幾何綜合題研究：從思路貫通到教學(xué)微設(shè)計(jì)

☉江蘇省徐州市第十三中學(xué)孟慧

幾何綜合題研究：從思路貫通到教學(xué)微設(shè)計(jì)

☉江蘇省徐州市第十三中學(xué)孟慧

幾何綜合題作為中考試卷的最后一題來“壓軸”，這在全國各地中考試卷中并不多見.筆者關(guān)注到有些省市近年來中考試卷常常設(shè)計(jì)一道頗有區(qū)分度的純幾何綜合題作為最后一道，考題涵蓋了豐富的初中幾何內(nèi)容，有效考查了幾何圖形分離、識(shí)別、構(gòu)造、聚焦、轉(zhuǎn)化能力，達(dá)到了較好的區(qū)分選拔功能.本文選取某地中考最后一題，給出思路突破和解后反思，并構(gòu)思教學(xué)“微設(shè)計(jì)”，提供研討.

圖1

一、考題及思路突破

考題（2016年某省中考卷第23題）如圖1，A、B分別在射線OM、ON上，且∠MON為鈍角，現(xiàn)以線段OA、OB為斜邊向∠MON的外側(cè)作等腰直角三角形，分別是△OAP、△OBQ，C、D、E分別是OA、OB、AB的中點(diǎn).

（1）求證：△PCE≌△EDQ.

（2）延長PC，QD交于點(diǎn)R.

①如圖2，若∠MON=150°，求證：△ABR為等邊三角形；

圖2

圖3

1.思路突破

（1）根據(jù)很多中點(diǎn)的信息，可以解讀出CE是△AOB的中位線，DE也是△AOB的中位線，即CE∥OB，CE=OB，DE∥AO，DE=AO.再結(jié)合△AOP、△CBQ是等腰直角三角形，可得CE=OD=QD，DE=OC=PC.

現(xiàn)在距離△PCE與△EDQ全等，還缺少一個(gè)條件！

繼續(xù)利用上面的中位線性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)平行四邊形OCED，它的對角∠ECO=∠EDO，再結(jié)合∠PCO=∠QDO=90°，可得∠PCE=∠QDE.于是可以根據(jù)“SAS”（CE=QD，∠PCE=∠QDE，DE=PC）證出△PCE≌△EDQ.

（2）如圖4，延長PC，QD交于點(diǎn)R后，可以運(yùn)用PR垂直平分AO，QR垂直平分BO，連接OR，可得AR=BR，即△ABR是等腰三角形.

圖4

圖5

①根據(jù)軸對稱性質(zhì)，∠ARO=2∠CRO，∠BRO= 2∠ORD，即∠ARB=2∠CRD.再把目光聚焦在四邊形OCRD中，∠OCR=∠ODR=90°，∠CRD+∠COD=180°，所以∠CRD=30°.于是∠ARB=60°，再結(jié)合上面已證得的AR=BR，故△ABR是等邊三角形.

②由△ARB∽△PEQ（上面的求證過程已知它們都是等腰三角形），可以確認(rèn)頂角∠ARB=∠PEQ.主要難點(diǎn)是這兩個(gè)頂角有無特殊？是否為一個(gè)特殊角度？讓我們把圖形中的線段簡化，把目光鎖定在相對簡潔一些圖形中，如圖5，由平行四邊形OCED的性質(zhì)，可得∠ACE=∠CED.再結(jié)合△PCE≌△EDQ，有∠CPE=∠DEQ，∠CEP=∠DQE，而根據(jù)△CPE的外角性質(zhì)，有∠RCE=∠CPE+∠CEP，這樣經(jīng)過代換可得∠ACR+∠RCE=∠ACR+∠CPE+∠CEP=∠CED=∠CEP+∠PEQ+∠DEQ，即∠PEQ=∠ACR=90°.這是一個(gè)非常重要的進(jìn)展，隨之可確定∠ARB=90°，∠CRD=30°，∠MON=135°，相應(yīng)地可發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P，O，B在同一直線上.

圖6

2.解后反思

這是一道純幾何綜合題，涉及全等、相似、平行四邊形、三角形中位線等幾何知識(shí)，由于圖形線條繁多，造成分離、聚焦圖形有一定的障礙，以下從主要障礙點(diǎn)的角度分析幾處重要的障礙點(diǎn).

障礙點(diǎn)之一：圖形線段繁雜、條件堆砌，造成閱讀理解不暢.

從第（1）問開始，圖1就是線段繁多，讓很多幾何適應(yīng)性偏弱的學(xué)生難以讀下去，理解上也有困難.兩個(gè)待證三角形的兩組邊仔細(xì)分析還可以溝通相等，但邊的夾角相等卻有一定的困難.

障礙點(diǎn)之二：發(fā)現(xiàn)△ABR是等腰三角形.

在圖2中，生成的△ABR是一個(gè)特殊三角形（等腰三角形），需要結(jié)合PC、QD與OA、OB的特殊位置關(guān)系（垂直平分），來推出AP=BR.這對于后續(xù)問題的推理有重要的奠基作用.

障礙點(diǎn)之三：發(fā)現(xiàn)∠AEQ是直角.

最后一問只給了一個(gè)相似的條件，而需要探究∠MON的度數(shù).將圖形往特殊位置或特殊角度猜想是必要的.沿此方向，想到∠AEQ是一個(gè)特殊角度（直角），并使之成為破解最后一問的關(guān)鍵點(diǎn).

二、解題教學(xué)“微設(shè)計(jì)”

教學(xué)環(huán)節(jié)一：特殊圖形，熱身練習(xí)

例1如圖7，∠MON=135°，在邊OM、ON上分別取點(diǎn)A、B，分別以O(shè)A、OB為斜邊作等腰直角三角形OAP和等腰直角三角形OBQ.

圖7

（1）點(diǎn)P、O、B在同一直線上嗎？

（2）連接AB，點(diǎn)A、P、Q、B是否在同一個(gè)圓上？如果在，請指出圓心的位置；如果不在，說明理由.

（3）分別取OA、OB的中點(diǎn)C、D，設(shè)射線PC、QD交于點(diǎn)R，求∠PRQ的度數(shù).

（4）連接AB，取AB的中點(diǎn)為E，猜想△PEQ的形狀，并說明理由.

設(shè)計(jì)意圖：在特殊角度（∠MON=135°）的背景下，研究一些可能的問題，為學(xué)生理解“考題”第（2）問做些鋪墊和準(zhǔn)備.

教學(xué)環(huán)節(jié)二：旋轉(zhuǎn)變換，繼續(xù)探究

例2如圖8，∠MON是一個(gè)鈍角，點(diǎn)A、B在邊OM，ON上，分別以O(shè)A、OB為斜邊作兩個(gè)等腰Rt△OAP、Rt△OBQ.取OA、OB中點(diǎn)C、D，設(shè)射線PC、QD交于點(diǎn)R，連接AP，AB，BR.

圖8

（1）求證：AR=BR.

（2）小南同學(xué)經(jīng)過演算，發(fā)現(xiàn)∠CRD與∠MON互為補(bǔ)角.請判斷“小南的發(fā)現(xiàn)”是否正確？

（3）小舟同學(xué)發(fā)現(xiàn)：在圖8中，取AB的中點(diǎn)E，還可證出△PEQ是等腰直角三角形.請判斷“小舟的發(fā)現(xiàn)”的真假，并說明理由.

（4）在“小舟發(fā)現(xiàn)”的基礎(chǔ)上，若△ARB∽△PEQ，求證AB=PQ.

圖9

教學(xué)環(huán)節(jié)三：聽課檢測，變式再練

聽課檢測題：如圖9，△ABC與△BDE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠BED=90°，連接AD，取AD中點(diǎn)M，連接CM，ME.

（1）當(dāng)C、B、D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求證：CM=ME.

（2）分別作△ABC與△BDE的高CF、EG，連接FM，GM，求證：△CFM≌△MGE.

（3）在（2）的條件下，若射線CF、EG交于點(diǎn)N，連接AN，DN，求證：AN=DN.

（4）設(shè)△ABC與△BDE的高CF、EG所在直線交于N點(diǎn)，連接AN，DN.

①當(dāng)△AND為等邊三角形時(shí)，求∠ABD的度數(shù)；

②當(dāng)△AND∽△CME時(shí)，求AD CE的值.

三、寫在最后

純幾何綜合題作為全卷最后一題，又不得“超標(biāo)”出現(xiàn)初中階段沒有學(xué)過的一些平幾中較難的定理，那就需要在解題層次上不斷增加，也就出現(xiàn)了像上文考題這樣的繁雜圖形，也使得問題的起點(diǎn)偏高，少部分?jǐn)?shù)學(xué)適應(yīng)性弱的考生可能就直接選擇放棄.這讓筆者想起初中有理數(shù)運(yùn)算中的如下兩種算式：

根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，即使有理數(shù)運(yùn)算這一章學(xué)完之后，能成功把這兩道算式準(zhǔn)確、快速算出來的學(xué)生也不會(huì)超過一半，而逐個(gè)展開，有序地讓他們訂正后，又往往會(huì)成功算出.這說明學(xué)生在面對綜合多次、解題層次增多后，常常容易顧此失彼，受阻某一環(huán)節(jié)或某一步驟之后，也就最終不能貫通問題.這是不是也提醒我們，在限時(shí)檢測的“高利害”考試命題中，對于增加解題層次這一命題技術(shù)的控制也要謹(jǐn)慎呢？一方面是數(shù)學(xué)求簡的本質(zhì)追求，另一方面也是把教學(xué)導(dǎo)向“多想少算”的追求吧！

1.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

2.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3.夏盛亮.引導(dǎo)回歸教材，倡導(dǎo)開放取向——一次縣級期末卷的命題取向分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（1）.

4.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1，2，3）.H