面積法在解中考數(shù)學(xué)試題中的運(yùn)用
——以山西省近三年中考試題為例

郝曉鑫 韓龍淑（太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系）

面積法在解中考數(shù)學(xué)試題中的運(yùn)用
——以山西省近三年中考試題為例

郝曉鑫 韓龍淑（太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系）

綜觀中考數(shù)學(xué)試題，有不少幾何問題運(yùn)用面積法求解可達(dá)到事半功倍的效果.近三年的山西省中考數(shù)學(xué)試題中就有運(yùn)用等面積法求線段長(zhǎng)度的問題.借助分割與組合圖形進(jìn)行等積變形，通過比例與轉(zhuǎn)換建立面積關(guān)系的方法求解圖形面積幾類題型.鑒于面積法具有強(qiáng)大的生命力，可繁衍出許多類型的題目，故通過幾道試題來(lái)展現(xiàn)運(yùn)用面積法解題的思考過程和思維方法.

中考數(shù)學(xué)試題；面積法；幾何問題；思維方法

圖形與幾何是初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的四大領(lǐng)域之一，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，因此幾何問題一直是數(shù)學(xué)中考的重點(diǎn).利用面積法，可以解很多類型的題目.例如，與線段相關(guān)的：求線段的長(zhǎng)、求線段之比、證明線段相等與不等、證明線段的和與差等；由線段進(jìn)一步繁衍出與角相關(guān)的問題，比如利用面積法證明兩線段相等后，再利用相關(guān)定理與推論：等邊對(duì)等角、角平分線性質(zhì)定理的逆定理等得出兩角相等；此外，還可求解與面積有關(guān)的題目.下面通過幾道利用面積等式或等積變形求解有關(guān)線段長(zhǎng)度或圖形面積等問題，展現(xiàn)面積法是如何起到出奇制勝效果的.

一、運(yùn)用等面積法求線段的長(zhǎng)度

在中考試題中直接求線段長(zhǎng)度的問題，等面積法的運(yùn)用顯得較為隱蔽，也需要一定的思維量.本部分結(jié)合波利亞《怎樣解題》中如何理解題意、擬定方案等解題路徑進(jìn)行分析.

例1（2013年山西卷第17題）如圖1，在矩形ABCD中，AB=12，BC=5，點(diǎn)E在AB上，將△DAE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)A′處，則AE的長(zhǎng)為_______.

圖1

解析：首先，理解題目，明確“要求什么”，要求AE，折疊得到AE=A′E.其次，找出已知量與未知量之間的聯(lián)系，要求AE（或者A′E），直接求AE不方便，可轉(zhuǎn)化為求A′E.

等式中已知量為AD和BD，要求的量為A′E，還需知道EB.對(duì)于EB，AB=DC=12，將EB轉(zhuǎn)化為12-AE.至此等式變?yōu)?3×A′E=5×（12-AE）.

例2（2015年山西卷第15題）太原公共自行車的建設(shè)速度、單日租騎量等四項(xiàng)指標(biāo)穩(wěn)居全國(guó)首位，公共自行車車樁的截面示意圖如圖2所示.

AB⊥AD，AD⊥DC，點(diǎn)B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB=80 cm，AD=24 cm，BC=25 cm，EH= 4 cm，則點(diǎn)A到地面的距離是_________.

圖2

解析：明確“求什么”，點(diǎn)A到地面的距離.若問題為現(xiàn)實(shí)情境的，可轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.如圖3，過點(diǎn)A作HG的垂線，垂足為點(diǎn)J，交EF于點(diǎn)I，則要求的量為AJ=AI+IJ.而IJ=4 cm，下面求AI.

圖3

其次，找出已知數(shù)據(jù)與未知量之間的聯(lián)系，要求AI，將其置于直角梯形ABCD中考慮.觀察AI與梯形ABCD能建立什么聯(lián)系？由AI⊥BC聯(lián)想到高線，而BC已知，可表示出S△ABC，進(jìn)而想到做輔助線AC.至此注意指向?yàn)榻⒚娣e關(guān)系.

有了輔助線AC之后，梯形ABCD被分為△ABC和Rt△ACD兩部分.進(jìn)而想到S梯形ABCD用S△ABC與S△ACD兩部分來(lái)表示，而S△ABC已經(jīng)可以用含有要求的量AI來(lái)表示.那Rt△ACD呢？要求S△ACD，AD已知，需要求CD.想到作輔助線CK（過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為點(diǎn)K），此時(shí)在Rt△BCK中，由勾股定理得出BK=7 cm，有CD=AK=73 cm.

最后，執(zhí)行方案，解得AI=76.8 cm.則AJ=AI+ IJ=76.8+4=80.8 cm.

例3（2015年山西卷第16題）如圖4，將正方形紙片沿MN折疊，使點(diǎn)D落在邊AB上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D′，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，若AB=6，AD′=2，則折痕的長(zhǎng)為________.

圖4

圖5

解析：明確要求的量，折痕的長(zhǎng)即為線段MN的長(zhǎng)度.分析題目中有哪些已知量，通過已知量又可推出哪些與所求線段相關(guān)的數(shù)量關(guān)系.翻折問題，暗含許多等量關(guān)系，DM=D′M，CN=C′N，DC=D′C′.直角梯形CDMN與直角梯形C′D′MN全等.

線段MN能與整體建立什么聯(lián)系呢？最直觀的是MN為直角梯形CDMN的一條邊，而要想在直角梯形中求解MN，通過面積來(lái)建立等式是一種容易想到的辦法，至此注意指向?yàn)榻⒚娣e關(guān)系.

直角梯形CDMN的面積，要通過公式來(lái)求的話，已知CD，還需要求DM和CN；要通過建立等式來(lái)求MN，就需要構(gòu)建一種含有未知量MN的梯形CDMN的面積表示方法，轉(zhuǎn)換為兩個(gè)三角形面積之和來(lái)求.而當(dāng)求出CN之后，△CDN的面積可求，△DMN的面積表示中若將MN視為底邊時(shí)，還缺少高線，故自然連接DD′，交MN于點(diǎn)O，DD′長(zhǎng)度的一半即為高線OD的長(zhǎng)度.總之，要求的量為MD，CN，DD′，具體計(jì)算時(shí)，MD，DD′可在Rt△MAD′和△ADD′中利用勾股定理求得，但求CN的長(zhǎng)度思維受阻.

二、運(yùn)用面積法求解圖形的面積

1.通過分割與組合圖形進(jìn)行等積變形

在《怎樣解題》中，G·波利亞指出，分解和重組是思維的重要活動(dòng)，即把一個(gè)整體分解成它的各個(gè)部分，然后又把這些部分重組，使之成為一個(gè)與原來(lái)或多或少有些不同的整體.本部分根據(jù)此思想，當(dāng)原來(lái)的圖形通過直接計(jì)算面積思維受阻之后，通過分割與組合將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，來(lái)達(dá)到優(yōu)化圖形迅速解題的目的.

例4（2013年山西卷第12題）如圖6，四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半徑為2，圓心角為60°，則圖中陰影部分的面積是_______.

圖6

圖7

解析：圖中要求的陰影部分的面積是不規(guī)則圖形，直接計(jì)算，難以入手.而從題目中獲知陰影部分

是由菱形ABCD和扇形BEF兩種規(guī)則圖形相重疊之后，扇形所多出的部分，從它的形成過程，聯(lián)想到求陰影部分的面積可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)“易求面積的圖形”的面積之差.

扇形面積可求，但在求重疊部分的面積時(shí)，思維受阻.故想到通過割補(bǔ)將其轉(zhuǎn)化.分割：觀察圖形，點(diǎn)D將陰影部分分為兩部分.故沿直線DB分割.出現(xiàn)了規(guī)則圖形等邊△BCD.拼補(bǔ)：分割之前，扇形的圓心角為60°，拼補(bǔ)后的扇形圓心角必定也為60°，因?yàn)椤螩BD=60°，故嘗試將扇形BED補(bǔ)到扇形BFC的位置（如圖7），由于扇形BED與扇形BFC的半徑與圓心角相等，從而兩個(gè)扇形全等.至此不規(guī)則的陰影部分轉(zhuǎn)化為扇形BCD部分減去等邊△BCD部分.

例5（2014年山西卷第10題）如圖8，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，且EC=2AE，Rt△FEG的兩直角邊EF，EG分別交BC，DC于點(diǎn)N，M.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則重疊部分四邊形EMCN的面積為_______.

圖8

解析：要求四邊形EMCN的面積，而已知的量為EC，∠MEN=90°，∠BCD=90°.直接計(jì)算面積，思維受阻，聯(lián)想到通過分割將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形.

在進(jìn)行分割時(shí)，盡量保持特殊值、固定值不變.同時(shí)，對(duì)一般四邊形容易想到轉(zhuǎn)化為面積易求的矩形.故保持EC，∠BCD=90°不變，過點(diǎn)E作BC的垂線，垂足為點(diǎn)P.此時(shí)，四邊形被分割為四邊形EMCP和Rt△EPN兩部分（如圖9）.

圖9

2.通過比例與轉(zhuǎn)換建立面積等式

通過比例與轉(zhuǎn)化建立面積等式主要是指整體與局部的相互轉(zhuǎn)換，即當(dāng)整體或局部的面積易得，且比例關(guān)系清晰，則可以建立面積等式求解.這是以G·波利亞在《怎樣解題》中數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換，可見解題過程是通過問題的轉(zhuǎn)化完成的，而將未知的問題轉(zhuǎn)化成已知問題是轉(zhuǎn)換的重要方式之一為思想基礎(chǔ)的.

例6（2013年山西卷第25題）數(shù)學(xué)活動(dòng)——求重疊部分面積.

問題情境：如圖10，將兩塊全等的直角三角形紙片ABC與DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC= FE=8，頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合，DE經(jīng)過點(diǎn)C，求重疊部分△DCG的面積.

圖10

合作交流：如圖11，“數(shù)學(xué)小組”受此啟發(fā)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使ED⊥AB交AC于點(diǎn)H，交DF于點(diǎn)G，求重疊部分△GDH的面積.

圖11

提出問題：如圖12，“愛心小組”提出，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到HG=HD時(shí)，求重疊部分△GDH的面積.

圖12

解析：在此題中，要求的三角形面積均為整體△ABC的一部分，而△ABC的面積可求；若能找到所求三角形與△ABC之間的比例關(guān)系，即可將所求三角形的面積通過比例關(guān)系轉(zhuǎn)換為△ABC的面積，列出方程進(jìn)行計(jì)算.故接下來(lái)的目標(biāo)為嘗試尋找各種情況下的比例.

合作交流：要求一般△GDH的面積，發(fā)現(xiàn)它不是直角三角形，與△ABC不相似，比例關(guān)系難尋，那能否尋找一個(gè)直角三角形，使其成為該直角三角形的一

部分呢？

此時(shí)需要尋找S△GDH與S△ADH的關(guān)系.觀察發(fā)現(xiàn)△GDH中HG邊上的高與△ADH中AH邊上的高相等.至此，注意指向?yàn)镚H與AH的長(zhǎng)度關(guān)系.

經(jīng)分析由∠ADG+∠GDH=90°，∠A+∠B=90°，∠B=∠GDH三個(gè)條件，可得∠A=∠ADG.則有AG= DG.同時(shí)∠A+∠AHD=90°.而∠ADG+∠GDH=90°，故∠GHD=∠GDH.得GD=GH.有AG=GH.所以S△GDH∶S△ADH=1∶2.

提出問題：要求S△GDH，但△GDH與△ABC不相似，比例關(guān)系難以得到，由第（2）小題的思路得到啟發(fā)，尋找直角三角形，但已有△ADH不是直角三角形，從而嘗試構(gòu)造直角三角形，如圖13，連接CD，構(gòu)造△CDG.若∠CDG=90°，則△CDG可作為過渡三角形.由HG=HD，得∠HGD=∠HDG.

圖13

而∠HDG=∠B=∠DCB，

故∠HGD=∠DCB.

因?yàn)椤螧CD+∠DCH=90°，

從而∠HGD+∠DCH=90°.

故∠CDG=90°.

從而△CDG為過渡直角三角形.

【反思】通過分析例6的思路發(fā)現(xiàn)，通過比例與轉(zhuǎn)化建立面積等式進(jìn)而求解面積可行且簡(jiǎn)便，同時(shí)發(fā)現(xiàn)所求三角形均與易求面積的基本三角形“直角三角形”建立聯(lián)系，第（1）小題中所求的即為直角三角形面積；第（2）小題中將要求面積的三角形作為直角三角形的一部分；第（3）小題中需要構(gòu)造直角三角形來(lái)求解面積，由此可見基本圖形“直角三角形”具有廣闊的拓展空間.在解題時(shí)，要具有將一般三角形轉(zhuǎn)化為基本三角形的意識(shí)，抓住問題的本質(zhì)，便可突破植根于基本圖形“直角三角形”的大量題目.

面積法可解的題目種類繁多，且與轉(zhuǎn)化思想緊密結(jié)合，可作為后續(xù)考試命題的切入點(diǎn)，下面是一道運(yùn)用面積法證明線段不等的模擬題，希望能夠拋磚引玉，教師根據(jù)面積法解題的三大類型：與線段有關(guān)、與面積有關(guān)、與角有關(guān).可拓展出更多的優(yōu)質(zhì)題目.

模擬題：如圖14，BD為∠ABC的平分線，已知AD＞CD.求證：AB＞BC.

圖14

解析：由已知條件BD為∠ABC的平分線，聯(lián)想到角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.故過點(diǎn)D作AB，CB的垂線段DE，DF（如圖15），有DE=DF.要求證AB＞BC，結(jié)合兩垂線段相等，進(jìn)一步思考得到在△ADB和△CDB中可將四條線段統(tǒng)一起來(lái)，即AB和BC分別為三角形的兩底，DE和DF分別為兩個(gè)三角形相等的高，從而想到三角形的面積，只要證明S△ADB＞S△CDB，即可證明AB＞BC.分析條件AD＞CD，發(fā)現(xiàn)它們可以作為△ADB和△CDB的兩底，并且此時(shí)具有相等的高，得出S△ADB＞S△CDB.從而證明了AB＞BC.

圖15

反思：反思上述解題的思維方法和推理過程，題目可變式為：BD為∠ABC的平分線，AB＞BC.求證：AD＞CD.

運(yùn)用面積的等積變形和尋找面積之間的比例關(guān)系等方法，可以把求線段長(zhǎng)度、線段的相等或不等、點(diǎn)到直線的距離、角的大小、圖形面積等度量關(guān)系問題化歸為面積關(guān)系來(lái)求解.旨在使學(xué)生經(jīng)歷自然而火熱的數(shù)學(xué)思考過程，感悟數(shù)學(xué)解題思路和思維方法的自然生成，從而積累數(shù)學(xué)解題的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，最終提高數(shù)學(xué)解題的收益率.

［1］徐偉建.一個(gè)基本圖形在中考試題中的應(yīng)用［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2011（5）：19-21.

2016—08—08

郝曉鑫（1992—），女，碩士研究生，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究.