利用向量求解二面角大小

鄧虹

目前，立體幾何中學(xué)習(xí)的空間角有線線角、線面角、面面角，其中面面角又叫二面角，是高中立體幾何中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，常常出現(xiàn)在高考的解答題中，難度屬于中等題。它的解法可以使用傳統(tǒng)的幾何方法（如定義法、三垂線定理法、垂面法、射影法等），但是這些解法在思維上難度都太大，往往思路明確，算無結(jié)果。

我們知道，向量是連接幾何與代數(shù)的橋梁，我們可以利用向量的方法把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，利用代數(shù)運(yùn)算算出最終結(jié)果。這樣減少了思維按照一類方法計(jì)算下去，很多學(xué)生特別是中等生容易接受。

下面我將從空間向量方法的角度，談?wù)勗鯓永每臻g向量求二面角。

二面角的文字語言：在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于公共直線的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可用平面角表示。

二面角圖形語言：

二面角符號語言：α，β是兩個(gè)半平面，m，n是兩條直線，α∩β=l，m？奐α，n？奐β，m⊥l，n⊥l，且m∩l=D，n∩l=D，那么角θ叫α-l-β二面角，也是二面角的平面角。

綜上求二面角，就是求α-l-β二面角的平面角。

用向量法求二面角的步驟：

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)系內(nèi)設(shè)點(diǎn)；

（2）求平面α的法向量為n1=（x1，y1，z1），平面β的法向量為n2=（x2，y2，z2）；

（3）求n1和n2的法向量的夾角的余弦值

（4）根據(jù)題目觀察，結(jié)合cos的值得出二面角θ的大小。

在這里需要注意的是：

因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄康姆较騿栴}如圖1和圖2，容易知道在圖1中二面角θ的大小與Φ互補(bǔ)，在圖2中二面角θ的大小與Φ相等。

往往在實(shí)際解決問題時(shí)，題目會讓你求出銳二面角的角度或者余弦值。在實(shí)際中我們是要學(xué)生學(xué)會求二面角的方法，對于是鈍角還是銳角也沒有嚴(yán)格的要求。

下面我將用高考試題把求二面角的步驟應(yīng)用一遍：

例題：如圖三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C。

（Ⅰ）證明：AC=AB1；

（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值。

解：（Ⅰ）略

解決本題的關(guān)鍵主要有以下幾點(diǎn)：一是要建立空間直角坐標(biāo)系，盡量把盡可能多的點(diǎn)放到坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上，這樣有利于找點(diǎn)和后面的計(jì)算；二是法向量是非零向量，它是用不定方程組求出來的，解有無數(shù)組，找出最簡單的一組就好，一般是令x=1；三是二面角的大小有時(shí)是鈍角，有時(shí)是銳角，這要根據(jù)具體的題目來分析，觀察法也是個(gè)好方法。

求解二面角大小是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的題型，而用向量的方法求解也是我們常用的方法，要求學(xué)生有很強(qiáng)的計(jì)算能力和空間想象能力，平時(shí)教師就應(yīng)該要求學(xué)生把計(jì)算進(jìn)行到底，要用快速的計(jì)算來彌補(bǔ)思維的不足。

（作者單位：福建省沙縣金沙高級中學(xué)）