一道幾何新定義中考題的命制思考

☉浙江衢州市衢江區(qū)杜澤鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)徐建兵

一道幾何新定義中考題的命制思考

☉浙江衢州市衢江區(qū)杜澤鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)徐建兵

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）2011版》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》，指出：學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程.除接受學(xué)習(xí)外，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程.在此背景下出現(xiàn)了一種“幾何新定義”熱門題型，它在近年中考中層出不窮.圖形新定義是幾何新定義題型中的一種，通常是根據(jù)圖形的特征給出一個(gè)考生從未接觸的新概念，要求考生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，其目的在于考查考生的閱讀理解能力、接受能力、應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力，考查學(xué)生自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)探究的品質(zhì)，此類題型集應(yīng)用性、探索性和開放性于一體，體現(xiàn)幾何考查的核心素養(yǎng)：觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明.筆者有幸參加了衢州市2016年中考試卷命題工作，在此與大家分享.

一、原題呈現(xiàn)

溫馨提示：可通過畫一畫、量一量、算一算等方法,思考后作出猜想.

題目：（2016·衢州第23題）如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫作垂美四邊形.

（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問：四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說明理由.

（2）性質(zhì)探究：探索垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB、CD與BC、AD之間的數(shù)量關(guān)系，猜想結(jié)論：_________（要求用文字語言敘述），寫出證明過程（先畫出圖形，寫出已知、求證）.

圖1

圖2

圖3

（3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接BG、CE、GE.已知AC=4，AB=5，求GE的長(zhǎng).

二、命制過程

1.選圖定形

新定義中的圖形在具有一定的特殊性的同時(shí)還需要有一定的公平性，這是中考幾何新定義題型選圖的基本原則.對(duì)角線互相垂直的四邊形是四邊形里面比較特殊的一種，它源于課本、高于課本，由于它對(duì)角線垂直這一特殊性可以產(chǎn)生許多它獨(dú)有的特性，如面積等于對(duì)角線乘積的一半、四邊中點(diǎn)圍成的四邊形是矩形，還有兩組對(duì)邊的平方和相等等，具有一定的研究?jī)r(jià)值.這種圖形在衢州市2016年適性應(yīng)練習(xí)的第六份第23題出現(xiàn)過，研究的是面積等于對(duì)角線乘積的一半和四邊中點(diǎn)圍成的四邊形是矩形這兩個(gè)特殊性，所有考生都熟悉，在選擇圖形方面具有一定的公平性.讓學(xué)生根據(jù)定義去探索兩組對(duì)邊的平方和相等這一性質(zhì)是學(xué)生創(chuàng)新思維的體現(xiàn)，考查學(xué)生的幾何核心素養(yǎng).

2.立意定題

由概念的理解到性質(zhì)的探究和應(yīng)用是幾何圖形概念教學(xué)的一個(gè)過程，抓住這種四邊形對(duì)角線垂直中“垂”的特性，新定義為“垂美四邊形”.依據(jù)幾何教學(xué)中概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié)，命題組給出問題的順序：定義→判定→應(yīng)用，因此命題組設(shè)問的思路也依“識(shí)別→探究→應(yīng)用”之序展開，這樣更能體現(xiàn)幾何考查的核心素養(yǎng)：觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明.命題組針對(duì)概念理解進(jìn)行設(shè)問：“（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問：四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說明理由；”因第（1）問中的圖形是一種含有鄰邊相等的對(duì)稱特殊“垂美四邊形”，為防止學(xué)生在探求性質(zhì)時(shí)產(chǎn)生誤導(dǎo)，本題在下定義時(shí)給出了一個(gè)普通的“垂美四邊形”（如圖1）.命題組針對(duì)兩組對(duì)邊平方和相等的性質(zhì)探究進(jìn)行問題設(shè)置，初稿定為“探索垂美四邊形ABCD四邊的數(shù)量關(guān)系，寫出證明過程”.這是一個(gè)從猜想結(jié)論到推理的過程，考慮到這樣設(shè)問方向性不夠明確，難度太大，命題組進(jìn)行了修改，定稿為“探索垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB、CD與BC、AD之間的數(shù)量關(guān)系，猜想結(jié)論：________（要求用文字語言敘述），寫出證明過程（先畫出圖形，寫出已知、求證）”.這樣指向性明確，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一性質(zhì)，同時(shí)要求學(xué)生用文字語言進(jìn)行敘述又體現(xiàn)了考查學(xué)生符號(hào)語言與文字語言的相互轉(zhuǎn)化.第（3）問是綜合應(yīng)用，命題組希望這一問能包含基本技能的考查，想由圖2直接延展出去，但因圖2是一種特殊的垂美四邊形，難以把本性質(zhì)應(yīng)用起來，命題組轉(zhuǎn)換命題思路，想到圖形中最為基本的旋轉(zhuǎn)變換，利用三角形的旋轉(zhuǎn)構(gòu)造圖4所示的模型，在四邊形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)F，構(gòu)造三個(gè)等腰直角三角形△ABF、△CDF和△BCF，已知BC=2，求AD的長(zhǎng)，這和預(yù)設(shè)的技能有一定差距，命題組想到把等腰直角三角形補(bǔ)充成正方形（如圖5）.命題組研究發(fā)現(xiàn)可借助直角三角形的性質(zhì)把各種關(guān)系聯(lián)系成一體，并且突出了第（2）問中探究的性質(zhì)，因此決定把△ABC變成直角三角形（如圖6），命制出問題（3）：“分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接BG、CE、GE.已知AC=4，AB=5，求GE的長(zhǎng).”這樣使得第（3）問更加豐滿，學(xué)生通過構(gòu)造并利用垂美四邊形的性質(zhì)解決問題，把全等三角形、直角三角形和正方形等知識(shí)圍繞著垂美四邊形性質(zhì)的應(yīng)用有機(jī)結(jié)合在一起.

圖4

圖5

圖6

三、解題分析

此類題型的破題策略是：仔細(xì)閱讀分析材料，捕捉相關(guān)信息，緊扣定義的核心，圍繞定義與條件，結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，通過猜想、歸納、探索、推理，發(fā)現(xiàn)解題方法，然后解決問題.

1.概念理解抓關(guān)鍵

第（1）問的破題關(guān)鍵是概念中的核心“對(duì)角線互相垂直”，因此解題思路是要設(shè)法去證明所給四邊形對(duì)角線互相垂直，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生連接AC和BD，可以由到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，得到A、C兩點(diǎn)都在BD的垂直平分線上，兩點(diǎn)確定一條直線，得到AC⊥BD，完成本小題的證明.本題證明方法多樣，讓不同思維的學(xué)生有展示自我的空間，但最終推理都需要回到對(duì)角線互相垂直這一概念的核心上，才能加以解決.

2.定義核心探性質(zhì)

第（2）問性質(zhì)的探究，在尋找垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB、CD與BC、AD之間的數(shù)量關(guān)系性質(zhì)探究中，首先學(xué)生考慮的是對(duì)邊之和相等這一猜想，通過圖1中對(duì)邊長(zhǎng)度的測(cè)量和計(jì)算，發(fā)現(xiàn)不成立，通過畫一畫、量一量、算一算等方法對(duì)自己的猜想進(jìn)行一一排除，使學(xué)生產(chǎn)生困惑，引導(dǎo)學(xué)生回歸概念，分析定義的核心對(duì)角線互相垂直與結(jié)論之間的關(guān)系，讓學(xué)產(chǎn)生“垂直與邊長(zhǎng)”的知識(shí)間的聯(lián)想，想到勾股定理的知識(shí)，嘗試連接對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，利用勾股定理分別表示出四個(gè)直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系：①AB2=OA2+OB2，②BC2=OB2+ OC2，③CD2=OC2+OD2，④AD2=OA2+OD2.對(duì)這四個(gè)式子進(jìn)行對(duì)比研究，結(jié)合兩組對(duì)邊AB、CD與BC、AD之間的關(guān)系，想到AB2+CD2=BC2+AD2，再把符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為文字語言，即兩組對(duì)邊的平方和相等.

3.應(yīng)用性質(zhì)解問題

如圖7，直觀發(fā)現(xiàn)BG⊥CE，引發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性地連接CG和BE構(gòu)造垂美四邊形，在這個(gè)四邊形中，三邊長(zhǎng)BC=3，CG=4，BE=5，根據(jù)垂美四邊形兩組對(duì)邊平方和相等的性質(zhì)求得這是本題解決問題的常規(guī)思路，也是命題者的意圖，實(shí)則本題還有其他解法.本題構(gòu)題的核心是旋轉(zhuǎn)變化，因此可如圖8所示將Rt△ACB繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得Rt△AEC′，這樣就構(gòu)造新的Rt△GEC′，根據(jù)勾股定理GE2=C′G2+C′E2=64+9=73，得EG=，這樣可以給不同思維的學(xué)生不同的展示舞臺(tái).

圖7

四、類比思考

在2016年浙江省各市的中考試題中，除了衢州地區(qū)，還有多個(gè)地區(qū)出現(xiàn)了幾何新定義型題目.

題1：（2016·舟山第23題）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫作“等鄰角四邊形”.

（1）概念理解：請(qǐng)你根據(jù)上述定義舉一個(gè)等鄰角四邊形的例子.

（2）問題探究：如圖8，在等鄰角四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD、BC的中垂線恰好交于AB邊上一點(diǎn)P，連接AC、BD，試探究AC與BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖8

圖9

圖10

（3）應(yīng)用拓展：如圖9，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，將Rt△ABD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a（0°＜∠a＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如圖10），當(dāng)凸四邊形AD′BC為等鄰角四邊形時(shí)，求出它的面積.

題2：（2016·臺(tái)州第23題）定義：有三個(gè)內(nèi)角相等的四邊形叫三等角四邊形.

（1）三等角四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范圍.

（2）如圖11，折疊平行四邊形紙片DEBF，使頂點(diǎn)E、F分別落在邊BE、BF上的點(diǎn)A、C處，折痕分別為DG、DH.求證：四邊形ABCD是三等角四邊形.

圖11

（3）三等角四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB= CD=4，則當(dāng)AD的長(zhǎng)為何值時(shí)，AB的長(zhǎng)最大，其最大值是多少？并求此時(shí)對(duì)角線AC的長(zhǎng).

【思考】這兩題與衢州卷第23題類似，給出的概念非常簡(jiǎn)潔，題1是2015年舟山中考“等鄰邊四邊形”的變遷題,雖然圖形只差一個(gè)字，但考查的知識(shí)點(diǎn)截然不同，這也是新定義幾何題的妙處之一.題2則主要從概念理解與特殊性探究上進(jìn)行設(shè)問，但破題的關(guān)鍵都在概念的核心上.題2中第（1）問為第（3）問作了鋪墊作用,根據(jù)（1）問中的范圍分別從銳角、鈍角和直角進(jìn)行分類研究.

題3：（2016·寧波第25題）從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫作這個(gè)三角形的完美分割線.

（1）如圖12，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40°，∠B=60°，求證：CD為△ABC的完美分割線；

（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)；

圖12

圖13

【思考】與以上幾題相比，本題定義相對(duì)比較復(fù)雜，需要學(xué)生有一定的閱讀能力，需要學(xué)生認(rèn)真閱讀定義，運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵還是概念的理解.

五、題后感悟

從以上2016年浙江4個(gè)地區(qū)同一年出現(xiàn)幾何新定義題型可以看出這種題型的熱門程度，此類型題要求學(xué)生不僅要從語義上閱讀理解每一個(gè)句子的含義，更需要深層次挖掘定義的核心，需要學(xué)生有一定的閱讀能力.同時(shí)在性質(zhì)的探究上，要求學(xué)生能進(jìn)行猜想、歸納、探索、推理，要有合情推理和演繹推理能力，要求學(xué)生有較高的自主學(xué)習(xí)與創(chuàng)新能力，在性質(zhì)的應(yīng)用方面，需要學(xué)生有一定的綜合應(yīng)用能力，找到知識(shí)之間的相互聯(lián)系，通過轉(zhuǎn)化解決問題.“新定義”題型主要是對(duì)學(xué)生綜合應(yīng)用和靈活遷移能力的一種檢測(cè).對(duì)于這類新型題，學(xué)生應(yīng)仔細(xì)閱讀材料，找出相關(guān)信息，正確理解定義，并結(jié)合所學(xué)知識(shí)進(jìn)行探索、歸納和推理，從而發(fā)現(xiàn)解題方法，最終靈活解決問題.因此在課堂教學(xué)中應(yīng)注意以下幾點(diǎn).

1.培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力

閱讀能力是自學(xué)能力和審題能力的表現(xiàn)，是解決問題的基本保障.對(duì)于新定義題，需要仔細(xì)閱讀，理解新定義的核心和內(nèi)涵.許多學(xué)生解題錯(cuò)誤的原因是對(duì)題意理解有偏差，而數(shù)學(xué)學(xué)得好的學(xué)生，其閱讀理解能力要比一般學(xué)生強(qiáng)，他們讀得明白，理解準(zhǔn)確.因此，教師在教學(xué)中應(yīng)重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀理解能力的培養(yǎng).

2.學(xué)會(huì)知識(shí)之間的遷移

幾何新定義題在結(jié)構(gòu)上有很多的相似之處，包括概念的理念、性質(zhì)的探究和應(yīng)用等方面，因此要解決此類題型，需要學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)所學(xué)知識(shí)的再遷移.在教學(xué)中，教師不但要教給學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，還要注意培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移能力.遷移能力是指在學(xué)習(xí)者已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，對(duì)所要學(xué)習(xí)的新知識(shí)的一種接受.有了接受，必然就有反饋.反饋，簡(jiǎn)單地說就是現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用的能力.依托學(xué)生的已有知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生自覺接受新知識(shí)提供一個(gè)切入點(diǎn)，使新知識(shí)的生成與發(fā)展基于學(xué)生熟悉的某個(gè)情境，為學(xué)生的實(shí)踐運(yùn)用與后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

3.注重幾何直觀能力的培養(yǎng)

有人把直覺思維譽(yù)為偉大發(fā)現(xiàn)的源泉，足見直覺思維的重要性.直覺思維水平的高低取決于幾何直觀能力所處的層次.因此，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力成為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù).所謂“幾何直觀”，就是借助見到的或想到的圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知.幾何直觀既是一種捕捉圖式信息的直觀能力，更是一種不講道理的思維方式，是“從天而降”“突如其來”的頓悟或理解.而這種幾何新定義問題的解決離不開幾何直觀，對(duì)于數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系的探究更加需要這種幾何直觀意識(shí)，需要這種靈感，需要善于從圖形中直觀地去發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的聯(lián)系，完成方法的拓展、延伸與深化.

4.注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透教學(xué)

思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、規(guī)律的一種本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)的精髓，是學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，是知識(shí)轉(zhuǎn)化成能力的橋梁.教師在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透.教學(xué)中要在概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理的學(xué)習(xí)過程中適時(shí)滲透，讓學(xué)生在掌握表層知識(shí)的同時(shí)，又能領(lǐng)悟到深層的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生的思維產(chǎn)生質(zhì)的飛躍.在平時(shí)的教學(xué)過程中，我們要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)過程，而并非是讓學(xué)生去機(jī)械地記憶問題的結(jié)論，讓學(xué)生在探索過程中親身體驗(yàn)創(chuàng)造性思維活動(dòng)中所經(jīng)歷和應(yīng)用到的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法具有隱性的特點(diǎn)，它隱于知識(shí)內(nèi)部，它的形成是一個(gè)逐步滲透的長(zhǎng)期過程，必須以數(shù)學(xué)問題為載體，經(jīng)過循序漸進(jìn)和反復(fù)訓(xùn)練，才能使學(xué)生真正有所領(lǐng)悟.

5.注重基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的經(jīng)累

《標(biāo)準(zhǔn)》提到：“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo).”一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)成功與否關(guān)鍵不在于他掌握多少知識(shí)，而在于他所積累的成功經(jīng)驗(yàn)，并在所積累的成功經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上所形成的思維方式.以上四個(gè)典型考題都是命題者通過新定義一類新圖形后，從定義到性質(zhì)與應(yīng)用展開，這就需要學(xué)生通過自己平時(shí)所積累的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)才能解決.然而，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不是一朝一夕就能形成的，需要在“做”和“思考”的過程中沉淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中逐步積累的.這就需要教師在平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)中有意識(shí)地進(jìn)行引導(dǎo).

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