多角度思考巧用三角工具解題

張永玲

三角是高中數(shù)學(xué)傳統(tǒng)內(nèi)容的四大模塊（代數(shù)，三角，立體幾何，解析幾何）之一.在教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)時，往往把關(guān)注的重點放在了三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象，三角公式的靈活運用上，把三角的知識作為一個封閉的知識來對待，而忽略了三角知識與方法在其它領(lǐng)域的工具作用.新課標(biāo)倡導(dǎo)的十條理念之一是：發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，因此我們在教學(xué)中，不僅要把三角知識系統(tǒng)化，更要探索三角知識和方法的廣泛應(yīng)用，發(fā)揮出工具作用.

一、證明平面幾何題

例1如圖1，E是正方形ABCD的邊BC的中點，F(xiàn)在CD上，且CF=14CD.求證：∠BAE=∠EAF

證明本例只需證明∠BAF=2∠BAE.作FG⊥AB于G，設(shè)正方形的邊長為4，則BE=2，GF=4，AG=3.記∠BAE=θ，顯然tanθ=12tan2θ=43，tan∠GAF=43，可見 tan2∠BAE=tan∠BAF.而∠BAF=2∠BAE都是銳角，所以∠BAF=2∠BAE，從而∠BAE=∠EAF.

二、求值域

例2求函數(shù)y=x2+xx2-1的值域.

例3若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是

A.245B. 285C.5D.6

解已知式化為15y+35x=1，可設(shè)15y=sin2θ，35x=cos2θ，即y=15sin2θ，x=35cos2θ，所以3x+4y=95sec2θ+45csc2θ，即tan2θ=23，也即sin2θ=25，cos2θ=35，從而x=1，y=12.因此3x+4y的最小值為5，選C.

四、求解不等式問題

例4設(shè)a，b∈R，且a2+b2≤1，求證：a2+2ab-b2≤2

證明由已知及求證式子中的a2-b2，2ab，聯(lián)想到三角中的正弦，余弦的倍角公式.設(shè)a=ccosθ，b=csinθ（c≤1），則a2+2ab-b2=c2（cos2θ+sin2θ）=2c2sin（2θ+π4）.因此a2+2ab-b2≤2.

五、求解數(shù)列問題

例5在數(shù)列an中，an+1=an+31-3an，求a2016-a2010的值.

解遞推式的形式與兩角和的正切公式相似，其中3=tan60°，不妨設(shè)an=tanθn，則有tanθn+1=tanθn+tan60°1-tanθntan60°=tanθn+tan60°an+6=an，可知數(shù)列an是以6為周期的周期數(shù)列.所以a2016-a2010=0.

六、求解向量問題

例6△ABC是是邊長為3的正三角形，P是以C為圓心的圓上的任意一點，則AP·BP的取值范圍是.

解以C為原點如圖2建立平面直角坐標(biāo)系，可知A（-32，-32），B（32，32），C（0，0），設(shè)P（cosθ，sinθ），則AP=（cosθ+32，sinθ+32），BP=（cosθ-32，sinθ+32），所以AP·BP=cos2θ-34+sin2θ+3sinθ+94=3sinθ+52.而-1≤sinθ≤1，所以AP·BP的取值范圍是-12，112

七、求解立體幾何問題

例7已知圓錐的母線長為l，底面半徑為r，求過圓錐頂點的截面三角形面積S的最大值.