蘊涵厚重，關注思維——2016年浙江溫州市中考壓軸題賞析

☉浙江溫州市教育教學研究院黃新民

蘊涵厚重，關注思維——2016年浙江溫州市中考壓軸題賞析

☉浙江溫州市教育教學研究院黃新民

動態(tài)幾何題是歷年中考的熱點題型，備受一線數(shù)學教師的關注.筆者以自己命制的2016年溫州市中考數(shù)學壓軸題為例，結合試卷答題情況，以饗讀者.

一、題目與解

如圖1，在射線BA、BC、AD、CD圍成的菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6.O是射線BD上一點，⊙O與BA、 BC都相切，與BO的延長線交于點M.過M作EF⊥BD交線段BA（或AD）于點E，交線段BC（或CD）于點F.以EF為邊作矩形EFGH，點G、H分別在圍成菱形的另外兩條射線上.

（1）求證：BO=2OM.

（3）當HE或HG與⊙O相切時，求出所有滿足條件的BO的長.

解：（1）如圖1，設⊙O切AB于點P，連接OP，則∠OPB= 90°，得∠ABD=∠ABC=30°.所以BO=2OP=2OM.

圖1

圖2

（2）如圖2，當點E在邊AB上時，由條件得BD=18.

如圖3，當點E在邊AD上時，由對稱性，得BM=3x=18-6=12，所以x=4.

圖3

綜上所述，⊙O的半徑是2或4.

（3）當點E在邊BA上時，顯然不存在HE或HG與⊙O相切.

圖4

圖5

①當點E在邊AD上時，如圖4，當HE與⊙O相切時，設EM=x，則DM=x.因為3x+x=18，所以x=9-3，即B0=18-6

如圖5，當HG與⊙O相切時，由對稱性，得ON=OM， BN=DM，所以BO=BD=9.

②當點E在邊AD的延長線上時，如圖6，當HG與⊙O相切時，設MN=2x，所以BN=x，所以DM=GN=BN=x，所以D與O重合.所以BO=BD=18.

圖6

圖7

二、第（2）（3）問解法探究

1.第（2）問解法探究

當點E在邊AB上時，下面給出幾個不同于命題者的解答方法.

思路一：根據(jù)S矩形=EF·EH列方程.

另解1：如圖8，由條件得BD=18，BM=3x，BE= 2x，得AE=6-2x.利用△AEH∽△ABD得=，則EH=18-6x.列方程得（18-6x）·2x= 24，再求解.

另解2：如圖8，利用Rt△AEP的三角函數(shù)關系表示出EP=9-3x，則EH=18-6x，列方程得（18-6x）·2x= 24，再求解.

圖8

圖9

思路二：根據(jù)S菱形=54列方程.

類似地，如圖9，還可以根據(jù)S四邊形EMPH=12、

S四邊形EMIN=6等列方程.

思路四：根據(jù)BD=18列方程.

思路五：根據(jù)MI=EN列方程.

思路七：根據(jù)AI2+BI2=AB2列方程.

另外，根據(jù)不同的設元還可以得到不同的方程求解.

2.第（3）問解法探究

當點E在邊AD的延長線上時，當HG與⊙O相切時，給出不同于命題者的解答思路.

思路一：根據(jù)PH=ME列方程.

另解1：如圖10，由條件得DM=3r-18.在Rt△DME中，ME=.在Rt△BPH中，BP=r，則PH=.列方程得

圖10

圖11

思路二：根據(jù)BP=DM列方程.

另解2：可證明△BPH≌△DME，則DM=BP.由條件得DM=3r-18，列方程得3r-18=r，再求解.

當點E在邊AD的延長線上時，當HE與⊙O相切時，下面給出不同于命題者的解答思路.

思路一：根據(jù)OK=OH+HK=r列方程.

另解1：如圖11，由條件可得HE=18，所以HL=18-r，則NO=18-r，則IO=36-2r.因為HL=KH，可證△NIO≌△KIH，則IH=IO=36-2r，則IK=18-r，列方程得（36-2r）+（18-r）=r，再求解.

另解2：如圖11，由條件得HL=18-r.在Rt△BOP中，

類似地，還可以根據(jù)HL=NO列方程求解.

另解3：如圖11，由條件得HL=18-r.在Rt△HLP中，再求解.

三、亮點評析

本題構圖優(yōu)美，像一條縱身一躍的美人魚.命題者在固定的菱形中，設置兩個相互依賴的變化圖形：圓和矩形，并以圓為主動帶動矩形的變化.在整個變化過程中，隨著點O的運動，圓逐漸變大，由于矩形的四個頂點可以落在菱形所在的射線上，從而使矩形的變化“神出鬼沒”，反復經(jīng)歷三次從有到無的過程.第（1）問考查特殊角的三角函數(shù)關系，第（2）（3）問重點考查學生分析，解決動點問題的能力.在點O從B點出發(fā)，沿射線BD運動時，變化的量有半徑的長度，HE、HG、GF與圓的位置關系，△AHE、△GCF、△HBG、△EFD和四邊形HGFE的面積.命題者選取了變化中的特殊情況進行考核：當矩形EFGH的面積等于某一值時，或當HE（HG）與⊙O相切時，求⊙O的半徑.數(shù)學研究在本質上是研究數(shù)量和圖形，求變化中的數(shù)量的特殊情況是研究數(shù)量關系的關鍵，求變化中的圖形的特殊狀態(tài)是研究圖形關系的關鍵.通過第（1）（2）問的鋪墊，讓學生意識到，運動過程中BO=2OM是不變的，只要確定了矩形的位置，根據(jù)對稱性就可以確定圖形內(nèi)部的數(shù)量關系，這為后續(xù)探究埋下了伏筆.第（3）問求出所有相切的情況，需要較高的分析和想象能力.然而，看似變化詭異，但學生如果能抓住圓和直線相切的本質：點到切線的距離等于矩形一邊長的一半，即可跳出“形”的迷惑，也為問題解決提供了清晰思路.本題考查學生的數(shù)學學習能力，符合《課程標準（2011年版）》提出的數(shù)學教學內(nèi)容的本質要求，讓學生在開放的、動態(tài)的數(shù)學問題情境中，逐步識圖、畫圖、分析推理、判斷驗證，突出了數(shù)學思維的考核.

本題將觀察、分析、計算、探究，將菱形、圓、矩形、三角函數(shù)、方程、軸對稱變化等初中數(shù)學的核心思想融為一體，蘊含著分類討論、轉化、方程、對稱變化等重要的思想方法.總體設置由易到難，逐步推進，梯度合理，入口易，深入難，既關注學生的思維方法，又凸顯數(shù)學本質，是對學生探究能力、創(chuàng)新能力的一次檢驗.

四、對教學的啟示

1.夯實基礎，關注核心教學內(nèi)容

中考試題首先著重考查“課標”中要求的核心內(nèi)容，即使是拔高性試題所注重的也是對支撐初中數(shù)學知識體系的基礎知識、基本技能、基本方法的考核，這從本題考查的知識點可看出.因此要加強基礎知識的落實，日常教學要關注《課標》的核心內(nèi)容，運用初中數(shù)學知識體系的整體觀思想，加強知識之間的聯(lián)系和再生性，把握其中的數(shù)學思想方法.

2.加強學生對知識理解的活動經(jīng)驗的積累

學生學習數(shù)學有一個普遍現(xiàn)象，知識容易遺忘，不能靈活應用知識.解決此問題的較好的途徑是重視知識形成的過程，加強對知識理解的活動經(jīng)驗的積累.《課標》特別強調(diào)：“數(shù)學活動經(jīng)驗的積累是提高學生數(shù)學素養(yǎng)的重要標志.幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗是數(shù)學教學的重要目標，是學生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學活動過程的結果.”積累數(shù)學活動經(jīng)驗的目的之一是建立數(shù)學的感悟、數(shù)學的直觀.日常教學重視過程教學，不僅有利于促進學生對知識的理解，更能從中學會分析問題的策略、方法，體會抽象、建模、推理的基本數(shù)學思想，有利于形成策略性知識，并運用于問題的解決，這是新課標積極倡導和要求的.

3.關注日常教學中分析、解決問題能力的培養(yǎng)

對試卷答題情況的分析，暴露了學生分析、解決問題能力的薄弱點，主要表現(xiàn)在以下幾個方面：讀題能力弱，不會分析運動過程，遺漏分類，畫不出滿足條件的圖形，列出方程后求解錯誤.而隨著越來越多的新穎題、開放性試題的出現(xiàn)，中考更多的是考查學生分析、解決問題的能力.這中間包括學生的探究、猜想、驗證、歸納、實際應用、邏輯推理、分析問題、數(shù)據(jù)處理等方面的能力.這就要求我們在平時的教學中，要立足于對學生能力的培養(yǎng)，要讓學生在發(fā)展能力的過程中接受新的知識，在知識的傳授過程中鍛煉學生的能力.

4.研究學情，尋找得分點

中考復習中，除了注意學生的學力發(fā)展，還要關注一些應試技巧和得分點.在對試卷分析中，教師今后要加強對學生以下幾個方面的訓練：（1）加強幾何邏輯推理的嚴密性；（2）規(guī)范學生書寫的文字表達；（3）注意解題速度和合理分配解題時間.Z