對一道中考壓軸題的解法探究

顧建鋒（浙江省嘉興市南湖區(qū)教育研究培訓(xùn)中心）

對一道中考壓軸題的解法探究

顧建鋒（浙江省嘉興市南湖區(qū)教育研究培訓(xùn)中心）

經(jīng)過對2015年浙江省嘉興市中考試題壓軸題最后一道小題的深入探究，突破了解答此題的思維難點.從不同的思維角度來思考此題，得到了不同的解題切入口，從而用多種方法解答了此題，同時對各種解法進行了簡要回顧．

解法探究；數(shù)學(xué)關(guān)系；解法回顧

一、試題呈現(xiàn)

題目（2015年浙江·嘉興卷）類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．

（1）概念理解.

如圖1，在四邊形ABCD中，添加一個條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”．寫出你添加的一個條件．

圖1

（2）問題探究.

①小紅猜想：對角線互相平分的“等鄰邊四邊形”是菱形．她的猜想正確嗎？試說明理由．

②如圖2，小紅畫了一個Rt△ABC，其中∠ABC= 90°，AB=2，BC=1，并將Rt△ABC沿∠ABC的平分線BB′方向平移得到△A′B′C′，連接AA′，BC′．小紅要使平移后的四邊形ABC′A′是“等鄰邊四邊形”，應(yīng)平移多少距離（即線段BB′的長）？

圖2

（3）應(yīng)用拓展.

如圖3，“等鄰邊四邊形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD為對角線，試探究BC，CD，BD的數(shù)量關(guān)系．

圖3

此題是2015年浙江省嘉興市中考試題的壓軸題．試題以新定義為背景，題干文字精煉，圖形外觀簡潔，設(shè)問遞進探究，尤其是第（3）小題雖條件清晰，但需要添加輔助線才能解題，對學(xué)生的思維能力要求很高，筆者在閱卷過程中發(fā)現(xiàn)能夠完整解答出第（3）小題的學(xué)生寥寥無幾．閱卷結(jié)束后筆者進行了仔細研究，現(xiàn)把第（3）小題的解題思路整理出來與大家分享，以期得到各位同行的指正．

二、解法探究

在探究此題多種求解思路時，筆者發(fā)現(xiàn)該題蘊含了豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，解法多樣.

1．在特殊位置尋找數(shù)量關(guān)系

解答第（3）小題最大的難處在于待求結(jié)論不明確，找不到未知量、已知量、條件之間的直接聯(lián)系，于是思考，能不能使條件、結(jié)論都特殊化？在這樣的思維驅(qū)動下之下，筆者進行了如下思考.

（1）如圖4為對角互余的等鄰邊四邊形的作圖方法：①作Rt△AED，使∠ADE=90°；②在斜邊AE上截取線段AB=AD，連接BD；③作△BDE的外接圓，并在該外接圓上任取一點C，則四邊形ABCD即為對角互余的等鄰邊四邊形，并且這樣的等鄰邊四邊形可以作出無數(shù)多個．

圖4

（3）由條件∠BAD+∠BCD=90°，考慮將∠BAD和

圖5

2．從條件入手探索證題方法

（1）以旋轉(zhuǎn)變換知識為切入口.

面對題設(shè)條件“AB=AD”，從靜態(tài)角度看能想到等腰三角形；從動態(tài)角度看，想到旋轉(zhuǎn)變換，利用旋轉(zhuǎn)將分散的角度、線段聚集．這是常見的思路．

解法1：如圖6，將△ADC繞點A旋轉(zhuǎn)到△ABF處，連接CF，

圖6

則△ADC≌△ABF.

所以∠ADC=∠ABF，∠DAC=∠BAF，AC=AF，CD=FB.

從而得到△ACF∽△ABD.

又因為∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，

所以∠ABC+∠ADC=360°-(∠BAD+∠BCD)=360°-90°=270°，

得∠CBF=90°，

結(jié)論得證．

（2）以直角三角形知識為切入口.

面對題設(shè)條件“∠BAD+∠BCD=90°”，勾股定理浮現(xiàn)眼前，于是自然聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形，這是解題的起點，接著思考將已知的兩角怎樣合并成一個直角，依據(jù)圖形特征，在頂點C或點A處嘗試構(gòu)造直角，可以將零散的已知條件集中，為后續(xù)問題的探究鋪平道路．

解法2：（方法1）如圖7，過點C作∠DCG=∠BAD，截取CG=CD，連接DG，BG．

圖7

因為∠BAD＋∠BCD＝90°，

所以∠BCG=90°.

由勾股定理，得BC2+CG2=BG2，

即BC2+CD2=BG2．

因為△ADB∽△CDG，

于是∠ADC=∠BDG.

所以△ADC∽△BDG.

（方法2）如圖8，過點A作∠3=∠1，∠4=∠2，分別交CB，CD的延長線于點E，F(xiàn)，連接EF．

圖8

由此容易推出∠EAF=90°和△EAB∽△ECA.

所以AE2+AF2=EF2，且

進而推出BC=BE．

再由上述條件不難推出EF=2BD.

即BC2+CD2=2BD2．

（3）以相似三角形知識為切入口.

解法3：如圖9，分別延長AB，AD至點E和點F，使DF=AD，BE=AB，連接CF，CE，EF，

圖9

則BD是△AEF的中位線，

從而得到EF=2BD.

于是△ABC∽△ACE.

得∠4=∠5，

又因為∠1+∠2+∠3+∠4=90°，

所以∠1+∠2+∠5+∠6=90°.

所以∠7+∠8=90°.

由勾股定理可得CE2+CF2=EF2.

即BC2+CD2=2BD2．

3．由結(jié)論變形引領(lǐng)證題方向

結(jié)論“BC2+CD2=2BD2”與勾股定理的符號表述相接近，引領(lǐng)證題的方向指向直角三角形，但結(jié)論“BC2+CD2=2BD2”畢竟有別于勾股定理的符號表述，于是考慮將結(jié)論“BC2+CD2=2BD2”變形為或從而突破思維瓶頸，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的構(gòu)造或證明．

解法4：（方法1）如圖10，過點B作BF⊥BC，使得BF=CD，連接AF，CF．

圖10

易得∠ABF=∠ADC.

從而可證得△ADC≌△ABF.

（方法2）如圖11，在對角線AC上取一點E，使∠ABE=∠1，連接DE．

圖11

易得∠BEC=∠BAC+∠1，且△ABE∽△ACB.

所以△ADE∽△ACD.

再由∠BAC+∠DAC+∠1+∠2=90°，得∠DEB=90°.

所以BE2+DE2=BD2，

即BC2+CD2=2BD2．

三、解法回顧

題目第（3）小題的解答從特殊圖形探究數(shù)量關(guān)系開始，到一般圖形下數(shù)量關(guān)系的探究結(jié)束，歷經(jīng)特殊到一般，以及先猜想后證明的思考過程．其中一般圖形下數(shù)量關(guān)系的探究，解法多樣，既異中有同，又各有千秋．

以旋轉(zhuǎn)變換知識為切入口，解法巧妙，過程簡潔，學(xué)生容易理解，但在平時的學(xué)習(xí)中，旋轉(zhuǎn)變換的應(yīng)用背景一般出現(xiàn)在特殊三角形（等腰三角形和等邊三角形）和特殊四邊形中（菱形和正方形），此題是在條件相對弱化的特殊四邊形中，而且還是一個陌生四邊形——等鄰邊四邊形，學(xué)生不容易想到.所以，這種解法的思維起點是對旋轉(zhuǎn)變換應(yīng)用背景的一種補充，解答的關(guān)鍵是在圖形中提煉出基本圖形，即等腰三角形，進而想到運用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)筑輔助線．

以直角三角形知識為思維起點，學(xué)生雖容易想到，卻難于入手．解題時根據(jù)對角互余的條件或結(jié)論“BC2+CD2=2BD2”的特征，構(gòu)造合適的直角三角形是問題解答的首要條件，其次是運用相似三角形的知識找到邊之間的關(guān)系結(jié)合勾股定理方能解決問題．

以相似三角形的知識為思維起點，學(xué)生的思維可能會多次受阻．解答時借助已知條件先構(gòu)造相似三角形，再利用對應(yīng)邊、對應(yīng)角之間的關(guān)系，以及勾股定理解決問題，雖屬常規(guī)思路，但需添加輔助線眾多，步驟繁雜，對學(xué)生的思維能力是一種挑戰(zhàn)．

［1］范宏業(yè)．2014年安徽省中考第23題的解法分析［J］．中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2015（5）：16-19，64.

2016—07—18

顧建鋒（1975—），男，中學(xué)高級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與命題研究.