連續(xù)梁振動(dòng)調(diào)整的快速解析

李 彤， 李銀山， 霍樹浩， 韋炳威

(1. 華東理工大學(xué) 承壓系統(tǒng)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200237；2. 河北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300130；3. 太原科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山西 太原 030024)

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·實(shí)驗(yàn)技術(shù)·

連續(xù)梁振動(dòng)調(diào)整的快速解析

李 彤1， 李銀山2， 霍樹浩3， 韋炳威2

(1. 華東理工大學(xué) 承壓系統(tǒng)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200237；2. 河北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300130；3. 太原科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山西 太原 030024)

采用連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法求解了連續(xù)梁自振角頻率的解析表達(dá)式。首先采用彎曲-振動(dòng)比擬法建立具有四階導(dǎo)數(shù)的撓度微分方程，獨(dú)立積分4次，得到撓度的通解。利用邊界條件和連續(xù)性條件確定積分常數(shù)，得到撓度的解析表達(dá)式；然后根據(jù)最小能量原理得到了自振角頻率的一次近似解析解；根據(jù)漸近法求解精確的振動(dòng)微分方程得到更精確的撓度解析函數(shù)表達(dá)式，利用最小能量原理求得自振角頻率的精確表達(dá)式。按照振動(dòng)結(jié)構(gòu)的同步失效準(zhǔn)則和最優(yōu)化準(zhǔn)則對(duì)連續(xù)梁支座位置進(jìn)行調(diào)整，得到了結(jié)構(gòu)的固有角頻率最優(yōu)解的解析表達(dá)式。繪制了固有角頻率隨位置的變化曲線。工程實(shí)例表明，連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法編程程式化，可以得到自振角頻率最優(yōu)的解析解。

振動(dòng)調(diào)整； 自振角頻率； 快速解析法； 最小能量原理； 漸近法

0 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，結(jié)構(gòu)振動(dòng)的快速解析計(jì)算與計(jì)算機(jī)仿真研究越來越重要[1-9]。自振角頻率的調(diào)整是一個(gè)彈性桿件體系動(dòng)力學(xué)的基本問題，它歸結(jié)為用各種方法調(diào)整彈性體系的剛度或改變對(duì)應(yīng)的位移。在強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)是調(diào)整動(dòng)力和位移的問題，它的計(jì)算常與隔振器和減震器的設(shè)置，改變作用在結(jié)構(gòu)上的動(dòng)力傳播簡(jiǎn)圖，選擇動(dòng)力作用激振器的工作等有關(guān)。振動(dòng)調(diào)整的目的是從調(diào)平的條件用方程式的形式表達(dá)。通常，總的未知數(shù)等于反映與限制目的所要聯(lián)合求解的方程式數(shù)目。但是，由于這些方程的系數(shù)部分是位移，所以在一般情況下，這些方程組是非線性的，常用的方法無法求得解析解。

李銀山[10]提出的連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法是一種快速求解梁彎曲變形問題的解析方法，文獻(xiàn)[11]中利用該方法求解了復(fù)雜載荷作用下等截面靜定梁的解析解；文獻(xiàn)[12-13]中求解了復(fù)雜載荷作用下等截面超靜定梁的解析解；文獻(xiàn)[14]中求解了復(fù)雜載荷作用下變截面梁的解析解；文獻(xiàn)[15]中求解了桿件體系穩(wěn)定性問題的解析解。本文利用連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法求解了連續(xù)梁振動(dòng)固有角頻率的解析解。

1 支座位置調(diào)整連續(xù)梁振動(dòng)固有角頻率設(shè)計(jì)

1.1 問題描述

質(zhì)量m均勻分布的連續(xù)梁(見圖1)在怎樣的比值l1/L時(shí)，它的最低自振角頻率最大？已知E，I，L，ρ，A。求ωn，l1。

(a) 中間有1個(gè)可調(diào)支座

(b) 中間有2個(gè)可調(diào)支座

圖1 可調(diào)整中間支座的連續(xù)梁

1.2 優(yōu)化準(zhǔn)則

1.2.1 振動(dòng)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

在電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之前，結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究受到計(jì)算手段的限制，不能設(shè)想全面展開，但是人們還是在構(gòu)件的優(yōu)化設(shè)計(jì)方面做了許多工作，它們大都出自于“同步失效”的概念，也就是構(gòu)件的各個(gè)組成部分同時(shí)抵達(dá)容許強(qiáng)度或失穩(wěn)安全限度，由此得出一組聯(lián)立方程，它們的解析解就提供了構(gòu)件截面的優(yōu)化尺寸。用“同步失效”作為優(yōu)化準(zhǔn)則，通?？梢缘玫綐?gòu)件的最輕設(shè)計(jì)，所以在飛機(jī)設(shè)計(jì)多被采用。對(duì)于一根薄壁組合構(gòu)件來說，它同時(shí)有強(qiáng)度、局部穩(wěn)定和整體穩(wěn)定問題，采用這種同步失效準(zhǔn)則提供的設(shè)計(jì)公式既方便又有效。對(duì)于桁架結(jié)構(gòu)的拉桿或壓桿來說，則更為簡(jiǎn)單，構(gòu)件優(yōu)化就是滿應(yīng)力狀態(tài)，當(dāng)然要注意壓桿的容許應(yīng)力并不像拉桿的那樣是個(gè)常數(shù)，而是隨桿件的細(xì)長(zhǎng)比而變化的。推而廣之，讓桁架的每根桿件都成為滿應(yīng)力，這就成為“滿應(yīng)力”準(zhǔn)則設(shè)計(jì)了。對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)來說，由于內(nèi)力分布不受桿件截面變化的影響，滿應(yīng)力設(shè)計(jì)就是最輕設(shè)計(jì)。從直覺出發(fā)，人們很自然地把這道理同樣也應(yīng)用于超靜定結(jié)構(gòu)。但是在沒有電子計(jì)算機(jī)的時(shí)代，要對(duì)一個(gè)比較復(fù)雜的超靜定結(jié)構(gòu)在多種工況下完成一個(gè)滿應(yīng)力設(shè)計(jì)也是不容易的。因?yàn)橐ㄟ^多次的迭代才行，而每一次迭代就要進(jìn)行一次重新分析，計(jì)算工作量是非常繁重的，所以過去只得進(jìn)行一二次迭代得到一個(gè)比較輕的設(shè)計(jì)就滿足了。20世紀(jì)60年代初，引用數(shù)學(xué)規(guī)劃嚴(yán)格地證明了滿應(yīng)力設(shè)計(jì)和最輕設(shè)計(jì)并不總是等價(jià)的，而且滿應(yīng)力解的存在與收斂也是有條件的。這些條件跟結(jié)構(gòu)本身的構(gòu)造和荷載情況(工況數(shù)目)都有關(guān)系。為此，人們做過很多研究，直到現(xiàn)在還沒有既十分確切又易于實(shí)用的判別方法。但是滿應(yīng)力設(shè)計(jì)在實(shí)際應(yīng)用中還是很有價(jià)值而受到歡迎的。它有下列幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：

(1) 有了電子計(jì)算機(jī)之后，在只有應(yīng)力約束的問題中這是最簡(jiǎn)單易行而且通常收斂很快的方法；在兼有變位、頻率等其他約束時(shí)，也可以作為近似手段配合其它約束組成優(yōu)化方法。

(2) 滿足應(yīng)力設(shè)計(jì)雖然在理論上并不一定是最輕設(shè)計(jì)，但是實(shí)踐表明兩者在很多場(chǎng)合常常是相等或者很接近的。

(3) 在優(yōu)化過程中，每走一滿應(yīng)力步后，緊接著走一射線步(或稱比例步)把設(shè)計(jì)點(diǎn)引到可行域邊界上，如此交替進(jìn)行，就可以把滿應(yīng)力準(zhǔn)則跟目標(biāo)函數(shù)聯(lián)系起來得到最輕解；這就是所謂改進(jìn)滿應(yīng)力法，或稱滿應(yīng)力齒行法。它給出的結(jié)果已不是滿應(yīng)力解，實(shí)際上它是一種數(shù)學(xué)規(guī)劃結(jié)合力學(xué)特點(diǎn)的搜索法。因?yàn)樗皇抢脻M應(yīng)力條件來決定搜索方向和步長(zhǎng)，二是利用射線步把設(shè)計(jì)點(diǎn)拉回可行區(qū)的邊界；這兩者都是利用了結(jié)構(gòu)力學(xué)方面的特點(diǎn)。這種搜索法比之經(jīng)典的梯度投影法等似乎來得更有效。這方法效果好，概念也易于為工程人員所接受。

振動(dòng)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則一(同步失效準(zhǔn)則):整體結(jié)構(gòu)的最低自振角頻率最大值等于各部分結(jié)構(gòu)的最低自振角頻率最大值。

振動(dòng)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則二(最優(yōu)準(zhǔn)則): 整體結(jié)構(gòu)的最低自振角頻率最大值等于整體結(jié)構(gòu)最低自振角頻率對(duì)各設(shè)計(jì)參數(shù)函數(shù)取最大值。

1.2.2 振動(dòng)設(shè)計(jì)的定性判斷法

與精確求解的力法和位移法不同，定性判斷是未知內(nèi)力的預(yù)測(cè)值，要求預(yù)測(cè)精度越高越好。為了能夠定性判斷，必須把復(fù)雜結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化成“靜定結(jié)構(gòu)”。

確定對(duì)應(yīng)于最低自振角頻率的每一單跨梁的振動(dòng)形式，求出中間零點(diǎn)的位置。就是所求的中間支座放置的位置。

確定附加支座位置，使每跨最低自振角頻率數(shù)值相等。連續(xù)梁的最低自振角頻率ωn的數(shù)值經(jīng)常是在每一跨最低自振角頻率數(shù)值之間，令ωn,1=ωn,2=…。

情況一:兩端簡(jiǎn)支，中間有1個(gè)可調(diào)整支座連續(xù)梁，假定反向振動(dòng)模態(tài)，把原來結(jié)構(gòu)分解成兩根簡(jiǎn)支單跨梁(見圖2)。

(1)

解得

(a)

(b)

(c)

圖2 兩端簡(jiǎn)支中間有1個(gè)可調(diào)整支座連續(xù)梁

情況二: 兩端簡(jiǎn)支，中間有2個(gè)可調(diào)整支座連續(xù)梁，假定反向振動(dòng)模態(tài)， 把原來結(jié)構(gòu)分解成3根簡(jiǎn)支單跨梁(見圖3)。

(2)解得:

(a)

(b)

(c)

(d)

圖3 兩端簡(jiǎn)支中間有2個(gè)可調(diào)整支座連續(xù)梁

推論：兩端簡(jiǎn)支，中間有m個(gè)可調(diào)整支座連續(xù)梁，當(dāng)各段長(zhǎng)度相等時(shí)，連續(xù)梁具有最低模態(tài)固有角頻率:

情況三: 兩端簡(jiǎn)支，中間有1個(gè)可調(diào)整支座連續(xù)梁，假定同向振動(dòng)模態(tài)，把原來結(jié)構(gòu)分解成兩根一端簡(jiǎn)支另一端固定單跨梁(見圖4)。

(3)

解得:

(a)

(b)

(c)

圖4 中間有1個(gè)可調(diào)整支座

與情況一比較，顯然，同向振動(dòng)模態(tài)的固有角頻率大于反向振動(dòng)模態(tài)的固有角頻率。以下求最低固有角頻率采用反向振動(dòng)模態(tài)。

2 有可調(diào)支座簡(jiǎn)支梁固有角頻率的快速解析計(jì)算

2.1 有1個(gè)可調(diào)支座時(shí)固有角頻率的快速解析計(jì)算

2.1.1 采用連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法確定最低模態(tài)初函數(shù)

利用連續(xù)分段獨(dú)立積分法求解步驟(見圖5)：

(1) 本題分為兩段(n=2)，各段的撓曲線近似微分方程如下:

(4)

(2) 對(duì)式(4)各段的撓曲線近似微分方程分別積分4次，得到撓度的通解。在通解中，包含有8個(gè)積分常數(shù)Ci(i=1,2,…,8)。

圖5 兩端簡(jiǎn)支有1個(gè)可調(diào)支座連續(xù)梁

(振動(dòng)最低模態(tài)初撓度函數(shù)采用彎曲-振動(dòng)比擬)

(3) 利用如下的位移邊界條件、力邊界條件和連續(xù)性條件:

(5)

聯(lián)立解方程組(5)，得出8個(gè)積分常數(shù)Ci。

(4) 將Ci代入撓度的通解，得到撓度的解析表達(dá)式

(6)

2.1.2 采用最小能量原理確定最低自振角頻率一階近似值

將式(6)確定的初撓度函數(shù)代入下式:

(7)得到最小自振角頻率關(guān)于l1的函數(shù)表達(dá)式:

連續(xù)梁最小自振角頻率函數(shù)：

梁跨一、跨二最小自振角頻率函數(shù)分別為：

按振動(dòng)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則一，列方程：

(8)

解得一階近似同步失效解：

按振動(dòng)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則二，取駐點(diǎn)：

(9)

解得一階近似最優(yōu)解：

由圖6可見，當(dāng)l1=l2時(shí)，橫向自振角頻率是最大的；按定性判斷法、最小能量法準(zhǔn)則一和最小能量法準(zhǔn)則二3種解法結(jié)果非常接近。

圖6 有1個(gè)可調(diào)支座簡(jiǎn)支梁固有角頻率

…定性判斷法，—能量法

2.2 有2個(gè)可調(diào)支座時(shí)固有角頻率的快速解析計(jì)算

2.2.1 采用連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法確定最低模態(tài)初函數(shù)

利用連續(xù)分段獨(dú)立積分法求解步驟為(見圖7)：

圖7 兩端簡(jiǎn)支有2個(gè)可調(diào)支座連續(xù)梁

(振動(dòng)最低模態(tài)初撓度函數(shù)采用彎曲-振動(dòng)比擬)

(1) 本題分為3段(n=3)，各段的撓曲線近似微分方程如下：

(10)

(2) 對(duì)式(10)各段的撓曲線近似微分方程分別積分4次，得到撓度的通解。在通解中，包含有12個(gè)積分常數(shù)Ci(i=1,2,…,12)。

(3) 利用如下的位移邊界條件、力邊界條件和連續(xù)性條件：

(11)

聯(lián)立解方程組式(11)，得出12個(gè)積分常數(shù)Ci。

(4) 將Ci代入撓度的通解，得到撓度的解析表達(dá)式：

(12)

2.2.2 采用最小能量原理確定最低固有角頻率一階近似值

將式(12)確定的初撓度函數(shù)代入下式：

(13)

按穩(wěn)定性設(shè)計(jì)準(zhǔn)則一，列方程：

(14)

解得一階近似同步失效解：

按振動(dòng)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則二，取駐點(diǎn)：

(15)

解得一階近似最優(yōu)解：

由圖8可見，當(dāng)l1=l2時(shí)，橫向自振角頻率是最大的；按定性判斷法、最小能量法準(zhǔn)則一和最小能量法準(zhǔn)則二3種解法結(jié)果非常接近。

圖8 2個(gè)可調(diào)支座簡(jiǎn)支梁固有角頻率

3 一端簡(jiǎn)支一端固定可調(diào)中間支座連續(xù)梁的最低固有角頻率

3.1 最低固有角頻率的一階近似解析解

3.1.1 連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法確定最低振動(dòng)模態(tài)函數(shù)

利用連續(xù)分段獨(dú)立積分法求解步驟為(見圖9)：

(1) 本題分為兩段(n=2)，各段的撓曲線近似微分方程如下：

圖9 一端簡(jiǎn)支另一端固定有1個(gè)可調(diào)支座連續(xù)梁

(振動(dòng)最低模態(tài)初撓度函數(shù)采用彎曲-振動(dòng)比擬)

(16)

(2) 對(duì)式(16)各段的撓曲線近似微分方程分別積分4次，得到撓度的通解。通解中，包含有8個(gè)積分常數(shù)Ci(i=1,2,…,8)。

(3) 利用如下的位移邊界條件、力邊界條件和連續(xù)性條件：

(17)

聯(lián)立解方程組(17)，得出8個(gè)積分常數(shù)Ci。

(4) 將Ci代入撓度的通解得到撓度的解析表達(dá)式：

(18)

3.1.2 采用最小能量原理確定最低固有角頻率一階近似解析解

將式(18)確定的初撓度函數(shù)代入式(7)，得到最低固有角頻率關(guān)于l1的函數(shù)表達(dá)式：

按振動(dòng)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則一，列方程：

(19)

解得一階近似同步失效解：

按振動(dòng)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則二，取駐點(diǎn)：

(20)

解得一階近似最優(yōu)解：

結(jié)果表明：采用最小能量法計(jì)算按同步失效準(zhǔn)則和最優(yōu)化準(zhǔn)則得到的最低固有角頻率結(jié)果不一致，但比較接近。

3.2 最低自振角頻率的精確解析解

3.2.1 漸近法確定最低振動(dòng)模態(tài)函數(shù)

將振動(dòng)中性平衡的微分方程式：

(21)

取式(18)的撓度作為初函數(shù)v1,[0]，v2,[0]則：

(22)

將式(22)積分4次得到v1,[1]，v2,[1]的通解，此時(shí)之邊界條件仍為式(17),利用式(17)確定積分常數(shù)，就得到v1,[1]，v2,[1]的解析表達(dá)式，依次逐步迭代就可得到v1,[n]，v2,[n](n=1,2,…)的解析表達(dá)式。

3.2.2 采用最小能量原理確定最低固有角頻率精確解析解

將撓度函數(shù)v1,[n]，v2,[n](n=1,2,…)的解析表達(dá)式代入式(7)，得到最低固有角頻率關(guān)于l1的函數(shù)表達(dá)式ωn=ωn(l1)，其中z=l1/L。

按振動(dòng)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則一，列方程：

(23)

解得精確同步失效解：

按振動(dòng)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則二，取駐點(diǎn)：

(24)

解得精確的最優(yōu)解：

圖10給出了一端簡(jiǎn)支一端固定可調(diào)中間支座連續(xù)梁的最低固有角頻率按最優(yōu)化準(zhǔn)則漸近法迭代次數(shù)的比較，計(jì)算結(jié)果非常接近。

圖10 一端簡(jiǎn)支一端固定可調(diào)中間支座連續(xù)梁的最低固有

角頻率按最優(yōu)化準(zhǔn)則(漸近法迭代次數(shù)比較)

4 結(jié)果分析

表1給出了4種方法的連續(xù)梁調(diào)整最低固有角頻率計(jì)算結(jié)果，表中：

表1 連續(xù)梁振動(dòng)調(diào)整各種計(jì)算方法最低自振角頻率對(duì)比表

由表1可以看出：①定性判斷法雖然不能得到最優(yōu)解，但可以得到接近最優(yōu)解的同步失效解；②最小能量法一階近似解雖然有一定誤差但可以得到簡(jiǎn)單的解析表達(dá)式供工程設(shè)計(jì)參考；③漸近法可以得到最優(yōu)解，一般迭代2,3次就可以得到精確解(見圖10)；④有限單元法可以得到精確的數(shù)值解，但不能得到解析表達(dá)式；⑤同步失效準(zhǔn)則與最優(yōu)準(zhǔn)則計(jì)算結(jié)果接近。

5 結(jié) 語

本文從力學(xué)模型研究入手，建立了一種連續(xù)梁振動(dòng)求解的通用模型，推導(dǎo)出連續(xù)梁振動(dòng)模態(tài)計(jì)算的一般方程和程序化求解的通用程序。利用連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法求解可以得到最低固有角頻率的解析解，求解過程簡(jiǎn)潔方便、快速準(zhǔn)確，適用于各種邊界條件的連續(xù)梁最低固有角頻率計(jì)算。

基于彎曲-振動(dòng)比擬法采用連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法求得振動(dòng)初模態(tài)解析撓度函數(shù)，與最小能量法相結(jié)合求解了結(jié)構(gòu)振動(dòng)調(diào)整的一階近似最低固有角頻率解析表達(dá)式；進(jìn)而基于精確的梁振動(dòng)微分方程采用漸近法積分得到梁振動(dòng)模態(tài)解析撓度函數(shù)，與最小能量法相結(jié)合求解了結(jié)構(gòu)振動(dòng)調(diào)整的最優(yōu)固有角頻率解析表達(dá)式。

推廣“連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法”在振動(dòng)工程中的應(yīng)用，具有重要的理論意義和工程實(shí)用價(jià)值。

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Study on a Fast Analytical Method of Adjustment of Continuous Beam Vibration

LITong1，LIYin-shan2，HUOShu-hao3，WEIBing-wei2

(1．Key Laboratory of Pressure Systems and Safety, Ministry of Education, East China University of Science and Technology, Shanghai 200237, China; 2． School of Mechanical Enginearing， Hebei University of Technology, Tianjin 300130， China; 3． School of Mechanics Eng.， Taiyuan University of Science & Technology, Taiyuan 030024， China)

A continuous subsection independently systematic integral method (CSISIM) is used to solve the analytical expressions of the natural angular frequency of continuous beams vibration. First the forth-order differential deflection equations are derived by bending-vibration analogy method. Then the general solutions of beam deflection are obtained by independent forth-fold integration. Integral constants are determined by boundary conditions and continuity conditions to determine the analytical solution of deflection. According to the principle of minimum energy, we get the first order approximate analytical solution of the natural angular frequency. Then by progressive method, more accurate analytical solution is obtained by solving exact differential equations of the vibration. According to the principle of minimum energy, the exact expression of natural angular frequency can be solved. The support position of the continuous beam is adjusted by simultaneous failure criterion and optimization criterion of vibration structure. Analytic expression of the optimal solution of the nature angular frequency of the structure is obtained. The changing curve of the natural angular frequency versus position is plotted. The engineering example shows the CSISIM method is a general method suitable for computer stylized programming to solve. It can obtain the optimum analytical solution of natural angular frequency.

vibration adjustment; natural angular frequency; fast analysis method; minimum energy principle; progressive method

2015-08-31

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10632040)

李 彤(1962-)，女，浙江紹興人，博士，講師，主要從事結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究。Tel.：021-64253308;E-mail: tongli@ecust.edu.cn

TU 311.41

A

1006-7167(2016)05-0004-06