基于GM(1，1)一逐步回歸模型的用水量預(yù)測

孫麗芹,常安定,位龍虎,魏偉平

(1.長安大學(xué)理學(xué)院,西安710064;2.西安建筑科技大學(xué)土木工程學(xué)院,西安710055)

基于GM(1，1)一逐步回歸模型的用水量預(yù)測

孫麗芹1,常安定1,位龍虎2,魏偉平1

(1.長安大學(xué)理學(xué)院,西安710064;2.西安建筑科技大學(xué)土木工程學(xué)院,西安710055)

為了對城市的用水量有個更精確的預(yù)測,文章將逐步回歸模型與灰色預(yù)測模型相結(jié)合,提出了一種基于灰色預(yù)測——逐步回歸的總用水量預(yù)測模型。該模型以逐步回歸方法為基礎(chǔ),利用灰色相關(guān)性分析方法對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,進(jìn)而對預(yù)測模型的因變量進(jìn)行篩選,并將灰色理論引入到回歸模型分析中,對預(yù)測模型進(jìn)行改進(jìn)。通過實(shí)例分析可知:所提出的耦合模型與單一預(yù)測模型相比,在一定程度上改善了預(yù)測效果,達(dá)到了簡化模型、提高擬合精度和增強(qiáng)模型預(yù)測能力的目的。

年用水量;逐步回歸分析;灰色預(yù)測;灰色關(guān)聯(lián)度

0 引言

近年來,我國特別是北方地區(qū)的水資源短缺問題日趨嚴(yán)重,水資源成為焦點(diǎn)話題。以世界上水資源嚴(yán)重短缺的大都市之一——北京為例,其人均水資源占有量不足300m3,為全國人均的世界人均的北京屬于嚴(yán)重缺水的城市。北京市水資源短缺已經(jīng)開始影響和制約北京社會和經(jīng)濟(jì)發(fā)展。為此,政府采取了一系列措施,例如:建設(shè)南水北調(diào)工程,建立污水處理廠,調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)等。但是,隨著氣候變化及社會經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,水資源短缺始終存在。那么對城市總用水量進(jìn)行預(yù)測估計,并以此為依據(jù)針對不同風(fēng)險因子采取相應(yīng)的有效措施來避免水資源短缺的風(fēng)險或減少其造成的危害,這對社會經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定、可持續(xù)發(fā)展具有很大的意義。

本文提出了一種基于灰色系統(tǒng)的多元逐步回歸預(yù)測模型[1]來對城市的年總用水量進(jìn)行預(yù)測,并以北京市為例,建立北京市總用水量的預(yù)測模型,對北京市的總用水量的變化趨勢進(jìn)行了預(yù)測,并通過與其他模型結(jié)果進(jìn)行比較,驗(yàn)證了此模型在預(yù)測分析方面具有較好的性能。

1 多元逐步回歸模型原理

1.1 逐步回歸原理

在實(shí)際運(yùn)用回歸分析時,對效應(yīng)集起作用的變化集因素很多,這樣會引起變量之間的相關(guān)性以及多重共線性等問題。而逐步回歸(stepwise Regression,SR)[2]的基本思想是:從其中任意一個預(yù)報因素開始,依據(jù)其對因變量作用的顯著程度,從大到小的依次引入回歸方程,對已經(jīng)選入的變量因素要進(jìn)行一個個的檢查,每一步都要做一次統(tǒng)計檢驗(yàn),這樣以保證引入新的顯著因子之前,回歸方程只包含顯著因子,即留下影響顯著的因子,除去其他的因子。如此反復(fù),經(jīng)過若干步之后得到一個“最優(yōu)”的變量子集,它包含了所有的顯著因子。

1.2 多元線性回歸分析[3]

多元線性回歸的基本原理就是設(shè)預(yù)測對象y與多個影響因素變量xi() i=1，2，…，p;p＞1之間存在線性關(guān)系,設(shè)其數(shù)學(xué)模型為:yi=a0+a1x1+a2x2+…+apxp,利用j組已有的觀測值在根據(jù)最小二乘法原理求出模型中的待定系數(shù)

2 灰色預(yù)測GM(1，1)模型

灰色預(yù)測是以灰色模型為基礎(chǔ)的,在諸多的灰色模型中,以灰色系統(tǒng)中單序列一階線性微分方程模型GM(1，1)模型最為常用。簡單介紹GM(1，1)模型[4]:

(1)原始數(shù)據(jù)累加以便弱化隨機(jī)序列的波動性和隨機(jī)性,得到新的數(shù)據(jù)序列:

其中,α、μ為待定系數(shù),分別稱為發(fā)展系數(shù)和灰色作用量,并記α、μ構(gòu)成的向量為只要求出參數(shù)α、μ,就能求出x(1)(t),進(jìn)而求出的未來預(yù)測值。

利用模型進(jìn)行預(yù)測:

3 預(yù)測步驟

步驟1:根據(jù)灰色系統(tǒng)關(guān)聯(lián)系數(shù)[5]選擇出對預(yù)測對象有顯著影響的回歸因子。

步驟2:再運(yùn)用matlab,利用逐步回歸法對這些回歸因子進(jìn)行篩選,選擇出對預(yù)測對象有主要影響的回歸因子。

步驟3:根據(jù)步驟2所得到的主要影響因子與預(yù)測對象的數(shù)據(jù),運(yùn)用matlab建立多元線性回歸模型。

步驟4:對這些有主要影響的回歸因子,按照GM(1，1)模型的要求,分別建立相應(yīng)的微分方程,并求出各自的發(fā)展系數(shù)α和灰色作用量μ。

步驟5:由步驟4求出的微分方程分別預(yù)測出各個主要影響因子的預(yù)測值。

步驟6:由步驟5所計算出的預(yù)測值代入步驟3所得的多元線性回歸模型中進(jìn)而求得預(yù)測對象的預(yù)測值。

4 算例分析

根據(jù)北京市1991—2008年統(tǒng)計年鑒資料數(shù)據(jù),從中選取7個影響總用水量的因子:農(nóng)業(yè)用水(億m3)、工業(yè)用水(億m3)、第三產(chǎn)業(yè)及其他用水(億m3)、降雨量(mm)、城市綠化率(%)、污水處理率(%)以及北京地區(qū)的常住人口(萬人)作為研究對象。

4.1 灰色系統(tǒng)關(guān)聯(lián)度的求解

對于灰色系統(tǒng)關(guān)聯(lián)度[6]的分析,首先要確定參考序列,即作為比較的母序列,同時以幾個因素作為比較序列。此時選定北京市總用水量作為參考序列,而影響總用水量的7個因子作為比較序列。(數(shù)據(jù)見表1)

表1 1991一2008年北京市水資源相關(guān)數(shù)據(jù)

為了避免由于量剛的不同而對關(guān)聯(lián)度引起的影響,需對表1中的數(shù)據(jù)作初值變化,變換過后再進(jìn)行關(guān)聯(lián)度的分析。

關(guān)聯(lián)分析[7]是系統(tǒng)分析技術(shù)的一種,它是對系統(tǒng)中各因素的關(guān)聯(lián)程度進(jìn)行分析并對系統(tǒng)動態(tài)過程發(fā)展態(tài)勢的量化作比較分析的一種方法。其本質(zhì)是對各列數(shù)據(jù)進(jìn)行幾何關(guān)系的比較,找出比較序列的發(fā)展趨勢與參考序列發(fā)展趨勢的吻合情況,并以此判斷比較各影響因子與母序列的關(guān)聯(lián)程度,從而選擇出影響母序列的顯著因子。利用變換過后的數(shù)值進(jìn)行關(guān)聯(lián)度分析,得到北京市總用水量與各個影響因子之間的關(guān)聯(lián)系數(shù),進(jìn)而得到總用水量與各個影響因子之間的關(guān)聯(lián)度(見表2)。

表2 總用水量與各個影響因子的關(guān)聯(lián)度

從表2中可以看出北京市總用水量與農(nóng)業(yè)用水、工業(yè)用水、降雨量、城市綠化率以及常住人口的關(guān)聯(lián)度比較大,而與第三產(chǎn)業(yè)及其他用水、污水處理率的關(guān)聯(lián)度較小,故選取農(nóng)業(yè)用水、工業(yè)用水、降雨量、城市綠化率以及常住人口5個因子作為自變量,總用水量作為因變量來建立逐步多元線性回歸模型。

4.2 多元逐步回歸與灰色系統(tǒng)耦合模型的建立與預(yù)測

通過以上的灰色系統(tǒng)關(guān)聯(lián)度分析得知,所研究的影響因子中對北京市總用水量變化的相關(guān)性最為緊密的是農(nóng)業(yè)用水(x1)、工業(yè)用水(x2)、降雨量(x3)、城市綠化率(x4)以及常住人口(x5)5個因子。為了模型的簡化,故采用逐步回歸的辦法,選擇出主要的影響因子為農(nóng)業(yè)用水、工業(yè)用水與城市綠化率,并使其進(jìn)入多元回歸模型進(jìn)而得到北京市總用水量與主要影響因子之間的多元線性回歸模型為:

分別對這些主要的影響因子農(nóng)業(yè)用水、工業(yè)用水以及城市綠化率分別建立GM(1，1)模型,求出相應(yīng)的微分方程以及各自的發(fā)展系數(shù)[8]α和灰色作用量[8]μ(見表3)。

表3 發(fā)展系數(shù)α和灰色作用量μ

將表3中農(nóng)業(yè)用水、工業(yè)用水以及城市綠化率的發(fā)展系數(shù)α和灰色作用量μ代入各自的微分方程,計算出3個主要影響因素的預(yù)測值,再代入逐步回歸方程(1)中,就可以得到北京市總用水量的預(yù)測值(見表4)。

表4 2007年、2008年北京市總用水量的預(yù)測值與實(shí)際值的比較

4.3 MSR—GM(1，1)耦合模型的評價

MSR—GM(1，1)耦合模型充分的利用已知數(shù)據(jù)的信息,使得預(yù)測結(jié)果變得更精確(見表5)。

表5 2007年、2008年北京市總用水量的MSR一GM(1，1)預(yù)測值與灰色預(yù)測值的對比

由表5中的各自相對誤差可以看出MSR—GM(1，1)耦合模型的預(yù)測值具有較高的預(yù)測精度,其預(yù)測結(jié)果能夠較好的反映北京市總用水量的變化趨勢,同時也說明了在進(jìn)行總用水量預(yù)測時MSR—GM(1，1)耦合模型是一種有效、適用的方法。

運(yùn)用改進(jìn)的MSR—GM(1，1)耦合模型對北京市未來5年的總用水量進(jìn)行預(yù)測(見表6),這樣政府可以根據(jù)這些總用水量預(yù)測值來對北京市的儲水蓄水的量進(jìn)行調(diào)整,并以此制定出相應(yīng)的防旱減災(zāi)措施。

表6 北京市2015一2020年總用水量的預(yù)測值

5 結(jié)語

(1)灰色預(yù)測是一種處理小樣本預(yù)測問題的有效工具,將其引入總用水量預(yù)測的建模中,同時也改進(jìn)了多元逐步線性回歸模型的精確度。將多元逐步線性回歸模型與灰色預(yù)測模型相結(jié)合,建立了MSR—GM(1，1)預(yù)測模型,模擬并預(yù)測了北京市總用水量,與其他預(yù)測方法相比,其具有較好的預(yù)測精度。

(2)充分的利用所提供數(shù)據(jù)的信息,根據(jù)實(shí)際的問題建立了MSR—GM(1，1)預(yù)測模型,其在影響因子的選擇上盡可能做到“最優(yōu)”,這樣不僅能夠使預(yù)測結(jié)構(gòu)更精確,而且能夠減少運(yùn)算量,極大的提高了結(jié)果的信任度和運(yùn)算效率。

[1]潘敏,范慶來.灰色模型在城市用水量預(yù)測中的應(yīng)用[J].浙江水利科技,2004,(1).

[2]燕列雅.GM(1,1)模型應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,1998(,10).

[3]徐洪福.灰色預(yù)測模型在年用水量預(yù)測中的應(yīng)用[J].哈爾濱建筑工業(yè)大學(xué)學(xué)報,2011,34(4).

[4]張青.基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)組合預(yù)測方法的應(yīng)用研究[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2001,(9).

[5]王凌.智能優(yōu)化算法及其應(yīng)用[M],北京:清華大學(xué)出版社,2000.

[6]李云貴,李清富,趙國藩.灰色GM(1，1)預(yù)測模型的改進(jìn)[J].系統(tǒng)工程,1992,10(6).

[7]程毛林.灰色模型預(yù)測精度改進(jìn)方法新探[J].統(tǒng)計與決策,2004, (2).

[8]楊華龍,劉金霞,鄭斌.灰色預(yù)測GM(1，1)模型的改進(jìn)及應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2011,41(23).

(責(zé)任編輯/易永生)

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中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(310829130225)

孫麗芹(1987—),女,河南鄭州人,碩士研究生,研究方向:最優(yōu)化理論與算法。常安定(1964—),男,陜西大荔人,教授,研究方向:水文地質(zhì)的數(shù)學(xué)方法。