全方位掃描中考幾何最值問題

李玉榮（江蘇省南京市金陵中學(xué)河西分校）

全方位掃描中考幾何最值問題

李玉榮（江蘇省南京市金陵中學(xué)河西分校）

通過全方位掃描幾何最值問題，給學(xué)生提供思考的平臺(tái)，讓學(xué)生嘗試解決問題的方法，積累基本的解題經(jīng)驗(yàn)，感悟轉(zhuǎn)化思想，追求解題教學(xué)效益的最大化．

中考評(píng)價(jià)；幾何最值；轉(zhuǎn)化思想

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，評(píng)價(jià)應(yīng)以課程目標(biāo)和課程內(nèi)容為依據(jù)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的基本理念，全面評(píng)價(jià)學(xué)生在知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決和情感態(tài)度等方面的表現(xiàn)．遵循這一原則，命題者在設(shè)計(jì)時(shí)匠心獨(dú)具、精心雕琢，在平凡的數(shù)學(xué)知識(shí)考查中制造形式與手段、背景與情境的“奇巧與新意”，作為一個(gè)古老而永恒的話題──最值問題，凸顯運(yùn)動(dòng)變化中的不變思想，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，更是受到命題者的青睞，其中具有代表性的是“線段”型最值問題，筆者把它們歸納成幾種類型，探究解決最值問題的方法，供讀者參考．

一、“一動(dòng)點(diǎn)+一定點(diǎn)”型

例1（2015年湖北·武漢卷）如圖1，△ABC，△EFG均是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC，EF的中點(diǎn)，直線AG，F(xiàn)C相交于點(diǎn)M．當(dāng)△EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段BM長的最小值是（ ）.

圖1

解析：點(diǎn)B為定點(diǎn)，點(diǎn)M為動(dòng)點(diǎn)，

如圖2，連接AD，GD，

圖2

則∠ADG=90°-∠GDC=∠CDF.

又因?yàn)椤鰽DG與△CDF均為等腰三角形，

所以∠GAD=∠FCD.

所以∠GAD+∠DCM=∠FCD+∠DCM=180°.

從而∠AMC+∠ADC=180°.

于是∠AMC=180°-90°=90°.

取AC的中點(diǎn)P，連接BP，MP，

故選D．

【評(píng)析】此題有一定的難度，是通過構(gòu)造三角形，利用“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，第三邊取得最小值，這是求“一動(dòng)點(diǎn)+一定點(diǎn)”型最值問題的一個(gè)重要方法．

二、“兩動(dòng)點(diǎn)”型

例2（2015年廣東·廣州卷）如圖3，在四邊形ABCD中，∠A=90°，點(diǎn)M，N分別為線段BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長度的最大值為_______.

圖3

圖4

解析：點(diǎn)M，N都是動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)隨之而動(dòng)，

如圖4，連接DN，

因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，

所以當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)B重合時(shí)DN最大，即EF最大，

故EF長度的最大值為3.

【評(píng)析】“兩動(dòng)點(diǎn)”型最值問題，可利用圖形條件考慮這條線段與其他線段的關(guān)系，一般可通過等量代換轉(zhuǎn)化為“一動(dòng)點(diǎn)+一定點(diǎn)”型最值，再利用“垂線段最短”求解．

三、“一動(dòng)點(diǎn)+兩定點(diǎn)”型

例3（2015年貴州·安順卷）如圖5，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上的一點(diǎn)，BE=1，F(xiàn)為AB上的一點(diǎn)，AF=2，P為AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PF+PE的最小值為______．

圖5

解析：點(diǎn)E，F(xiàn)是定點(diǎn)，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)E，F(xiàn)在AC的同側(cè)，求PF+PE的最小值是常見的一個(gè)基本圖形問題，一般用對(duì)稱法求解.

如圖6，作點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F′，則AF′=AF=2.

圖6

連接F′E交AC于點(diǎn)P，此時(shí)PF+PE的值最小，為F′E.

【評(píng)析】“一動(dòng)點(diǎn)+兩定點(diǎn)”型最值問題是典型的最值模型，與教材上的一個(gè)基本圖形密切相關(guān)，一般用對(duì)稱法求解，此類題是各地中考試卷最?？嫉淖钪祮栴}．

故PF+PE的最小值為

四、“兩動(dòng)點(diǎn)+一定點(diǎn)”型

例4（2015年湖北·鄂州卷）如圖7，∠AOB＝30°，點(diǎn)M，N分別是射線OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，OP平分∠AOB，且OP＝6，當(dāng)△PMN的周長取最小值時(shí)，四邊形PMON的面積為_______．

圖7

解析：點(diǎn)P是定點(diǎn)，而點(diǎn)M，N都是動(dòng)點(diǎn)，

如圖8，分別作點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2，連接P1P2交OA，OB于點(diǎn)M，N，

圖8

則此時(shí)△PMN的周長最小.

連接OP1，OP2，

由∠AOB＝30°，知△OP1P2為等邊三角形，OP⊥P1P2.

所以P1P2=OP1=OP=6，∠MPO=∠MP1O=60°，∠NPO=∠NP2O=60°，∠MPN=120°.

設(shè)P1M=PM=P2N=PN=x，

從而四邊形PMON的面積為

【評(píng)析】“兩動(dòng)點(diǎn)+一定點(diǎn)”型最值問題難度較大，一般可先將定點(diǎn)關(guān)于某條直線的對(duì)稱點(diǎn)找出來，轉(zhuǎn)化為“三點(diǎn)共線”，或利用“垂線段最短”求解．

五、“兩動(dòng)點(diǎn)+兩定點(diǎn)”型

例5（2015年四川·南充卷）已知拋物線y=-x2+ bx+c與x軸交于點(diǎn)A（m－2，0）和B（2m＋1，0）（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)P，對(duì)稱軸為l：x＝1．

（1）求拋物線解析式．

（2）直線y＝kx＋2（k≠0）與拋物線相交于兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），當(dāng)|x1-x2|最小時(shí)，求拋物線與直線的交點(diǎn)M和N的坐標(biāo)．

（3）首尾順次連接點(diǎn)O，B，P，C構(gòu)成多邊形的周長為L．若線段OB在x軸上移動(dòng)，求L取最小值時(shí)，點(diǎn)O，B移動(dòng)后的坐標(biāo)及L的最小值．

解析：（1）略.

（2）略.

（3）點(diǎn)C，P為定點(diǎn)，點(diǎn)O，B為動(dòng)點(diǎn)，O（0，0），B（3，0），P（1，4），C（0，3），O，B，P，C構(gòu)成多邊形的周長L=OB+BP+PC+CO.

所以要使L最小，只需BP+CO最短.

如圖9，將點(diǎn)C向右平移3個(gè)單位得到點(diǎn)C′，

圖9

則C′（3，3）.

作點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P′（1，－4）

連接C′P′與x軸交于點(diǎn)B′，

設(shè)C′P′的解析式為y=ax+n，

【評(píng)析】“兩動(dòng)點(diǎn)+兩定點(diǎn)”型最值問題難度較大，當(dāng)兩動(dòng)點(diǎn)不在一條直線上時(shí)，一般可先作出兩定點(diǎn)關(guān)于另一條直線的對(duì)稱點(diǎn)，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”求解；而當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，需通過平移轉(zhuǎn)化為“一動(dòng)點(diǎn)+兩定點(diǎn)”型問題求解．

六、“三動(dòng)點(diǎn)”型

例6（2015年江蘇·鹽城卷）如圖10，把△EFP按圖示方式放置在菱形ABCD中，使得頂點(diǎn)E，F(xiàn)，P分別在線段AB，AD，AC上，已知EP=FP=4，∠BAD=60°，且

圖10

（1）求∠EPF的大小；

（2）若AP=6，求AE+AF的值；

（3）若△EFP的三個(gè)頂點(diǎn)E，F(xiàn)，P分別在線段AB，AD，AC上運(yùn)動(dòng)，試直接寫出AP長的最大值和最小值．

解析：（1）略.

（2）略.

（3）點(diǎn)E，F(xiàn)，P均為動(dòng)點(diǎn)，

如圖11，作PH⊥AB于點(diǎn)H，

圖11

則AP=2PH≤2EP=8，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)E重合時(shí)，等號(hào)成立.

故AP長的最大值為8.

又因?yàn)椤螾AB=30°，

所以∠AEP≥∠PEF=∠PAE.

所以AP≥PE=4，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，等號(hào)成立.

故AP長的最小值為4．

【評(píng)析】此題是“三動(dòng)點(diǎn)”型最值問題，其最大值是利用“垂線段最短”求解，而最小值是利用“大角對(duì)大邊”獲得．

波利亞說過，數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題的反思與回顧．各地中考試卷賦予了幾何最值新的活力，精品試題層出不窮，有效地考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．解決此類問題，需要用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光去研究和觀察圖形，把握運(yùn)動(dòng)中的不變量，針對(duì)題目特點(diǎn)，合理地利用“垂線段最短”“兩點(diǎn)之間，線段最短”等原理和基本圖形，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單的常見問題，當(dāng)然上述類型中的解法不是孤立的，有時(shí)一道題幾種方法都能奏效，而有時(shí)一道題卻需要同時(shí)用幾個(gè)方法才能解決．個(gè)中滋味，只有悉心體會(huì)，在解題中學(xué)習(xí)解題，才能實(shí)現(xiàn)解題的智慧托舉．

［1］李玉榮.點(diǎn)擊與圓有關(guān)的最值問題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2014（2）：63-66．

［2］李玉榮.一組最值問題“圓”來如此容易［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2015（6）：90-91．

2016—08—14

李玉榮（1963—），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)、命題及解題研究.