基于改進(jìn)的同倫攝動(dòng)法求解線性分?jǐn)?shù)階偏微分方程

尹偉石，張緒財(cái)，徐 飛，姜志俠

(1. 長(zhǎng)春理工大學(xué) 理學(xué)院，長(zhǎng)春 130022； 2. 東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，長(zhǎng)春 130024)

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基于改進(jìn)的同倫攝動(dòng)法求解線性分?jǐn)?shù)階偏微分方程

尹偉石1，張緒財(cái)1，徐 飛2，姜志俠1

(1. 長(zhǎng)春理工大學(xué) 理學(xué)院，長(zhǎng)春 130022； 2. 東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，長(zhǎng)春 130024)

基于改進(jìn)的同倫攝動(dòng)法求解線性分?jǐn)?shù)階偏微分方程, 并通過(guò)與變分迭代法進(jìn)行比較, 在數(shù)值算例中證明了方法的有效性.

改進(jìn)的同倫攝動(dòng)法； 變分迭代法； 線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程

分?jǐn)?shù)階模型是能夠充分描述和演示各種物理和生物過(guò)程和系統(tǒng)變化的一種模型[1-2].由于大多數(shù)分?jǐn)?shù)階微分方程沒(méi)有解析解，因此求解其近似解的數(shù)值技術(shù)被廣泛使用.近年來(lái)，變分迭代方法[3-4]已被用于解決各種各樣的問(wèn)題.本文基于He[5]提出的同倫攝動(dòng)法，來(lái)構(gòu)建一個(gè)分?jǐn)?shù)階線性偏微分方程的近似解.同倫攝動(dòng)法是一種聯(lián)系線性和非線性問(wèn)題的解析近似解的新方法.同倫攝動(dòng)方法目前已應(yīng)用于Volterra積分微分方程[6]、非線性振動(dòng)[7]、非線性問(wèn)題的分歧[8]、時(shí)滯微分方程的分岔[9]、非線性波方程[10]、邊值問(wèn)題[11]以及其他領(lǐng)域[12].最近，該方法的應(yīng)用已擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)階 Riccati 方程[13]中，Odibat和Momani修改同倫攝動(dòng)法以解決非線性分?jǐn)?shù)階微分方程.這種改變降低了非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)量而使之成為一組線性常微分方程.

1 分?jǐn)?shù)階微積分的一些基本概念

本文考慮的是如下形式的時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程：

(1)

其中L[x]是以下形式的線性微分算子：

(2)

同時(shí)滿足的初始條件和邊界條件是

u(x,0)=f(x) 0<α≤1,

u(x,t)→0 當(dāng)|x|→∞,t>0,

(3)

同時(shí)

u(x,t)→0 當(dāng)|x|→∞,t>0.

(4)

在上面的式子中ai(i=0,1,…,n),f(x),g(x)和q(x,t)全是連續(xù)函數(shù)并且α是u關(guān)于時(shí)間t在Caputo導(dǎo)數(shù)意義下求導(dǎo)的階數(shù).

關(guān)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)α>0有多種定義的方式.最常用的有兩種，分別是Riemann-Liouville定義和Caputo定義.每個(gè)定義都使用Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分和一階導(dǎo)數(shù).而兩種定義之間的差異是求值順序的不同.

由于Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在問(wèn)題的公式化中允許傳統(tǒng)的初始條件和邊界條件被納入，因此本文將運(yùn)用Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).本文考慮了一維線性非齊次分?jǐn)?shù)階偏微分方程，其中的未知函數(shù)u(x,t)被認(rèn)為是一個(gè)時(shí)間因果函數(shù).由此對(duì)在Caputo意義的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義如下.

定義1 對(duì)于m是超過(guò)α的最小整數(shù)，則階數(shù)α>0的Caputo時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子定義為

(5)

2 改進(jìn)的同倫攝動(dòng)法

同倫攝動(dòng)方法是一種適用于不同非線性問(wèn)題的可以提供一個(gè)解析近似解的新方法.考慮以下非線性分?jǐn)?shù)階微分方程：

對(duì)于t>0,m-1<α≤m，有

(6)

uk(0)=ckk=0,1,2,…,m-1.

(7)

可以構(gòu)造以下的同倫：

(8)

或者

(9)

其中同倫參數(shù)p始終從0到1變化.

在p=0的情況下，方程(8)變成線性方程：

(10)

同時(shí)方程(9)變成線性方程：

(11)

在p=1的情況下，方程(8)和方程(9)將變成原始的分?jǐn)?shù)階微分方程，即

而在改進(jìn)的同倫攝動(dòng)法中，一個(gè)最基本的假設(shè)是方程(8)和方程(9)的解可以根據(jù)p的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)：

u=u0+pu1+p2u2+p3u3+….

(12)

將方程(12)帶入方程(8)和方程(9)中，并且使之與p的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式相等，于是我們可以計(jì)算得到下列形式的線性方程：

(13)

或者如下形式：

(14)

分別地，其中的表達(dá)式L0,L1,L2,…和N0,N1,N2,…相應(yīng)地滿足以下方程：

(15)

3 應(yīng)用與結(jié)果

考慮如下線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程：

(16)

且符合初值條件

u(x,0)=x3.

(17)

根據(jù)同倫攝動(dòng)法，將初值條件(17)代入方程(16)，可以得到下列線性偏微分方程組：

(18)

計(jì)算上述方程，則有

u0(x,t)=x3，

故有

依次計(jì)算可以得到所求方程的近似解為

利用變分迭代法計(jì)算，同樣可以得到如上結(jié)果.

4 結(jié) 語(yǔ)

同倫攝動(dòng)法是求解各類線性非齊次分?jǐn)?shù)階偏微分方程的精確和近似解的有力而強(qiáng)大的工具.它提供了在解決實(shí)際問(wèn)題中更加有效的方法.而改進(jìn)的同倫攝動(dòng)法則實(shí)現(xiàn)了從分?jǐn)?shù)階微分方程到一系列常微分方程的更簡(jiǎn)單的計(jì)算方法.

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Based on Modified Homotopy Perturbation Method for Solving Linear Fractional Partial Differential Equation

YIN Weishi1, ZHANG Xucai1, XU Fei2, JIANG Zhixia1

(1. College of Science, Changchun University of Science and Technology, Changchun 130022, China；2.SchoolofMathematicsScienceandStatistics,NortheastNormalUniversity,Changchun130024,China)

This work is based on the homotopy perturbation method for solving the linear fractional partial differential equations. Some numerical examples are given to illustrate the efficitiveness and convenience of the method through the comparison with variational iterative method.

modified homotopy perturbation method； variational iteration method；linear time-fractional partial differential equation

0427-7104(2016)05-0560-05

2015-09-20

國(guó)家自然科學(xué)基金(11471067)；國(guó)家級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃(201510200028)

尹偉石(1980—)，男，博士，講師，E-mail：yinweishi@foxmail.com.

O 175.14

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