中美兩國初中數(shù)學教材的比較研究——以“有理數(shù)”為例

☉西北師范大學教育學院徐玉慶

☉甘肅省酒泉第四中學

中美兩國初中數(shù)學教材的比較研究——以“有理數(shù)”為例

☉西北師范大學教育學院徐玉慶

☉甘肅省酒泉第四中學

一、研究背景

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》明確提出，在數(shù)學課程中，要注重發(fā)展學生的數(shù)感和運算能力，這也充分體現(xiàn)了新課程標準對初中生核心素養(yǎng)的要求.［1［2］所以，運算能力是許多國家對中學生要求的最基本能力.

本文從美國和中國兩個國家選取三套初中數(shù)學教材，以“數(shù)與代數(shù)”中的“有理數(shù)”為研究對象，從課程標準對“有理數(shù)”的要求、教材的目錄、核心概念、例題、習題、旁白，以及以圖形和表格為內(nèi)容的非文本形式進行定量刻畫與定性描述.希望對教材統(tǒng)計內(nèi)容習題的編寫和完善提供一些思考和啟示.

二、研究設計

（一）教材的選取

選取中國和美國政府部門正式出版發(fā)行和使用范圍較廣的教科書，如表1所示：

表1樣本教材及其章節(jié)選取

（二）研究方法

采取定量刻畫與定性描述相結(jié)合的方法.

（三）比較維度

1.三套教材整體內(nèi)容的比較

美國加州教材Mathematics7第一章內(nèi)容為整數(shù)，第二章為有理數(shù)，這兩章完整地講解了有理數(shù)及有理數(shù)的運算.我國人教版七年級上冊第一章“有理數(shù)”和北師大版七年級上冊第二章“有理數(shù)及其運算”與美國加州教材的內(nèi)容相近，故這三套教材“有理數(shù)”的內(nèi)容存在可比性.現(xiàn)將上述三個版本的“有理數(shù)”所在的章節(jié)整體結(jié)構(gòu)進行對比，得到表2.

表2“有理數(shù)”及其運算的主要內(nèi)容

主要內(nèi)容1.4有理數(shù)的乘除法觀察與猜想翻牌游戲中的數(shù)學道理1.5有理數(shù)的乘方數(shù)學活動小結(jié)復習題1 8有理數(shù)的除法9有理數(shù)的乘方10科學記數(shù)法11有理數(shù)的混合運算12用計算器進行運算回顧與思考復習題1-8整數(shù)在調(diào)查研究中的應用1-9利用整數(shù)的加減法解方程1-10利用乘除法解方程評價學習指導和回顧練習測試加利福尼亞標準測試題2-8有理數(shù)在調(diào)查研究中的應用2-9有理數(shù)的乘方2-10科學記數(shù)法評價學習指導和回顧練習測試加利福尼亞標準測試題

美國加州教材將“有理數(shù)”的內(nèi)容分為兩章，第一章重點講解了整數(shù)及其運算，第二章重點講解了有限小數(shù)和分數(shù)的運算.美國加州教材對于有理數(shù)的教材設計更加符合初中生的認知結(jié)構(gòu)，學生在小學已經(jīng)學習了自然數(shù)和整數(shù)，在七年級引入“-”號，拓展了學生對于數(shù)的認識，第一章在學生學習整數(shù)的基礎上引入負數(shù)，讓學生理解負數(shù)產(chǎn)生的必要性，同時在整數(shù)集合內(nèi)的運算也有利于學生理解整數(shù)運算的算理.這樣為學習第二章的內(nèi)容奠定了基礎.人教版和北師大版教材都將有理數(shù)及其運算放在了一章，產(chǎn)生這種教材設計的原因與中美兩國教材對于有理數(shù)的定義有關(guān)系，人教版和北師大版直接給出了整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)的定義，美國教材對有理數(shù)的定義是：Numbers that can be written as fractions are called rational numbers（只要能夠表示為分數(shù)的數(shù)稱為有理數(shù)），Since：-7可以表示為，2可以表示為，它們都是（rational numbers）有理數(shù)，所有的（integers）整數(shù)、（fraction）分數(shù)和（mixed numbers）帶分數(shù)都是有理數(shù).由于對有理數(shù)定義的不同，人教版和北師大版教材將整數(shù)和分數(shù)放在了同一章，在教學中許多老師對有理數(shù)做了進一步的定義，既有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，產(chǎn)生這一問題的重要原因如下：在北師大版教材第二章第一節(jié)隨堂練習中出現(xiàn)了如：3.5、-0.125、5.6這樣的數(shù)，很多學生無法判斷它們是否為有理數(shù)，如果以北師大版對有理數(shù)的定義出發(fā)判斷，則學生沒有辦法把這些數(shù)歸為整數(shù)和分數(shù)，那么它們?yōu)槭裁词怯欣頂?shù)？所以在教學中，教師又進一步講解如何把一個有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)，然后在利用有理數(shù)的定義將它們歸在有理數(shù)的范圍內(nèi)，這樣對學生理解水平要求很高，這也為以后學習無理數(shù)造成了一定的干擾.人教版教材中從第一節(jié)到最后一節(jié)，無論在例題、探究活動、習題、小結(jié)和復習題中都沒有出現(xiàn)無限循環(huán)小數(shù)，對于學生理解有理數(shù)及其運算和今后無理數(shù)的學習埋下了“隱患”.

美國教材在第一章系統(tǒng)地講解了整數(shù)及其運算之后，在第二章第一節(jié)給出了有理數(shù)的定義：只要能夠表示為分數(shù)的數(shù)稱為有理數(shù)，然后給出了大量例題和實例講解了如何將一個分數(shù)化為小數(shù)、如何將一個有限小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)，并附有大量的練習題，這為學生學習有理數(shù)及對有理數(shù)的判斷掃清了障礙，如：3.5、-0.125、0.3這樣的數(shù)，學生已經(jīng)做了大量的訓練，他們知道這些數(shù)都可以化為分數(shù)，能夠精確地判斷它們是有理數(shù)，從而避免了人教版和北師大版出現(xiàn)的問題.

美國教材在第一章和第二章中設計了有關(guān)一元一次方程的求解，主要是利用有理數(shù)的運算法則求解方程，這不僅是對有理數(shù)運算的應用，同時也是為進一步學習一元一次方程打下基礎，同時美國教材在每一章中設計了對于前面內(nèi)容的測試題，在章末不僅設計了本章的測試題，同時增加了對于本章內(nèi)容的評價測試題，有部分題目是歷年的PISSA測試題，注重知識在現(xiàn)實生活中的應用.人教版教材在每一章末都設計了數(shù)學活動，活動內(nèi)容都和現(xiàn)實生活緊密聯(lián)系，這也充分體現(xiàn)了數(shù)學知識在現(xiàn)實生活中的應用，體現(xiàn)了讓每一個學生學習有價值的數(shù)學.同時也說明了學生的數(shù)學知識不僅來源于教材，也來源于學生的生活經(jīng)驗.

人教版教材在章末的小結(jié)中總結(jié)了有理數(shù)的運算，有利于一元一次方程的求解，同時說明由于整數(shù)可以看成是分母為1的分數(shù)，因此有理數(shù)可以表示為（p，q是整數(shù)，q≠0）的形式，這進一步拓展了對有理數(shù)概念，有利于學生對于有理數(shù)的形式理解，這和美國教材的設計內(nèi)容相吻合，如圖1所示.

圖1美國加州教材有理數(shù)的定義

北師大版教材在章末設計了回顧與思考，提出了具體的讓學生完成的內(nèi)容，但是并沒有明確地提出具體的做法和要求，例如，回顧與思考的7：梳理本章內(nèi)容，用適當?shù)姆绞匠尸F(xiàn)全章知識結(jié)構(gòu)，并與同伴進行交流.在實際的教學中發(fā)現(xiàn)教師和學生并沒有重視這部分內(nèi)容，從而使得回顧與思考流于形式.人教版在利用現(xiàn)在的概念導圖梳理了本章的知識結(jié)構(gòu)，有利于學生模仿這種方法并理清知識點之間的邏輯關(guān)系.

2.數(shù)學問題情境水平分析

2016年陳志輝在《數(shù)學教育學報》中發(fā)表了《中美兩國初中數(shù)學課程的問題情境水平比較研究》，文中對Stigler（1986），YepingLi（2000）等人對于教科書數(shù)學問題呈現(xiàn)的三個維度分析框架進行了改進，［3］如表3所示.

表3數(shù)學問題情境水平分析框架

例如，北師大版七年級上冊第一章第六節(jié)中一道題目：下面是流花河水文資料（單位：m），河流的警戒水位作為0點，那么圖（圖略）中的其他數(shù)據(jù)可以分別記作什么？表4是小明記錄的今年雨季流花河一周內(nèi)的水位變化情況（上周日的水位達到警戒水位33.4米）.

表4流花河一周水位變化表

（1）本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？

（2）與上周末相比，本周末河流水位是上升了還是下降了？

（3）每天水位位于警戒水位之上還是之下？與警戒水位的距離分別是多少米？

（4）以警戒水位為0點，用折線統(tǒng)計圖表示本周的水位情況.

依據(jù)上述分析框架，對該問題進行編碼如下：首先，對情境進行判別，由于問題設計河流水位的變化，因此將該情境編碼為公共情境（CL）.然后，對問題情境的三個維度進行判別：數(shù)學特征水平方面，整個問題設計有理數(shù)的加減運算，而且都屬于一步運算，因此確定為水平2（OC-2）；表征特征水平方面，由于問題表述為故事情境加圖表說明，因此確定其表征特征為水平4（SC-4）；任務特征水平方面，由于該情境為問題解決，所以確定其任務特征為水平3（PS-3）.

（1）數(shù)學問題情境類型比較.

兩個版本中加州教材的題例（992）遠遠多于人教版教材（344）和北師大版教材（274），統(tǒng)計結(jié)果如表5所示.

表5兩國“有理數(shù)”問題情境類統(tǒng)計

由表5發(fā)現(xiàn)，美國加州教材的習題量要遠遠多于人教版教材和北師大版教材的習題數(shù)量，人教版無情境的題目所占比例最高，達到94%，美國加州無情境題目所占比例最低，達到60%，北師大版教材中無情境題目所占比例為85%，說明美國加州教材在題目設計時，關(guān)注題目的背景和現(xiàn)實生活之間的聯(lián)系，將教材中的內(nèi)容嵌入現(xiàn)實生活的各個方面.新課程標準中明確提出讓每一位學生學習有價值的數(shù)學，注重學生的應用意識和創(chuàng)新意識，中美教材在五個情境中的題目都有涉及，但是相比之下，人教版和北師大版在這五個情境中的題目涉及相對很少，在統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)人教版和北師大版教材的題目大部分都是沒有背景因素的純文本的題目，而美國教材更加注重題目的現(xiàn)實背景.

（2）數(shù)學問題情境整體比較.

首先對三套教材的題目進行編號，然后根據(jù)表3中的數(shù)學問題情境水平分析框架開始打評分，在評分過程中反復通過論證對存在爭議的題目進行再評分，保證對問題的數(shù)學特征、表征特征和任務特征所處的水平進行可靠的描述.［4］統(tǒng)計結(jié)果如表6所示.

表6三套教材“有理數(shù)”內(nèi)容的數(shù)學問題情境三維特征水平

表6所示，在數(shù)學特征方面人教版教材最高，其特征值為2.6744，北師大版的特征值為2.4124，美國加州教材的特征值最低，其特征值為1.8589.在表征特征方面美國加州教材特征值最高為2.0706，北師大版表征特征值為1.7044，人教版教材的表征特征值最低1.5988.任務特征方面人教版教材的特征值最高2.6453，北師大版的任務特征值為2.3978，美國加州教材的任務特征值最低為1.7349.

從橫向角度比較，在數(shù)學特征方面，加州教材無運算的題目所占比例較高（59%），多步運算的題目相對較少，相反人教版和北師大教材三步運算和四步運算所占比例相對較高，分別占30%和26%，美國加州教材占了14%.在統(tǒng)計過程中發(fā)現(xiàn)美國教材對于問題設計比較細致，對于不同數(shù)學概念和數(shù)學運算的處理非常精巧，將教材內(nèi)容細化為較小的知識點，針對每一個知識點設計相應的題目，在學生完成這一部分練習之后，教材中又設計相對應的提升練習，所以對于有理數(shù)的運算方面，大部分題目是一步運算和兩步運算，多步運算相對較少.人教版和北師大版教材都注重對于問題的綜合處理，例如，在有理數(shù)的混合運算和乘方運算中，所設計的題目都是多步運算，對學生的運算能力要求相對較高，充分體現(xiàn)了課程標準對于學生在運算能力方面的要求.

在表征特征方面，美國教材在圖形和圖表結(jié)合的水平非常高，占了39%，而人教版和北師大版只占了4%和11%，在統(tǒng)計過程中，發(fā)現(xiàn)人教版和北師大版教材中習題的呈現(xiàn)方式主要是以純數(shù)字和短語的形式，大部分題目沒有實際的背景和相應的圖片或圖表說明.2012年RaeYoungKim對三種初中年級的美國教材和韓國進行了比較，主要關(guān)注的教材中非文本因素（圖案、圖片、表格等）的質(zhì)量在學生學習的過程中發(fā)揮作用，研究發(fā)現(xiàn)，教材內(nèi)容中非文本因素這種可視化的表征方式，如果以恰當?shù)姆绞胶徒滩膬?nèi)容相結(jié)合，有利于學生對于概念的理解和問題的解決.［5］美國教材注重問題設計的背景因素，這也導致了題目呈現(xiàn)的方式不同，充分說明美國學生利用可視化表征方面的能力較高.

在任務特征方面，人教版教材在“問題解決”和“問題探究”的水平最高，分別占了45%和20%，北師大版在這兩個方面的水平分別為34%和15%，美國教材在這兩個方面的水平最低，只占了10%和3%，美國教材習題的設計主要考查學生對于教材中概念的理解，所以在“概念性理解”的水平最高，占了44%，而人教版和北師版在“概念性理解”的水平則較低，分別占了15%和28%.在統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)美國教材在課后習題中明確標明這道題目所涉及的數(shù)學概念和運算法則，在教材旁白中也明確標明題目所對應的章節(jié)和概念，在章節(jié)的開頭和末尾都將本章出現(xiàn)的新的數(shù)學名詞加以強調(diào)和解釋，有的概念采用不同的方式進行闡釋，例如：有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù).而人教版和北師大版則更加注重有理數(shù)相關(guān)概念的理解和法則的應用，這也體現(xiàn)了我國對于中學生解決問題能力方面的要求，反映了兩國課程不同的要求.

三、結(jié)論與啟示

在“有理數(shù)”內(nèi)容的編排方面，美國加州教材將“有理數(shù)”部分分為兩章，第一章專門講解了整數(shù)及其運算，第二章主要講解有理數(shù)、分數(shù)、小數(shù)等概念和運算.人教版和北師大版則將“有理數(shù)”設計為一章，但是在具體內(nèi)容的編排上也是先呈現(xiàn)整數(shù)的有關(guān)運算，然后是分數(shù)和小數(shù)的運算，這也符合學生的認知水平和數(shù)學學習的心理水平；在有理數(shù)這個核心概念的表述方面，兩國教材也存在很大差異，人教版和北師大版的表述是一致的，既整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，而美國加州教材的表述是：只要能夠表示為分數(shù)的數(shù)稱為有理數(shù)，相比之下，美國加州教材對于有理數(shù)定義的表述更加科學合理；在比較中發(fā)現(xiàn)美國加州教材對于基本概念闡述非常清楚，例如，教材中專門對于整數(shù)、分數(shù)、有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)、有理數(shù)等新的概念做了詳細的定義和解釋，對于每個知識點講解非常詳細，而且每節(jié)內(nèi)容所包含的信息量非常大，題目設計豐富多彩，題目的個數(shù)也非常之多.而人教版和北師大版對于整數(shù)、分數(shù)、有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)、有理數(shù)等基本概念并沒有過多的解釋，只是舉了幾個具體的例子，在教學中發(fā)現(xiàn)，學生并不能很好地理解這些看似簡單的概念.在教材旁白方面，美國教材每節(jié)課都在教材的左側(cè)空白出呈現(xiàn)出學完本節(jié)課要達到的學習目標，同時附有這節(jié)課學習的網(wǎng)絡資源，對于本節(jié)課的重點內(nèi)容都有學習的提示和建議（studytip），便于學生模仿和參考.而人教版和北師大版在教材旁白方面則做的比較少，很少有某個具體問題的解釋和補充.

在問題情境水平的比較，三套教材各具特色.在數(shù)學特征方面，人教版和北師大版注重學生的多步運算能力，數(shù)學問題的難度相對較高.相比之下，美國加州教材則更注重基本運算能力，問題相對小而精，便于學生運算，所以問題也非常之多.在表征特征方面，加州教材更加注重非文本內(nèi)容和文本內(nèi)容結(jié)合的呈現(xiàn)方式，題目設計靈活多樣，背景內(nèi)容豐富多彩，緊密貼近現(xiàn)實生活，緊跟時代發(fā)展腳步，這種可視化的表征方式有利于學生對于具體問題的理解和解決，有利于培養(yǎng)學生對于現(xiàn)實問題的興趣，提高他們的創(chuàng)造力.而人教版和北師大版教材中習題的呈現(xiàn)更多的是文本內(nèi)容，大部分題目都是純數(shù)學符號和文字的描述，關(guān)注學生的符號意識，注重學生的具體運算和抽象運算.在任務特征方面，人教版和北師大版教材習題都注重學生解決問題的能力，而美國加州教材則更加關(guān)注學生對于基本概念的理解和掌握，沒有過多的綜合問題和復雜問題.

通過對三套教材定性與定量的分析，給我們得到如下啟示：首先，中國教材過多地注重學生的練習和復雜問題的解決，而并不關(guān)注對于教材中核心概念的理解和掌握.［6］～［8］在教學中教師更多地注重題目的大量重復的練習和鞏固，而忽視了學生對于問題本身的理解和感悟.其次，在數(shù)學問題的表征方面，習題設計過于死板，表征特征方式單一，沒有挖掘知識的相關(guān)背景，問題設計缺乏情境，忽視了可視化表征的影響，造成問題解決和現(xiàn)實客觀之間的差距.最后，數(shù)學教學是一種感悟教學，要讓學生悟其道，之后才可以行之遠，關(guān)注問題的內(nèi)涵設計，例如，關(guān)注學生的靈魂設計，關(guān)注問題的情境設計如關(guān)注學生的情感設計，關(guān)注教材的精細化設計（如關(guān)注學生的骨骼設計），從而更好地服務于每一個鮮活的精靈.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

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