基于互信息的深證股票復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湫再|(zhì)分析

胡振華,覃子龍,楊燕

(中南大學(xué)商學(xué)院,長(zhǎng)沙410083)

基于互信息的深證股票復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湫再|(zhì)分析

胡振華,覃子龍,楊燕

(中南大學(xué)商學(xué)院,長(zhǎng)沙410083)

文章針對(duì)以往在非線性系統(tǒng)中不當(dāng)使用線性系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)——Pearson相關(guān)系數(shù)來(lái)構(gòu)建復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的方法,以深證股票為研究對(duì)象,使用在非線性系統(tǒng)中衡量隨機(jī)變量之間相關(guān)性的指標(biāo)——互信息來(lái)構(gòu)建復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)并分析了該網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì),認(rèn)為深證股票復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有小世界特征和無(wú)標(biāo)度特征,深證股票緊密程度高,市場(chǎng)信息傳遞效率也較高,社團(tuán)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)第二產(chǎn)業(yè)集聚、第三產(chǎn)業(yè)分散的特點(diǎn),股票收益率的波動(dòng)與產(chǎn)業(yè)鏈具有更大的相關(guān)性,網(wǎng)絡(luò)對(duì)隨機(jī)故障具有較高的魯棒性,而對(duì)蓄意攻擊具有高度的脆弱性。

非線性系統(tǒng);信息熵;互信息;復(fù)雜網(wǎng)絡(luò);拓?fù)湫再|(zhì)

0 引言

國(guó)內(nèi)外大量的研究表明,金融市場(chǎng)具有參與要素眾多、內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜等特點(diǎn),在本質(zhì)上是一個(gè)典型的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),如收益率“尖峰厚尾”的分布特征、收益率波動(dòng)的集聚現(xiàn)象等[1,2]。非線性理論對(duì)此提供了新的研究范式,其中網(wǎng)絡(luò)科學(xué)把金融市場(chǎng)視為一個(gè)系統(tǒng),認(rèn)為系統(tǒng)內(nèi)的個(gè)體是非勻質(zhì)的,以異質(zhì)的個(gè)體為節(jié)點(diǎn),以個(gè)體之間存在的一定關(guān)系為邊,構(gòu)建出相應(yīng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型[3,4]。構(gòu)建股票復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型主要采用兩種方法:閾值法[5]和拓?fù)浼s束法[6],這兩種方法均以Pearson相關(guān)系數(shù)為基礎(chǔ)。在計(jì)算Pearson相關(guān)系數(shù)時(shí),除了要求兩個(gè)變量符合聯(lián)合正態(tài)分布外,更要求兩個(gè)變量之間呈直線相關(guān)關(guān)系。而股票收益率時(shí)間序列數(shù)據(jù)大多呈現(xiàn)出“尖峰厚尾”的特征,并不服從正態(tài)分布的假設(shè);并且在上述方法中,以線性系統(tǒng)中的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)為基礎(chǔ)來(lái)建立非線性系統(tǒng)模型,其適用性也值得商榷,可能產(chǎn)生潛在的估計(jì)錯(cuò)誤風(fēng)險(xiǎn)。事實(shí)上,起源于信息論的互信息概念,可用于衡量非線性系統(tǒng)中兩個(gè)或多個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系,目前已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于生物基因、水文、經(jīng)濟(jì)等諸多領(lǐng)域。本文以信息熵和互信息為基礎(chǔ),以深證100指數(shù)為研究對(duì)象,闡明股票復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)建過(guò)程,并分析該復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)。

1 信息熵和互信息

1.1 信息熵

信息熵的概念隸屬于信息論領(lǐng)域,由熱力學(xué)熵的概念泛化而來(lái),Shannon首先定義了信息熵作為某件事情不確定性的度量。對(duì)于離散型隨機(jī)變量X,其信息熵H(X)的定義式為:

其中,p(x)為x每種取值的概率,對(duì)于底數(shù)b的不同取值意味著信息熵H(X)有不同的量綱,以下不再贅述。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X,其信息熵H(X)的定義式為:

二維推廣,對(duì)于離散型、連續(xù)型的隨機(jī)變量X、y,分別有:

其中,p(x，y)為X、y的聯(lián)合概率,f(x，y)為X、y的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

1.2 互信息

互信息用于度量?jī)蓚€(gè)或多個(gè)變量所共享的信息量,互信息越大則變量間的相關(guān)性越強(qiáng),反之則反然。對(duì)于離散型、連續(xù)型的二維隨機(jī)變量X、y,其定義式分別為:

其中,pX(x)、py(y)分別為X、y的邊緣概率, fX(x，y)、fy(x，y)分別為X、y的邊緣概率密度函數(shù)。

根據(jù)上述公式,易得:

1.3 信息熵和互信息的估計(jì)

對(duì)信息熵和互信息的估計(jì)主要采用兩種方法:參數(shù)方法和非參數(shù)方法。使用參數(shù)方法時(shí),首先需假定概率密度函數(shù)的形式,再根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)出其中的各項(xiàng)參數(shù),進(jìn)而求得信息熵和互信息。但在實(shí)際應(yīng)用中,或者概率密度函數(shù)通常難以得知,或者參數(shù)方法無(wú)法處理非線性不規(guī)則的聯(lián)合分布,使得參數(shù)方法的應(yīng)用受到極大限制,而發(fā)展出的非參數(shù)方法得到更為廣泛的應(yīng)用。

常見(jiàn)的非參數(shù)方法有直方圖法[7]和核函數(shù)法[8]。直方圖法是把區(qū)間或者區(qū)域劃分成若干個(gè)bin,進(jìn)而估計(jì)概率密度函數(shù),求得信息熵和互信息的方法。該方法簡(jiǎn)單易行,但精度較低,只適用于低維數(shù)據(jù),計(jì)算誤差主要來(lái)源于bin的數(shù)量的選擇,換而言之,與bin的區(qū)間寬度h有關(guān)。核函數(shù)法是在每個(gè)樣本點(diǎn)上疊置一個(gè)核函數(shù),將所有核函數(shù)疊加而作為概率密度函數(shù)的一個(gè)估計(jì),求得信息熵和互信息的方法。該方法計(jì)算復(fù)雜度高,精度也高,但只適用于小樣本的情形,當(dāng)樣本量較大時(shí),核參數(shù)的估計(jì)將會(huì)變得十分困難。值得一提的是,為了避免聯(lián)合概率密度函數(shù)的估計(jì),可以較為方便的通過(guò)Copula熵來(lái)估計(jì)互信息[9,10]。

2 基于互信息的深證股票復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建

鑒于時(shí)間序列的樣本數(shù)據(jù)規(guī)模通常較大,本文舍棄核函數(shù)法估計(jì)信息熵和互信息;在將信息熵和互信息轉(zhuǎn)換為歐氏空間距離時(shí),為了保持分子、分母計(jì)算口徑的一致性,本文舍棄了Copula熵法估計(jì)互信息,統(tǒng)一選用直方圖法估計(jì)信息熵和互信息,進(jìn)而構(gòu)建相應(yīng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。本文所有的數(shù)據(jù)處理和分析通過(guò)Matlab 7.11.0、Mathematica 9.0和Ucinet6實(shí)現(xiàn)。

2.1 數(shù)據(jù)來(lái)源與預(yù)處理

本文選取深證100指數(shù)作為分析對(duì)象,選取指標(biāo)為每日收盤(pán)價(jià)。其中,深證100指數(shù)來(lái)自深圳證券交易所網(wǎng)站(http://www.szse.cn)發(fā)布的成分股,數(shù)據(jù)下載時(shí)間為2014年6月23日。股價(jià)數(shù)據(jù)的時(shí)間跨度為2011年1月4日至2014年3月31日,共783個(gè)觀測(cè)日,74,895個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)來(lái)源為銳思數(shù)據(jù)庫(kù)(http://www.resset.cn)。對(duì)因上市時(shí)間較晚、停牌時(shí)間較長(zhǎng)以及其他原因使得數(shù)據(jù)缺失較多的10支成分股數(shù)據(jù)予以剔除,對(duì)剩下90支股票的缺失數(shù)據(jù)采用線性插值法予以補(bǔ)齊。

2.2 構(gòu)建股票復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)

(1)計(jì)算股票的對(duì)數(shù)收益率

其中,Rx(t)表示股票X第t期的對(duì)數(shù)收益率,px(t)表示股票X第t期的收盤(pán)價(jià)。

(2)采用等距法計(jì)算兩兩股票X、y的信息熵和互信息

①計(jì)算bin的最優(yōu)寬度h*[11]

對(duì)于股票X,有:

其中,n為樣本規(guī)模,σx為Rx的樣本標(biāo)準(zhǔn)差,同理可得

②估計(jì)概率密度函數(shù)

構(gòu)造Rx的M個(gè)bin區(qū)間設(shè)Rx落在區(qū)間上的樣本點(diǎn)數(shù)量為ui,則有Rx的概率密度函數(shù):

其中,N為Ry的bin區(qū)間數(shù)量,vi為Ry落在區(qū)間上的樣本點(diǎn)數(shù)量,wij為Rx落在區(qū)間、Ry落在區(qū)間[ymin+(j-1)上的樣本點(diǎn)數(shù)量。

③計(jì)算信息熵和互信息

依據(jù)式(2)、式(4)分別計(jì)算H(X)、H(y)和H(X，y),依據(jù)式(7)計(jì)算I(X，y)。

(3)計(jì)算歐氏距離

由于互信息不完全滿足三角不等式,還需將其轉(zhuǎn)換為歐氏空間距離d(X，y),計(jì)算公式為[12]:

(4)構(gòu)建復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)

由于閾值法具有一定的主觀性,并且閾值過(guò)低起不到良好的過(guò)濾冗余信息的效果;最小生成樹(shù)的生成方法又存在信息過(guò)濾過(guò)度的問(wèn)題;而平面最大過(guò)濾圖不僅保留了最小生成樹(shù)所包含的網(wǎng)絡(luò)層級(jí)結(jié)構(gòu),還包含了網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的其他大量信息[13],因此本文使用平面最大過(guò)濾圖來(lái)生成相應(yīng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。

以股票為節(jié)點(diǎn),以歐氏空間距離為邊,設(shè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)共包含V個(gè)節(jié)點(diǎn),以平面最大過(guò)濾圖的方法來(lái)構(gòu)建相應(yīng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的步驟為[13]:初始網(wǎng)絡(luò)不含任何連邊,將d(X，y)按降序排列,逐次將d(X，y)所對(duì)應(yīng)的邊加入網(wǎng)絡(luò),當(dāng)且僅當(dāng)生成的網(wǎng)絡(luò)仍是可平面圖時(shí)加入該邊,否則取消這條邊的加入,直至網(wǎng)絡(luò)包含3(V-2)條邊,生成的深證股票平面最大過(guò)濾圖PMFG如圖1所示。

圖1 深證股票復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)PMFG

3 深證股票復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)分析

3.1 小世界特性

較多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)都具有與相同規(guī)模隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)相當(dāng)?shù)妮^小的平均路徑長(zhǎng)度,同時(shí)又具有與相同規(guī)模規(guī)則網(wǎng)絡(luò)相當(dāng)?shù)妮^大的平均聚類系數(shù),復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)所表現(xiàn)出的這種統(tǒng)計(jì)特性就是小世界特性。根據(jù)平面最大過(guò)濾圖的生成規(guī)則, PMFG的平均度必然為以此為標(biāo)準(zhǔn),生成相同規(guī)模的ER隨機(jī)圖和最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò),PMFG與它們的拓?fù)湫再|(zhì)對(duì)比見(jiàn)表1。可以看到, PMFG既具有與ER隨機(jī)圖相近的平均路徑長(zhǎng)度,又具有與最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)相近的平均聚類系數(shù),小世界特征十分明顯。平均路徑長(zhǎng)度刻畫(huà)了某個(gè)節(jié)點(diǎn)平均需要經(jīng)過(guò)多少個(gè)節(jié)點(diǎn)即可到達(dá)另一個(gè)節(jié)點(diǎn),PMFG較小的平均路徑長(zhǎng)度說(shuō)明深證股票市場(chǎng)的信息傳遞效率較高;平均聚類系數(shù)刻畫(huà)的是某個(gè)節(jié)點(diǎn)的任意兩個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn)也互為鄰居的可能性,PMFG較大的平均聚類系數(shù)說(shuō)明深證股票的緊密程度較高。

表1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)PMFG和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)、規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)對(duì)比

3.2 無(wú)標(biāo)度特性

不同于隨機(jī)變量常見(jiàn)的鐘形分布,大部分取值位于均值/峰值的附近,或者說(shuō)落在以特征標(biāo)度為中心的一個(gè)相對(duì)較小的區(qū)間里?，F(xiàn)實(shí)中的很多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的大部分節(jié)點(diǎn)度都比較小,但也存在少數(shù)較大的節(jié)點(diǎn)度,即服從“長(zhǎng)尾”分布,不存在單一的特征標(biāo)度,這一統(tǒng)計(jì)特性就是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的無(wú)標(biāo)度特性。如圖2(a)所示,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)PMFG的度分布很不均勻,大多數(shù)節(jié)點(diǎn)的度數(shù)都很小,一半以上股票的度數(shù)為2;但也有少量度數(shù)較大的Hub節(jié)點(diǎn),節(jié)點(diǎn)度最高的股票是樂(lè)視網(wǎng),度數(shù)達(dá)到66,也就是說(shuō),該股票與網(wǎng)絡(luò)中近75%的股票有連接,存在相關(guān)關(guān)系。如圖2(b)所示,在雙對(duì)數(shù)直角坐標(biāo)系下,其度分布大致在一條斜率為-1.1708的直線附近,亦即PMFG的度分布服從參數(shù)為γ=1.1708的冪律分布。

圖2 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)PMFG的度分布

3.3 社團(tuán)結(jié)構(gòu)

很多實(shí)際網(wǎng)絡(luò)都具有社團(tuán)結(jié)構(gòu),即整個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)由若干個(gè)社團(tuán)構(gòu)成,每個(gè)社團(tuán)內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)之間連接相對(duì)緊密,社團(tuán)之間的節(jié)點(diǎn)之間連接相對(duì)稀疏。模塊度Q是常用來(lái)衡量社團(tuán)劃分質(zhì)量的指標(biāo)[14],其上限為1,通常認(rèn)為只要Q值大于0.3就說(shuō)明網(wǎng)絡(luò)存在明顯的社團(tuán)結(jié)構(gòu)[15]。Ucinet6在劃分社團(tuán)結(jié)構(gòu)時(shí)采用的是Girvan-Newman算法,該算法是以邊介數(shù)為社團(tuán)間瓶頸的社團(tuán)發(fā)現(xiàn)算法[16]。當(dāng)PMFG劃分為8個(gè)社團(tuán)時(shí),模塊度Q取得最大值0.427,相應(yīng)的社團(tuán)結(jié)構(gòu)及其行業(yè)分布如圖3、表2所示,其中行業(yè)分類依據(jù)為中國(guó)證券監(jiān)督管理委員會(huì)2012年頒布的《上市公司行業(yè)分類指引》。

圖3 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)PMFG的社團(tuán)結(jié)構(gòu)

表2 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)PMFG社團(tuán)的行業(yè)分布

從表2中可以看到,除社團(tuán)1和社團(tuán)2的節(jié)點(diǎn)成員較少外,其余社團(tuán)的行業(yè)分布呈現(xiàn)如下兩個(gè)特點(diǎn):①第二產(chǎn)業(yè)呈現(xiàn)集聚的特點(diǎn),其中制造業(yè)(C)基本占了各個(gè)社團(tuán)節(jié)點(diǎn)成員數(shù)量的一半,甚至絕大多數(shù);②第三產(chǎn)業(yè)呈現(xiàn)分散的特點(diǎn),尤其是金融業(yè)(J)和房地產(chǎn)業(yè)(K)幾乎出現(xiàn)在各個(gè)社團(tuán)中。以上社團(tuán)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)說(shuō)明:其一,第二產(chǎn)業(yè)在國(guó)民經(jīng)濟(jì)中仍占據(jù)著舉足輕重的地位;其二,第三產(chǎn)業(yè)在廣度、深度上都取得了長(zhǎng)足的發(fā)展,在國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展中的地位日益突出;其三,相較于行業(yè),股票收益率的波動(dòng)應(yīng)與產(chǎn)業(yè)鏈具有更大的相關(guān)性。股票網(wǎng)絡(luò)的社團(tuán)結(jié)構(gòu)劃分對(duì)于組合投資具有重要意義,投資者應(yīng)當(dāng)盡量將資金投資于不同社團(tuán)的股票以分散投資風(fēng)險(xiǎn),增強(qiáng)投資的穩(wěn)定性,僅僅依賴股票的行業(yè)歸屬等直觀信息進(jìn)行決策是不可靠的。

3.4 魯棒性與脆弱性

當(dāng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)受到攻擊時(shí),網(wǎng)絡(luò)的連通程度就會(huì)受到破壞,傳輸能力也會(huì)受到影響[17]。為了分析復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)PMFG的魯棒性與脆弱性,考慮兩種節(jié)點(diǎn)去除策略[18]:①蓄意攻擊策略,即從去除網(wǎng)絡(luò)中度最高的節(jié)點(diǎn)開(kāi)始,依次去除部分度最高的節(jié)點(diǎn);②隨機(jī)故障策略,即完全隨機(jī)地去除網(wǎng)絡(luò)中的部分節(jié)點(diǎn)。f為去除的節(jié)點(diǎn)數(shù)占復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)PMFG總節(jié)點(diǎn)數(shù)的比例,S為最大連通子圖的相對(duì)大小,L為平均路徑長(zhǎng)度,各指標(biāo)的變化趨勢(shì)如圖4所示,其中對(duì)于隨機(jī)故障策略取50次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的平均值?？梢钥吹?由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)PMFG具有無(wú)標(biāo)度特征,對(duì)隨機(jī)故障具有較高的魯棒性,最大連通子圖的相對(duì)大小下降得較為緩慢,平均路徑長(zhǎng)度的變化則并不顯著;但是,對(duì)于蓄意攻擊具有高度的脆弱性,去除網(wǎng)絡(luò)中少量度最高的節(jié)點(diǎn)就可破壞網(wǎng)絡(luò)的連通性,在去除40%左右的節(jié)點(diǎn)時(shí),S就趨緊于0了。由于股市對(duì)經(jīng)濟(jì)的波動(dòng)是異常敏感的,因此搜集關(guān)鍵股票節(jié)點(diǎn)的信息,掌握經(jīng)濟(jì)沖擊股市的方式和范圍,對(duì)維持股市的穩(wěn)定、防止遭受惡意破壞、保持國(guó)家經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)健發(fā)展都有著十分重要的意義。

圖4 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)PMFG的魯棒性與脆弱性

4 結(jié)論

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的建模方法對(duì)于非線性系統(tǒng)的分析提供了一種新的研究方法,但以往以線性系統(tǒng)中的Pearson相關(guān)系數(shù)為基礎(chǔ)構(gòu)建復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的方法與非線性系統(tǒng)的建模初衷是不相吻合的。本文以深證股票為研究對(duì)象,以非線性系統(tǒng)中衡量?jī)蓚€(gè)變量相關(guān)關(guān)系的互信息指標(biāo)為基礎(chǔ),構(gòu)建了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)PMFG。

通過(guò)對(duì)其拓?fù)湫再|(zhì)進(jìn)行分析,認(rèn)為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)PMFG具有小世界特征,說(shuō)明深證股票市場(chǎng)的信息傳遞效率較高,股票的緊密程度也較高;網(wǎng)絡(luò)中大多數(shù)的節(jié)點(diǎn)度數(shù)很小,但也存在少量Hub節(jié)點(diǎn),具有無(wú)標(biāo)度特征;網(wǎng)絡(luò)具有明顯的社團(tuán)結(jié)構(gòu),呈現(xiàn)第二產(chǎn)業(yè)集聚、第三產(chǎn)業(yè)分散的特點(diǎn),股票收益率的波動(dòng)與產(chǎn)業(yè)鏈具有更大的相關(guān)性;網(wǎng)絡(luò)對(duì)隨機(jī)故障具有較高的魯棒性,而對(duì)蓄意攻擊具有高度的脆弱性。

在以往對(duì)以Pearson相關(guān)系數(shù)為基礎(chǔ)構(gòu)建的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究中,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同樣具有明顯的社團(tuán)結(jié)構(gòu),但顯示的是股票收益率的波動(dòng)與行業(yè)具有更大的相關(guān)性[19]。本文的結(jié)論與此有所區(qū)別,該差異可能來(lái)自于以下幾個(gè)原因:研究方法的差異導(dǎo)致結(jié)論的差異、我國(guó)股票市場(chǎng)的有效程度不如美國(guó)等發(fā)達(dá)國(guó)家、我國(guó)的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)仍處在不斷調(diào)整的過(guò)程中。因此,就我國(guó)股票網(wǎng)絡(luò)的社團(tuán)結(jié)構(gòu)及其內(nèi)部構(gòu)成還有待進(jìn)一步的分析。

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(責(zé)任編輯/亦民)

F830.91

A

1002-6487(2016)20-0160-04

胡振華(1962—),男,湖南邵陽(yáng)人,教授,研究方向:金融計(jì)量、貨幣政策。覃子龍(1982—),男,湖南張家界人,博士研究生,研究方向:復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、金融計(jì)量。