基于李雅普諾夫指數(shù)的臨近點(diǎn)選取方法

石鴻雁,魏俊達(dá)

(沈陽工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,沈陽110870)

基于李雅普諾夫指數(shù)的臨近點(diǎn)選取方法

石鴻雁,魏俊達(dá)

(沈陽工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,沈陽110870)

混沌時間序列的局域法預(yù)測以其計(jì)算量小、適用性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),得到了廣泛應(yīng)用。但是其預(yù)測效果受制于臨近點(diǎn)的選取,尤其是“偽臨近點(diǎn)”的存在將降低預(yù)測精度,所以合理選取臨近點(diǎn)至關(guān)重要?？紤]到相點(diǎn)各維分量對預(yù)測的影響不同,相點(diǎn)的演化趨勢與其前S步相點(diǎn)存在相關(guān)性,文章利用最大李雅普諾夫指數(shù)構(gòu)造權(quán)系數(shù)提出了基于李雅普諾夫指數(shù)的臨近點(diǎn)選取方法。通過Lorenz方程產(chǎn)生的混沌時間序列進(jìn)行檢驗(yàn),結(jié)果表明改進(jìn)方法的預(yù)測效果明顯提高。

混沌時間序列;局域法;臨近點(diǎn);李雅普諾夫指數(shù)

0 引言

混沌時間序列預(yù)測模型在金融、氣象、交通、電力等諸多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。目前學(xué)者們提出了多種混沌時間序列預(yù)測模型,根據(jù)擬合相點(diǎn)的不同,混沌時間序列預(yù)測可分為全域法和局域法。

全域法是將相空間中的所有相點(diǎn)作為參考點(diǎn)進(jìn)行擬合預(yù)測。但是由于混沌系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜,嵌入維數(shù)的增加,將導(dǎo)致擬合函數(shù)的計(jì)算復(fù)雜度急劇增加,模型的預(yù)測精度下降。因此,全域法只適用于空間結(jié)構(gòu)簡單的系統(tǒng)。

與全域法不同的是,局域法預(yù)測思想是基于相空間中某一相點(diǎn)的未來演化趨勢與其臨近點(diǎn)的演化趨勢類似,將相空間軌跡的最后一點(diǎn)作為預(yù)測中心點(diǎn),其空間鄰域內(nèi)的相點(diǎn)作為臨近點(diǎn),根據(jù)這些臨近點(diǎn)的演化趨勢f來預(yù)測未來演化相點(diǎn)。由于局域法預(yù)測具有計(jì)算量較小、擬合優(yōu)度較高、適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),因此局域法預(yù)測已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用[1-3]。但是局域法預(yù)測效果依賴于臨近點(diǎn)的選取,通常僅根據(jù)歐氏距離來評價相點(diǎn)與預(yù)測中心點(diǎn)的空間位置關(guān)系,而沒有考慮相點(diǎn)間的演化趨勢易陷入“偽臨近點(diǎn)”,因此合理選取臨近點(diǎn)至關(guān)重要。

目前學(xué)者們提出了多種臨近點(diǎn)選取方法,文獻(xiàn)[4]在歐式距離的基礎(chǔ)上通過計(jì)算演化相點(diǎn)間的向量夾角,限制向量間的夾角來尋求相點(diǎn)間演化趨勢近似的臨近點(diǎn)。但是此方法將所有相點(diǎn)的演化趨勢籠統(tǒng)地限制在同一個區(qū)間內(nèi),對于距離較遠(yuǎn)的臨近點(diǎn),即使方向夾角較小,經(jīng)過多步演化其演化趨勢也會產(chǎn)生較大的偏移,而導(dǎo)致“偽臨近點(diǎn)”的出現(xiàn);文獻(xiàn)[5]考慮到高維空間中,歐氏距離無法充分描述相點(diǎn)間相似性的不足,利用參考相點(diǎn)與預(yù)測中心相點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)度來選取臨近點(diǎn)。但是經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)在后期計(jì)算過程中,會造成部分信息的丟失,無法體現(xiàn)下限參數(shù)對關(guān)聯(lián)度的影響。文獻(xiàn)[6]利用預(yù)測中心點(diǎn)的軌道和其臨近點(diǎn)軌道的分離指數(shù)來篩選臨近點(diǎn),但是僅考慮了相點(diǎn)間的單步演化的近似關(guān)系而忽略了相點(diǎn)的多步演化趨勢,易誤將“偽臨近點(diǎn)”作為預(yù)測參考點(diǎn),影響模型的預(yù)測精度。

考慮到混沌時間序列具有初值敏感性,傳統(tǒng)歐氏距離無法客觀反映相點(diǎn)各維分量對預(yù)測的影響,本文利用最大李雅普諾夫指數(shù)構(gòu)造權(quán)系數(shù)對歐氏距離進(jìn)行改進(jìn),將距離關(guān)聯(lián)度和向量夾角余弦作為相空間中相點(diǎn)間的空間關(guān)系和演化趨勢的評價標(biāo)準(zhǔn),并根據(jù)相空間相點(diǎn)的演化趨勢與其前S步相點(diǎn)存在相關(guān)性的特點(diǎn),通過追蹤前S步相點(diǎn)的演化趨勢,提出了基于李雅普諾夫指數(shù)改進(jìn)的臨近點(diǎn)選取方法。利用Lorenz方程x分量產(chǎn)生的混沌時間序列進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),結(jié)果表明改進(jìn)方法的預(yù)測效果明顯提高。

1 基礎(chǔ)理論

1.1 相空間重構(gòu)

混沌時間序列的相空間重構(gòu)理論[7]將一維原始時間序列拓?fù)溆成涞礁呔S空間中,使得低維空間中無法充分挖掘的系統(tǒng)規(guī)律,在更高維空間中得以恢復(fù)和提取。因此相空間重構(gòu)是混沌系統(tǒng)內(nèi)在特性計(jì)算以及預(yù)測的基礎(chǔ),相空間重構(gòu)的效果直接影響到后續(xù)分析結(jié)果。

時間延遲τ和嵌入維數(shù)m是相空間重構(gòu)中兩個重要參數(shù)。目前確定時間延遲和嵌入維數(shù)有兩種觀點(diǎn)[8],一種觀點(diǎn)認(rèn)為時間延遲和嵌入維數(shù)互不相關(guān),可以獨(dú)立確定,其中可通過復(fù)自相關(guān)法、互信息法等方法來確定延遲時間τ,通過關(guān)聯(lián)維數(shù)方法、虛假臨近點(diǎn)法等方法確定嵌入維數(shù)m;另一種觀點(diǎn)認(rèn)為時間延遲和嵌入維數(shù)是相互關(guān)聯(lián)的,應(yīng)該同步確定,這種觀點(diǎn)下的最典型方法是C-C方法[9]。

對于原始混沌時間序列{x(i),i=1,2,3,...,N},以時間延遲τ和嵌入維數(shù)m進(jìn)行相空間重構(gòu)得:

1.2 臨近點(diǎn)的常見選取方法

1.2.1 傳統(tǒng)歐氏距離法

最傳統(tǒng)的臨近點(diǎn)選取方法是歐式距離法,即根據(jù)相點(diǎn)間的歐式距離,在給定的γ鄰域空間內(nèi)選取與中心相點(diǎn)距離最近的幾個相點(diǎn)作為參考點(diǎn)。

其中Xi是相空間中相點(diǎn),XM是預(yù)測中心點(diǎn),i≠M(fèi), γ為待定參數(shù)。

只追求歐式距離上的臨近而沒有考慮臨近點(diǎn)演化趨勢的近似,在經(jīng)過幾次迭代后臨近點(diǎn)可能會偏離預(yù)測點(diǎn)的軌道,出現(xiàn)“偽臨近點(diǎn)”。如圖1,設(shè)預(yù)測中心點(diǎn)XM的臨近相點(diǎn)為XM1、XM2,其中:

XM的下一步演化相點(diǎn)為XM+1;XM1的下一步演化相點(diǎn)分別為XM1+1;XM2的下一步演化相點(diǎn)為XM2+1。雖然單步歐式距離上XM2與預(yù)測中心點(diǎn)XM更近,但是經(jīng)過一步演化后XM2演化軌道與預(yù)測中心點(diǎn)XM的演化軌道明顯偏移,因此若將XM2作為臨近相點(diǎn),勢必影響到模型的預(yù)測精度。

圖1 “偽臨近點(diǎn)”示意圖

此外,臨近點(diǎn)的數(shù)量與鄰域半徑γ的取值標(biāo)準(zhǔn)以及預(yù)測中心點(diǎn)的空間位置有著直接的關(guān)系。孟慶芳[10,11]利用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的信息準(zhǔn)則研究了不同臨近點(diǎn)數(shù)目對模型預(yù)測效果的影響,其思想是將滿足信息準(zhǔn)則達(dá)到最低時的臨近點(diǎn)個數(shù)k作為標(biāo)準(zhǔn)。但是由于臨近點(diǎn)的數(shù)量受到原始數(shù)據(jù)多少等因素的影響,因此臨近點(diǎn)的數(shù)量只需在一定范圍內(nèi)即可,即臨近點(diǎn)個數(shù)K∈[k-ε，k+ε]。

1.2.2 向量夾角余弦法

向量夾角余弦法是在傳統(tǒng)歐式距離方法的基礎(chǔ)上所提出的一種改進(jìn)方法,此方法通過限制演化相點(diǎn)間的向量夾角來尋求相點(diǎn)間演化趨勢近似的相點(diǎn)。

設(shè)預(yù)測中心相點(diǎn)XM的前一步演化相點(diǎn)為XM-1,XM的臨近相點(diǎn)為XMi,其前一步演化相點(diǎn)為XMi-1,則夾角余弦為:

此方法就是通過限制δ的取值來篩選臨近點(diǎn),既考慮了相點(diǎn)間距離上的臨近,又考慮到了演化趨勢上的近似。但是將所有臨近相點(diǎn)的演化趨勢籠統(tǒng)地限制在同一個區(qū)間內(nèi),不能完全剔除“偽臨近點(diǎn)”。如圖2,XM1和XM2是預(yù)測中心點(diǎn)XM的臨近相點(diǎn),XM-1和XM+1分別是預(yù)測中心點(diǎn)XM的前一步演化點(diǎn)和下一步演化點(diǎn);XM1-1,XM2-1和XM1+1,XM2+1分別是XM1,XM2的前一步演化點(diǎn)和下一步演化點(diǎn), cosθM1M＜cosθM2M。對于臨近點(diǎn)距離較遠(yuǎn)的相點(diǎn)XM2,即使方向夾角很小,經(jīng)過多次演化后其演化軌跡也會與預(yù)測中心點(diǎn)的演化軌跡產(chǎn)生較大的偏移。顯然,如果利用XM2進(jìn)行局域預(yù)測將極大地降低模型的預(yù)測精度。

圖2 “偽臨近點(diǎn)”示意圖

1.2.3 關(guān)聯(lián)度法

關(guān)聯(lián)度法[5]是將灰色理論與混沌時間序列相結(jié)合而提出的一種常用的臨近點(diǎn)選取方法,通過計(jì)算參考相點(diǎn)與預(yù)測中心相點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)度來選取臨近點(diǎn),一定程度上解決了傳統(tǒng)歐氏距離方法不能反映相點(diǎn)各維分量對預(yù)測影響的不足。設(shè)相空間中相點(diǎn)Xi的第k維元素為:

則相點(diǎn)Xi與相點(diǎn)XM之間的關(guān)聯(lián)度

關(guān)聯(lián)度法仍然存在不足之處,在進(jìn)行數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化過程中,會造成下限參數(shù)的丟失,即因此無法體現(xiàn)下限參數(shù)對關(guān)聯(lián)度的影響[12]。

2 基于李雅普諾夫指數(shù)的臨近點(diǎn)選取方法

混沌時間序列具有初值敏感性的特點(diǎn),即使初始點(diǎn)有微小的變化,其產(chǎn)生的兩個軌道之間的距離會呈李雅普諾夫指數(shù)分離。混沌時間序列之間的相關(guān)性隨著時間的變化而呈李雅普諾夫指數(shù)衰減。因此經(jīng)過相空間重構(gòu)之后,相點(diǎn)的各維分量對預(yù)測的影響是不同的,所以應(yīng)根據(jù)時間間隔以及相點(diǎn)間各維衰減程度的不同,對各維分量的預(yù)測貢獻(xiàn)度進(jìn)行合理加權(quán)。本文在文獻(xiàn)[12-14]的基礎(chǔ)上,對臨近點(diǎn)的選取方法做進(jìn)一步的改進(jìn)。

通過李雅普諾夫指數(shù)和延遲時間構(gòu)造權(quán)系數(shù)對歐式距離進(jìn)行修正:

ωi(n)是相點(diǎn)Xi的第n維分量的權(quán)重,n=1,…,m; ωi(n)=e-(m-n)λτ。

傳統(tǒng)關(guān)聯(lián)度方法在經(jīng)過數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后,無法體現(xiàn)下限參數(shù)對關(guān)聯(lián)度的影響,造成部分信息的丟失。為了解決以上不足,利用改進(jìn)后的歐氏距離對傳統(tǒng)關(guān)聯(lián)度方法進(jìn)行修正,得到距離關(guān)聯(lián)度:

其中,d(XMi,XM)通過式(5)計(jì)算。

綜合向量夾角余弦和距離關(guān)聯(lián)度,彌補(bǔ)單一評價指標(biāo)描述相點(diǎn)間近似程度存在片面性的不足:

其中δ為約束參數(shù);γ(XMi,XM)可描述相點(diǎn)間空間位置的近似程度;cosθMiM可描述相點(diǎn)間演化趨勢的近似程度。

對于不同的混沌時間序列,重構(gòu)后的相點(diǎn)演化趨勢與其前S步相點(diǎn)存在相關(guān)性,僅根據(jù)相點(diǎn)間的單步演化關(guān)系不能完全剔除“偽臨近點(diǎn)”,因此通過追蹤前S步相點(diǎn)的演化趨勢,對式(7)進(jìn)行修正。

設(shè)相點(diǎn)XMi是XM的臨近相點(diǎn),XMi-S-1和XMi-S分別是XMi的前S-1步和前S步演化相點(diǎn),XM-S-1和XM-S分別是XM的前S-1步和前S步演化相點(diǎn),則其構(gòu)成的向量夾角cosSθiM為:

第S步的評價函數(shù)為:

進(jìn)而得到S步演化相點(diǎn)評價函數(shù):

若r=0,則規(guī)定ωS=1;λ為最大李雅普諾夫指數(shù)。評價函數(shù)值小于δ的相點(diǎn)被視為“偽臨近點(diǎn)”予以剔除,而δ的取值根據(jù)原始數(shù)據(jù)和模型的預(yù)測精度要求確定。

修正后的式(10),同時兼顧了相點(diǎn)間空間位置以及相點(diǎn)間演化趨勢,并根據(jù)演化相點(diǎn)的相關(guān)性,通過追蹤前S步相點(diǎn)的演化趨勢進(jìn)一步剔除“偽臨近點(diǎn)”,因此可利用式(10)選取臨近點(diǎn)。

3 實(shí)驗(yàn)仿真

為了檢驗(yàn)選取的臨近點(diǎn)對模型預(yù)測效果的影響,本文通過Lorenz方程x分量產(chǎn)生的混沌時間序列對原方法和改進(jìn)方法進(jìn)行對比檢驗(yàn)。Lorenz方程為:

取初值x(0)=-1，y(0)=0，z(0)=1,參數(shù)a=16，b=4，c= 45.92,時間步長為0.01。

由Lorenz方程x分量產(chǎn)生的第10001到13010個數(shù)據(jù),前3000個數(shù)據(jù)作為擬合數(shù)據(jù),后10個作為檢驗(yàn)數(shù)據(jù)。

選取均方誤差(MSE)作為性能評價指標(biāo),其公式如下式:

經(jīng)計(jì)算,混沌時間序列的延遲時間τ=10,嵌入維數(shù)m=6。對原始時間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)后,分別利用傳統(tǒng)方法和改進(jìn)方法選取臨近點(diǎn),并采用局域平均法和加權(quán)一階局域法對樣本進(jìn)行遞歸多步預(yù)測。

利用改進(jìn)方法選取臨近點(diǎn),取S=3,r=4,約束參數(shù)δ=0.85,IMiM值小于0.85的相點(diǎn)視為“偽臨近點(diǎn)”,予以剔除。采用局域平均法和加權(quán)一階局域法對樣本進(jìn)行遞歸多步預(yù)測。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3 局域平均法預(yù)測誤差對比圖

圖4 加權(quán)一階局域法預(yù)測誤差對比圖

由圖3可知,改進(jìn)的方法和關(guān)聯(lián)度方法的預(yù)測均方誤差總體相對平緩,并且經(jīng)過改進(jìn)的臨近點(diǎn)選取方法,其預(yù)測誤差較其他方法有明顯的降低,說明改進(jìn)后的方法,可有效篩選臨近點(diǎn),提高局域法預(yù)測精度。而從圖4和表1可以看出,基于不同的臨近點(diǎn)選取方法的一階加權(quán)局域預(yù)測法,隨著預(yù)測步數(shù)的增加其預(yù)測均方誤差均呈現(xiàn)先下降后上升的趨勢,當(dāng)預(yù)測步數(shù)小于5步時,改進(jìn)方法的均方誤差略高于傳統(tǒng)方法,但是隨著預(yù)測步數(shù)的增加其預(yù)測效果好于傳統(tǒng)方法。

表1 不同方法間的誤差對比

4 結(jié)論

本文根據(jù)混沌時間序列具有初值敏感性的特點(diǎn),通過李雅普諾夫指數(shù)構(gòu)造權(quán)系數(shù)對傳統(tǒng)歐氏距離進(jìn)行改進(jìn),利用距離關(guān)聯(lián)度和向量夾角余弦的平均值對相空間中相點(diǎn)間的空間關(guān)系和演化趨勢進(jìn)行綜合評價,并考慮到單步演化關(guān)系不能完全剔除“偽臨近點(diǎn)”的不足,根據(jù)演化相點(diǎn)的相關(guān)性,通過向追蹤前S步相點(diǎn)演化趨勢,提出了基于李雅普諾夫指數(shù)改進(jìn)的臨近點(diǎn)選取方法。利用Lorenz方程x分量產(chǎn)生的混沌時間序列進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),結(jié)果表明改進(jìn)后的預(yù)測精度比其他傳統(tǒng)方法有了明顯提高,改進(jìn)后的方法選取臨近點(diǎn)的合理性和有效性,為混沌時間序列的局域法的應(yīng)用打下了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

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(責(zé)任編輯/亦民)

N941.7

A

1002-6487(2016)20-0012-04

石鴻雁(1962—),女,遼寧沈陽人,博士,教授,研究方向:時間序列分析。魏俊達(dá)(1990—),男,黑龍江哈爾濱人,碩士研究生,研究方向:時間序列分析。