從特殊到一般：類比全等學相似——以“圖形的相似”教學為例

☉江蘇省灌南縣實驗中學韓賢

從特殊到一般：類比全等學相似——以“圖形的相似”教學為例

☉江蘇省灌南縣實驗中學韓賢

我們知道，平面幾何教學時，都是先學全等，然后在等腰三角形、平行四邊形等知識教學之后“隔了很久”才學習相似，而這兩個知識領(lǐng)域卻有著十分緊密的聯(lián)系，全等可以看成是相似的特例（相似比為1）.本文記錄新近筆者開設(shè)的一節(jié)公開課，基于從特殊到一般的數(shù)學思想，引導學生類比全等學習相似起始課，課后及時進行了教后反思，一并梳理出來，提供分享.

一、“圖形的相似”教學流程

1.復習舊知，引入新課問題1：什么叫全等形？它們在形狀、大小上有何特征？問題2：兩個全等的三角形的對應邊和對應角有什么關(guān)系？

PPT出示圖片（如圖1）.

問題3：它們是全等形嗎？（不是）它們又有什么特點呢？（形狀相同）

板書：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.

圖1

2.鞏固概念，識別相似

預設(shè)提問：

（1）你能舉出生活中一些相似圖形的例子嗎？

（2）我們知道從物體的輪廓中可以抽象出幾何圖形，你能舉出相似的幾何圖形的例子嗎？

（3）圖2中的三組圖形，是否相似？

（4）如果圖形A和圖形B相似，圖形B和圖形C相似，請問圖形A和圖形C相似嗎？為什么？（表明：相似具有傳遞性）

跟進練習：圖5中哪些圖形和圖3相似？為什么？哪些圖形和圖4相似？

圖2

圖3

圖4

圖5

追問：通過這個練習，你對圖形的相似有哪些新的認識？（只與圖形的形狀有關(guān)，而與位置的擺放沒有關(guān)系）

3.觀察猜想與思考

提問：如圖6，從放大鏡里看到的三角尺和原來的三角尺相似嗎？為什么？

追問：猜想一下，它們的對應角有什么關(guān)系？對應邊又有怎樣的關(guān)系呢？過渡：帶著你的猜想、疑問進入下一階段的探索吧！觀察特例：

提問：請大家看圖7，△A1B1C1就是由正△ABC放大后得到的，你認為它們的對應角有什么關(guān)系？對應邊的比有什么關(guān)系呢？

圖6

圖7

圖8

追問：圖8是兩個相似的正六邊形，你從中可得到什么結(jié)論？為什么？如果是兩個正五邊形呢？

通過剛才的研究，你能得出怎樣的結(jié)論？（相似正多邊形的對應角相等，對應邊的比相等）

4.例題講評

例1如圖9，六邊形ABCDEF與六邊形A′B′C′D′E′F′相似.

圖9

（1）求相似比.

（2）求∠A和∠B′的度數(shù).

（3）求邊CD，EF，A′F′，D′E′的長.

（3）由兩個六邊形相似，引導學生靈活選取對應比成比例，比如由，所以所以，所以，所以CD=cm.

例2如圖10，在一矩形花壇ABCD的四周修筑小路，使得相對兩條小路的寬均相等.花壇AB=20m，AD= 30m.小馬同學認為只要每條小路的寬都相等，所圍成的矩形A′B′C′D′與矩形ABCD就一定相似.你認為小馬同學的判斷正確嗎？

預設(shè)追問：試問小路的寬x與y的比值為多少時，能使小路四周所圍成的矩形A′B′C′D′與矩形ABCD相似？請說明理由.

預設(shè)講評：要使矩形A′B′C′D′與矩形ABCD相似，需對應角相等，對應邊的比相等；由矩形的四個角都是直角，可知這兩個矩形的對應角相等，所以，需對應邊成比例，即，化簡得60y=40x，即x∶y=3∶2時，能使小路四周所圍成的矩形A′B′C′D′與矩形ABCD相似.

圖10

5.小結(jié)與作業(yè)（略）

二、教學立意的進一步解讀

圖形的相似起始課因為沒有具體深入到相似三角形的學習，而且在各級考試中所考不多，至多是一道填空、選擇之類的送分題，所以往往得不到教學研究的重視，這方面的課例研究在相關(guān)期刊上也較為少見.以上給出的是筆者基于從特殊到一般的認識，構(gòu)思出來的一節(jié)常態(tài)課，以下再圍繞教學立意給出進一步的解讀.

1.引導學生辨析“特殊與一般”之間的關(guān)系

特殊與一般之間的關(guān)系是數(shù)學學習過程中不斷出現(xiàn)的，或明或暗.比如代數(shù)概念或性質(zhì)的學習，往往是先特殊再一般，側(cè)重訓練猜想、歸納、概括的推理思想；而幾何學習則是“從大到小”（史寧中教授語），先學習一般的數(shù)學對象（如四邊形），再逐漸深入到平行四邊形、特殊的平行四邊形的學習.而在本課時中特殊與一般之間的關(guān)系較為復雜，首先是從全等到相似是特殊到一般的關(guān)系，然后是學習了相似圖形之后又將逐漸過渡到相似三角形的判定與性質(zhì).

2.通過例題及變式讓學生明辨“和而不同”

從上面課例中的例題及變式來看，主要意圖是通過例題及變式促進學生感受全等與相似之間的“和而不同”，即全等有哪些相同的研究方法可以遷移、類比到相似的學習中去，而又有哪些不同點，特別是例2中兩個矩形的相似問題是很多學生容易受到直覺誤導的易錯題，缺少精確的比例式化簡運算，則不能有力地解釋兩個矩形為什么不相似，這就需要學生明辨相似圖形不僅只看各組內(nèi)角對應相等就可判定，還需要逐個計算各組邊之間的比值，這是需要引導學生明辨的難點和易錯點之處.

三、結(jié)束語

從應試角度功利地看，不少數(shù)學內(nèi)容確實在各級考試中難以設(shè)計大題，因而也缺少研究的跟進，常常也在教學時被邊緣化，認為這是一些可有可無的教學內(nèi)容，有些年輕教師也覺得可講可不講，輕松滑過這些教學內(nèi)容，但是從數(shù)學整體觀來看，像圖形的相似這樣的教學內(nèi)容卻是學生辨析“特殊與一般”之間深刻關(guān)系的優(yōu)秀素材，值得我們認真重視，精心預設(shè)相應的教學內(nèi)容，這在倡導重視“數(shù)學核心素養(yǎng)”的現(xiàn)實背景下，也許有著更為重要的作用吧.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學研究［J］.數(shù)學教學，2003（1，2，3）.H