基于車(chē)流速度的混合Gaussian分布模型

諶業(yè)文,胡堯,王旭琴,李麗

(貴州大學(xué)理學(xué)院,貴陽(yáng)550025)

基于車(chē)流速度的混合Gaussian分布模型

諶業(yè)文,胡堯,王旭琴,李麗

(貴州大學(xué)理學(xué)院,貴陽(yáng)550025)

為了更好的描述城市道路車(chē)流運(yùn)行狀態(tài),文章利用χ2檢驗(yàn)、核密度估計(jì)、Gaussian分布和EM算法,提出了基于交通流速度的混合Gaussian分布模型。利用χ2檢驗(yàn)驗(yàn)證了不同車(chē)道占用對(duì)道路通行影響程度存在顯著差異;對(duì)混合模型速度數(shù)據(jù),采用核密度方法估計(jì)獨(dú)立子Gaussian分布數(shù)目,并利用所建模型描述不同車(chē)道占用引起的車(chē)流速度變化差異;最后利用該模型進(jìn)行了城市道路混合車(chē)型識(shí)別。實(shí)踐表明,混合Gaussian分布模型在擬合數(shù)據(jù)與展現(xiàn)車(chē)流狀態(tài)方面具有良好效果,為道路設(shè)計(jì)與交通組織管理提供了一定的理論依據(jù)。

交通工程;混合Gaussian分布;χ2檢驗(yàn);核密度估計(jì);EM算法

0 引言

交通流模型將車(chē)流視為大量車(chē)輛構(gòu)成的可壓縮連續(xù)流體,通過(guò)速度、密度、流量等參數(shù)構(gòu)建顆粒流動(dòng)力學(xué)方程,既描述了交通流空間分布,又反映了隨時(shí)間變化規(guī)律,基于速度、密度、流量等參數(shù)關(guān)系及其變化規(guī)律的研究得到了廣泛應(yīng)用[1]。研究表明交通速度參數(shù)通常服從Gaussian分布,但由于受道路條件、坡度、混合車(chē)型等因素影響,其分布也會(huì)發(fā)生變化,呈現(xiàn)偏態(tài)、多峰等特性。道路交通實(shí)際是由不同狀態(tài)的交通流組合而成,對(duì)于某時(shí)刻的特定道路,自由流速度能表示成多個(gè)獨(dú)立自由流速度分布加權(quán)和[2]。Ko和Guensler[3]按速度建立分布模型,針對(duì)分布特征,Dey等[4]提出了車(chē)輛速度混合分布模型,通過(guò)若干有限獨(dú)立Gaussian分布線性加權(quán)平滑逼近[5]。研究表明,速度數(shù)據(jù)集是能由多個(gè)Gaussian分布擬合的。

然而,城市道路交通流屬于間斷交通流[6],存在一定的分割效應(yīng),駛離信號(hào)交叉口的車(chē)輛常被分成某種特定隊(duì)列。此外,對(duì)于不同的駕駛條件,行駛速度存在差異,小型車(chē)速度較快、大型車(chē)較慢,有時(shí)會(huì)出現(xiàn)特定路段,交通擁擠時(shí)有利于穿插的車(chē)輛(如摩托車(chē))其速度則較快,反之則較慢。因此,研究混合Gaussian分布模型展現(xiàn)城市道路混合車(chē)流交通狀態(tài),具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。在已有研究基礎(chǔ)上,本文構(gòu)建了基于車(chē)流速度的混合Gaussian分布模型,利用χ2檢驗(yàn)表明不同車(chē)道占用對(duì)道路通行影響程度存在顯著差異,模型也驗(yàn)證了混合Gaussian分布辨別交通狀態(tài)差異、識(shí)別車(chē)型具有一定的效果。實(shí)踐表明,混合Gaussian分布模型在擬合數(shù)據(jù)、展現(xiàn)城市道路交通狀態(tài)具有良好效果,為道路設(shè)計(jì)與交通組織管理提供一定的參考依據(jù)。

1 模型建立

1.1 指標(biāo)選取

交通流速度作為反映交通流狀態(tài)和交通運(yùn)行特征的基本參數(shù)之一,在交通安全、事故鑒定、道路交通狀態(tài)與運(yùn)行效率等分析中均具有重要地位,利用它研究交通運(yùn)行已得到了比較理想的效果。文獻(xiàn)[7]研究表明速度變量能較好反映交通擁堵強(qiáng)度的變化情況;相對(duì)于交通密度和流量而言,文獻(xiàn)[8]得出了速度在交通流分類(lèi)中有作用最大且效果最好的結(jié)論。

基于以上考慮,本文選取速度指標(biāo)來(lái)研究城市因道路施工、交通事故等原因造成車(chē)道被占用引起的交通流變化,以及道路暢通情況下利用速度變量的混合Gaussian分布對(duì)道路車(chē)型進(jìn)行類(lèi)型識(shí)別。

1.2 不同車(chē)道被占用對(duì)道路交通狀態(tài)影響程度的差異顯著性

為了檢驗(yàn)不同車(chē)道被占用對(duì)道路通行情況的影響是否存在顯著差異,本文采用非參數(shù)統(tǒng)計(jì)量(1)式進(jìn)行χ2檢驗(yàn)判定。理論證明,當(dāng)樣本量足夠大時(shí),該統(tǒng)計(jì)量近似服從:

式中n表示不同條件的車(chē)道被占用數(shù)目,fi表示第i個(gè)條件下車(chē)道被占用時(shí)實(shí)際觀察到的當(dāng)量小客車(chē)輛數(shù)(PCU,Passenger Car Unit),f0表示不同車(chē)道被占用理論上應(yīng)該觀察到的車(chē)輛數(shù)目。

1.3 混合Gaussian分布模型

2 模型求解

2.1 Gaussian子分布數(shù)確定

通常并不知道城市道路不同條件下數(shù)據(jù)源到底來(lái)自多少個(gè)獨(dú)立子Gaussian分布,因此進(jìn)行EM算法求解模型參數(shù)的前提是確定數(shù)據(jù)源的子Gaussian分布數(shù),在此按以下步驟進(jìn)行確定。

第一:繪制原始數(shù)據(jù)頻率直方圖通過(guò)頻率直方圖觀察到頻率分布情況,確定子分布數(shù),一般波峰的數(shù)量就是子Gaussian分布個(gè)數(shù)。但有時(shí)頻率直方圖并不容易判斷波峰個(gè)數(shù),則可進(jìn)一步借助核密度估計(jì)方法,使該問(wèn)題能得到較好的解決。

第二:對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行核密度估計(jì)設(shè)X1，X2，…，Xn是來(lái)自一元連續(xù)總體的隨機(jī)樣本,任意點(diǎn)x處的概率函數(shù)f(x)的核密度估計(jì)為:

其中,Φ(x)為核函數(shù),h為窗寬。根據(jù)(3)式選取恰當(dāng)?shù)膆并描繪關(guān)于x與其密度估計(jì)式的平面曲線圖,通過(guò)觀察波峰數(shù)即可對(duì)模型子分布數(shù)給出合理估計(jì)。

2.2 混合Gaussian分布參數(shù)估計(jì)的EM算法

混合模型結(jié)構(gòu)確定以后,選擇合適的參數(shù)估計(jì)方法是逼近速度真實(shí)分布的關(guān)鍵,混合Gaussian分布參數(shù)估計(jì)通常采用最大期望即EM(EXpectation-MaXimization)算法。EM算法本質(zhì)是在(2)式中尋找參數(shù)最大似然估計(jì)或者最大后驗(yàn)估計(jì)的算法,是求解參數(shù)期望(E步)和最大值(M步)不斷交替的優(yōu)化過(guò)程,算法如下。

上式兩邊取對(duì)數(shù)

對(duì)于(4)式,用一般似然估計(jì)尋求極值點(diǎn)的方法是行不通的,因此,在這里采用分步迭代期望最大化算法。v是非完全數(shù)據(jù),則有完全數(shù)據(jù)yi=(xi，vi),Θ為參數(shù)向量以及f(xi，vi; Θ)為yi的概率密度函數(shù),其中xi的邊緣概率為P(xi=k)=wk, k=1，2，…，M。此時(shí)f(vi|xi=k，Θk)=φk(v;Θk),關(guān)于完全數(shù)據(jù)求其似然函數(shù)得:

其中

由(5)式與(6)式得完全數(shù)據(jù)的似然函數(shù):

所以,EM算法的具體迭代步驟如下。

第1步參數(shù)初始化

方法1模型權(quán)重相等

方法2利用多元統(tǒng)計(jì)K均值聚類(lèi)算法通過(guò)對(duì)樣本進(jìn)行聚類(lèi)得到各類(lèi)均值可作為,并計(jì)算,之后通過(guò)聚類(lèi)結(jié)果利用各類(lèi)樣本占總樣本的比例作為權(quán)值。

第2步E步(求期望)

設(shè)Θ(r)為第r次迭代值,則:

所以

式中Pik為xk的后驗(yàn)概率。

第3步M步(求最大值)

與

第4步收斂判斷

3 實(shí)證分析

3.1 車(chē)速服從混合Gaussian分布模型的實(shí)例驗(yàn)證

3.1.1 數(shù)據(jù)源

模型實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集于貴陽(yáng)市中心城市區(qū)主干道延安中路(紫林庵至噴水池方向)三車(chē)道斷面(圖1所示)。

表1、表2分別統(tǒng)計(jì)了不同車(chē)道被占用和道路暢通狀態(tài)時(shí)同一斷面的通過(guò)車(chē)輛數(shù)以及平均速度。其中表1指標(biāo)解釋:Situation1(或Situation2)表示車(chē)道1、車(chē)道2(或車(chē)道2、車(chē)道3)處于封閉狀態(tài),此時(shí),車(chē)輛只能從車(chē)道3(或車(chē)道

圖1 數(shù)據(jù)采集地點(diǎn)

1)正常通過(guò);Situation3表示斷面正常通行。

表1 不同車(chē)道被占用與道路暢行時(shí)斷面通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)車(chē)當(dāng)量數(shù)

表2 車(chē)輛速度樣本數(shù)據(jù)(單位:km/h)

3.1.2 標(biāo)準(zhǔn)車(chē)當(dāng)量總數(shù)差異性的χ2檢驗(yàn)

(1)考慮“暢通狀態(tài)”時(shí)的情況

在這里,f0為表1中三種情況下通過(guò)斷面的標(biāo)準(zhǔn)車(chē)當(dāng)量數(shù)1353 pcu,而f1、f2、f3分別表示Situation1、Situation2與Situation3條件下通過(guò)斷面的當(dāng)量車(chē)輛總數(shù)。由(1)式可知,當(dāng)f0越大,近似效果越好。顯然fi與f0相差越大,χ2值就越大;反之,χ2值就越小。因此,χ2統(tǒng)計(jì)量能夠用來(lái)表示fi與f0相差程度。

由χ2檢驗(yàn)思想與(1)式得:

χ2=由于,因此,認(rèn)為表1中的三種情況對(duì)交通流的影響程度存在顯著差異。

(2)不考慮“暢通狀態(tài)”時(shí)的情況

由于加入了暢通情況,很自然的就會(huì)懷疑,表1中的三種情況會(huì)存在差異(這與(a)情況下的檢驗(yàn)結(jié)果一致)。那么,為了驗(yàn)證Situation1和Situation2對(duì)交通影響“顯著差異”,將暢通狀態(tài)即Situation3的數(shù)據(jù)排除。類(lèi)似(a)方法得:

由于χ2=12.84＞(2)=7.879,表明Situation1和 Situation2對(duì)交通流量所帶來(lái)的影響程度也是不一樣的。

不同車(chē)道被占用對(duì)路段影響程度存在顯著差異,三種情況的車(chē)流速度樣本源數(shù)據(jù)來(lái)自不同總體,且不同源數(shù)據(jù)進(jìn)行的正態(tài)K-S(Kolmogorov-Smirnov)檢驗(yàn)表明均來(lái)自正態(tài)總體。因此,以下基于混合車(chē)流速度數(shù)據(jù)估計(jì)混合Gaussian分布模型參數(shù),并將進(jìn)行驗(yàn)證分析。

3.1.3 車(chē)速服從混合Gaussian分布模型

通過(guò)分析,不同車(chē)道被占用對(duì)交通狀況(特別是速度)的影響程度是不一樣。圖2給出了表1中三種情況下的車(chē)輛平均速度頻率直方圖,呈現(xiàn)多峰分布特點(diǎn),這是由于不同條件速度存在的較大差異所致。以下利用混合Gaussian分布考察Situation1和Situation2交通狀況影響程度的差異性。

在利用EM算法估計(jì)未知混合Gaussian模型參數(shù)之前,首先確定子Gaussian分布數(shù)目。雖由圖可看出原始數(shù)據(jù)源于三個(gè)Gaussian分布,為了驗(yàn)證核密度估計(jì)算法與頻率直方圖峰值近似的特點(diǎn),對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行核密度估計(jì),這是因?yàn)樵谟^察頻率直方圖不能明確判斷子Gaussian分布個(gè)數(shù)情況下,應(yīng)用核密度估計(jì)來(lái)判斷子Gaussian分布數(shù)目是行之有效的。本文均選取核函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù),核密度估計(jì)曲線如圖2所示。

圖2 三種情形車(chē)輛速度頻率直方圖和核密度估計(jì)圖

因此,混合模型(2)式的子Gaussian分布數(shù)為三,通過(guò)R語(yǔ)言利用EM算法估計(jì)混合Gaussian模型參數(shù)。進(jìn)一步利用K-S(Kolmogorov-Smirnov)對(duì)模型進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn),所得結(jié)果如表3所示。

表3 三種情形下混合Gaussian分布EM算法參數(shù)估計(jì)結(jié)果

K-S檢驗(yàn)的P值為0.9935,故沒(méi)有理由拒絕速度數(shù)據(jù)服從混合Gaussian分布模型。其中Situation1、Situation2和Situation3分別服從于Gaussian分布I、Gaussian分布II與Gaussian分布III,三種情況的權(quán)重ω占有率分別為28.08%、30.04%和41.88%。比較表1,此處運(yùn)用的EM算法判斷混合模型中各個(gè)子Gaussian分布所占比重較接近實(shí)際(如圖3所示)。

圖3 三種情形混合Gaussian分布的EM算法估計(jì)圖

3.1.4 不同車(chē)道被占用引起的交通狀態(tài)差異性分析

(1)對(duì)比分布Gaussian I、Gaussian II與Gaussian III。首先,從表3得到,道路暢通狀態(tài)下的平均速度63.40km/h大于車(chē)道1、車(chē)道2被占用時(shí)的30.13km/h與車(chē)道2、車(chē)道3被占用時(shí)的15.44km/h,從圖3可清晰看出三種情況下車(chē)速的變化情況及其相互之間的聯(lián)系,表明任何兩條車(chē)道被占用對(duì)交通正常運(yùn)行所帶來(lái)的影響是顯著的,相關(guān)部門(mén)應(yīng)加強(qiáng)類(lèi)似行為和相關(guān)事件的強(qiáng)行管制。其次,分布Gaussian III的標(biāo)準(zhǔn)差9.46km/h大于前面8.05km/h和2.19km/h,表明道路在暢通狀態(tài)下,車(chē)輛的速度變化范圍比其他兩種情況偏大。

(2)通過(guò)將Gaussian分布I與Gaussian分布II對(duì)比,發(fā)現(xiàn)前者的平均速度30.13km/h大于后者的15.44km/h,表明車(chē)道2、車(chē)道3被占用對(duì)交通流的影響大于車(chē)道1、車(chē)道2被占用對(duì)交通流帶來(lái)的影響。從表3與圖3發(fā)現(xiàn),Situation1時(shí)的車(chē)速變化范圍比Situation2車(chē)速變化范圍大。

(3)上述實(shí)例驗(yàn)證表明,混合Gaussian分布模型對(duì)于描述多正態(tài)總體的交通流速度規(guī)律是非常方便有效的,而將EM算法應(yīng)用于混合Gaussian分布參數(shù)估計(jì),不僅對(duì)參數(shù)估計(jì)有效而且還能較好的估算出子Gaussian分布所占比重,這對(duì)于分析交通流狀態(tài)是非常適用的。應(yīng)用該模型可進(jìn)一步了解特定交通流狀態(tài),以下針對(duì)Situation3進(jìn)行車(chē)輛類(lèi)型識(shí)別。

3.2 車(chē)速服從混合Gaussian分布模型應(yīng)用—城市道路交通車(chē)型識(shí)別

3.2.1 數(shù)據(jù)源

表4數(shù)據(jù)采集同樣基于貴陽(yáng)市中心城區(qū)主干道延安中路(紫林庵至噴水池方向)路段斷面的928輛不同車(chē)型平均速度,描繪其頻率直方圖(如圖4所示)。

表4 該路段暢通狀態(tài)下“三個(gè)車(chē)道”的多類(lèi)型車(chē)輛速度樣本數(shù)據(jù)(單位:km/h)

圖4 三車(chē)道多類(lèi)型車(chē)輛速度頻率直方圖和核密度估計(jì)圖

從圖4可以看出,三車(chē)道多類(lèi)型車(chē)輛由于自身特性所致的速度呈現(xiàn)多峰特點(diǎn),不同類(lèi)型的車(chē)速通常是不一樣的,本文具體包括小轎車(chē)、公交車(chē)以及其它車(chē)種(如摩托車(chē)、三輪車(chē))等三種類(lèi)型。若采用傳統(tǒng)的對(duì)數(shù)正態(tài)、Gaussian、Gamma以及Weibull等單峰分布模型去擬合速度都不能很好的呈現(xiàn)真實(shí)交通現(xiàn)象,因此,混合Gaussian分布模型對(duì)該類(lèi)交通現(xiàn)象進(jìn)行分析是有現(xiàn)實(shí)意義的。

3.2.2 參數(shù)估計(jì)

若僅從源數(shù)據(jù)圖形仍無(wú)法判定源總體,子Gaussian分布數(shù)目難以確定?？梢越柚?lèi)似前面核密度估計(jì)算法,擬合核密度估計(jì)曲線(如圖4所示)。圖中看到視頻數(shù)據(jù)來(lái)自三個(gè)Gaussian分布,利用EM算法估計(jì)混合Gaussian模型未知參數(shù),估計(jì)結(jié)果見(jiàn)表5。

表5 道路暢行時(shí)混合Gaussian分布EM算法參數(shù)估計(jì)結(jié)果

在表5中,給定置信水平0.95,由于K-S檢驗(yàn)P值0.0803大于0.05,因此,沒(méi)有充分理由拒絕源數(shù)據(jù)(視頻)是來(lái)自表5中所得的混合Gaussian分布模型,各類(lèi)車(chē)型擬合曲線如圖5所示。

圖5 道路暢通狀態(tài)下高斯混合分布的EM估計(jì)圖

3.2.3 結(jié)果分析討論

(1)從表5可知,混合交通流中小轎車(chē)、大型車(chē)和其他車(chē)型所占比例分別為59.69%、28.61%與11.70%。由于城市道路中摩托車(chē)搶道、三輪車(chē)及大型車(chē)(如公交車(chē))的存在,從而導(dǎo)致交通流速降低。通過(guò)源數(shù)據(jù)對(duì)路段混合交通流車(chē)型比例估計(jì)以及速度分布的確定,有助于了解交通壓力源,進(jìn)而制定道路交通組織管理策略。

(2)從期望μ即速度平均值可知,小轎車(chē)的速度(61.56km/h)高于其它車(chē)種(18.82km/h)及大型車(chē)(30.76km/h),圖5也清晰展現(xiàn)三種車(chē)型的速度變化分布情況。通過(guò)混合Gaussian分布模型能夠有效得到并且區(qū)分不同類(lèi)型車(chē)輛的速度分布規(guī)律,為不同車(chē)型的強(qiáng)制交通管理提供了一定的參考依據(jù)。

(3)小轎車(chē)由于自身優(yōu)勢(shì),最大速度一般高于大型車(chē)和其他車(chē)型,但盡管在道路暢通狀態(tài)下,仍然可能遇到擁擠堵塞等車(chē)輛排隊(duì)現(xiàn)象(如車(chē)輛超車(chē)、搶道,行人橫穿道路等造成),因此,它的最低速度與大型車(chē)、其它車(chē)型相差不大,導(dǎo)致其方差比較大。因而,表5中小轎車(chē)車(chē)速的標(biāo)準(zhǔn)差11.1km/h大于大型車(chē)的6.17km/h、其他車(chē)型的2.23km/h。

(4)模型檢驗(yàn)結(jié)果顯示,由于混合交通流速度中含有多種類(lèi)型的車(chē)輛運(yùn)行數(shù)據(jù),導(dǎo)致車(chē)流速度呈現(xiàn)出多峰或偏正態(tài)現(xiàn)象。因此,在研究類(lèi)似問(wèn)題時(shí),無(wú)論在交通還是其他領(lǐng)域,對(duì)于來(lái)自多源樣本數(shù)據(jù),充分利用混合Gaussian分布模型多峰特點(diǎn),能夠較好的反映真實(shí)場(chǎng)景,解決問(wèn)題能達(dá)到理想效果。

4 結(jié)語(yǔ)

本文以χ2檢驗(yàn)、核密度估計(jì)算法、混合Gaussian分布與EM算法為基本研究方法對(duì)道路交通參數(shù)(速度)進(jìn)行了分析探討。首先,通過(guò)利用χ2檢驗(yàn)表明不同車(chē)道被占用對(duì)交通流的影響是顯著的,并實(shí)例驗(yàn)證,為交管部門(mén)正確誘導(dǎo)車(chē)輛行駛、審批占道施工、道路設(shè)計(jì)渠化、路邊停車(chē)和非港灣式車(chē)站等組織管理措施的制定提供了一定的參考依據(jù)。其次,核密度估計(jì)算法對(duì)確定混合Gaussian分布模型中獨(dú)立子分布數(shù)目簡(jiǎn)單易行。最后,基于城市道路交通流間斷性、復(fù)雜性、混合性與非均衡性等特點(diǎn),建立了基于車(chē)流速度服從混合Gaussian分布的交通流狀態(tài)模型,對(duì)判定路段混合交通流的車(chē)型數(shù)目是有效的,為交通組織管理區(qū)域或路段交通狀況并制定相關(guān)措施提供了可行合理的理論參考依據(jù)。

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(責(zé)任編輯/易永生)

U491

A

1002-6487(2016)20-0087-05

國(guó)家統(tǒng)計(jì)局重點(diǎn)項(xiàng)目(2014LZ46);貴州省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(黔科合J字[2014]2058號(hào))

諶業(yè)文(1989—),男,貴州貴陽(yáng)人,碩士,研究方向:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)。胡堯(1971—),男,貴州貴陽(yáng)人,教授,研究方向:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)。王旭琴(1991—),女,貴州貴陽(yáng)人,碩士,研究方向:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)。李麗(1991—),女,貴州貴陽(yáng)人,碩士,研究方向:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)。