖8，過點A作AH⊥BF于點H.則AH≤AN，則sin∠ABF=≤.則當(dāng)點N、H重合（即AH=AN）時，∠ABF的度數(shù)最大，DF最大，此時點M、F重合，B、N、 M三點共線（如圖9）.則BH=.

圖8

圖9

圖10

解法2：如圖10，過點N作NP⊥AB于點P.

由關(guān)于x的方程（k+1）x2-8kx+（16k-9）=0有實數(shù)根，得判別式△=（-8k）2-4（k+1）（16k-9）≥0，解得k≤.大且最大值為4-.

其他的一些解法，不是有“超綱”的嫌疑就是仍屬于“幾何直觀”.上述這兩種解法勉強說得過去，但畢竟不是通法，始終拿不出一個理想的解決方案.

重新分析，發(fā)現(xiàn)本題的運動過程中還存在著一個不變量——△ABF的面積.在M的運動過程中，△ABF的面積始終等于矩形ABCD面積的一半.三角形的面積保持不變不就是反比例的模型嗎？如圖11，過點A作AH⊥BF于點H，連接AF.由于面積不變，所以AH與BF的乘積也就保持不變，即BF與AH成反比例函數(shù)關(guān)系，當(dāng)AH最大時，BF取最小值.又因為AH≤AN，所以當(dāng)點H與點N重合時，AH最大，此時BF最小，進(jìn)而可得CF最小，推出DF最大.

圖11

本題中，在點M的運動過程中產(chǎn)生了BN、BF、AH、CF、DF等多個變量.我們知道，在解決多個變量的問題時，可以分析這些變量之間的關(guān)系，從中選取一個取值能影響其他變量的值的變量作為自變量，然后根據(jù)問題的條件尋求可以反映實際問題的函數(shù)，以此作為解決問題的數(shù)學(xué)模型.借助函數(shù)這個研究變量的工具，本題的解題思路顯得更加清晰.這樣一來，第（3）問就體現(xiàn)了用函數(shù)的觀點分析運動過程中的變量，學(xué)生需要經(jīng)過分析，選擇AH為自變量，建立BF與AH之間的函數(shù)，通過反比例函數(shù)，分析點M運動過程中，BF隨AH變化而變化的牽制關(guān)系，從而使問題得以解決.這更加符合我們預(yù)設(shè)的“一般性”的考查目標(biāo)，于是得到下列解法.

圖12

由AH≤AN=3，得當(dāng)點N、H重合（即AH=AN）時，DF最大.（AH最大，BF最小，CF最小，DF最大）此時點M、F重合，B、N、M三點共線.由△ABH≌△BFC，可得CF=BH=，則DF的最大值為4-.

四、寫在最后

對于命制單一的一道題而言，有幾個關(guān)鍵點值得注意：選取素材，設(shè)計問題，制定解答.在素材選取方面，各地有各自的做法，但一些經(jīng)典題目或教材中的題目往往受到命題者青睞；選中素材后，對素材進(jìn)行研究、改造、變式，設(shè)計出適宜的問題；選取素材和設(shè)計問題這兩個環(huán)節(jié)固然重要，但制定解答這個環(huán)節(jié)也不可忽視，因為解答是對所設(shè)計問題的一個檢查，它既要考慮到所用方法是否“超綱”，還應(yīng)兼顧到解法的多樣性及普適性.另外，試題的解答在一定程度上也會對教學(xué)起到導(dǎo)向作用.

1.胡鵬程.2013年福州卷第21題的命制與感悟［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（8）.Z