例談初中數(shù)學(xué)題中隱含條件的挖掘

浙江省桐鄉(xiāng)市洲泉中學(xué)　俞梅芳

例談初中數(shù)學(xué)題中隱含條件的挖掘

浙江省桐鄉(xiāng)市洲泉中學(xué)俞梅芳

初中數(shù)學(xué)題目有很多看起來(lái)平淡無(wú)奇的常規(guī)題，這些平淡的背后隱藏著命題者精心設(shè)計(jì)的一個(gè)個(gè)小“陷阱”，他們把一些已知條件隱藏在題目中，未明確表達(dá)出來(lái)，而這些隱含的條件，往往是解題的關(guān)鍵，這些條件容易被忽視，或隱藏很深，不易被挖掘，往往使求解陷入困境，給人“山重水復(fù)疑無(wú)路”的感覺(jué).若能深入挖掘題中的隱含條件，并充分加以利用，往往可以使問(wèn)題得到迅速而巧妙的解決.

初中數(shù)學(xué)隱含條件挖掘

要想正確求解初中數(shù)學(xué)題目，審題是解題的第一步，審題時(shí)要多角度、無(wú)遺漏地收集題目中的信息，挖掘題目中隱含的條件，化隱為顯，這就需要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，熟練的基本技能，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力和靈活的思想方法，通過(guò)觀(guān)察、分析逐步探索和轉(zhuǎn)化.如果粗心大意，急于求成，只看見(jiàn)事物的現(xiàn)象，而看不見(jiàn)事物的本質(zhì)，往往使解題偏離方向，而走錯(cuò)了道路.

隱含條件存在的形式多種多樣，有的以文字形式存在，也有的存在于圖形中，下面就結(jié)合數(shù)學(xué)實(shí)踐對(duì)隱含條件的發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用進(jìn)行淺顯的探討.

一、從數(shù)學(xué)概念中挖掘隱含條件

數(shù)學(xué)概念題，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是根據(jù)數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)等內(nèi)容所設(shè)置的問(wèn)題案例.初中生在數(shù)學(xué)概念題的解答中，需要對(duì)數(shù)學(xué)概念的整體進(jìn)行正確的理解和掌握，才能把握住數(shù)學(xué)概念的實(shí)質(zhì)，而部分初中生由于對(duì)數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)等內(nèi)容，特別是重點(diǎn)字詞的內(nèi)涵，不能有效理解和掌握，導(dǎo)致解題時(shí)出現(xiàn)審題不清、理解錯(cuò)誤.例如：同類(lèi)項(xiàng)、負(fù)整數(shù)冪、零指數(shù)冪、二次根式、分式、一元二次方程等概念.

例1：已知5a2bn-2與-2am-1b3的和是一個(gè)單項(xiàng)式，求m、n的值.

分析與解：只有同類(lèi)項(xiàng)才可以合并，因此：m-1=2，n-2=3，

∴m=3，n=5.

例2：求使下列式子有意義的x的取值范圍.

（1）（x+2）-3（2）（x-1）0

分析與解：（1）隱含條件：必須底數(shù)不為零，即：x+2≠0，∴x≠-2；

（2）隱含條件：必須底數(shù)不為零，即：x-1≠0，∴x≠1；

（3）隱含條件：必須被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，即：x+6≥0，∴x≥-6.

（4）隱含條件：必須分母不等于零，即：x-3≠0，∴x≠3.

二、從數(shù)學(xué)公式中挖掘隱含條件

許多數(shù)學(xué)知識(shí)是通過(guò)數(shù)學(xué)公式來(lái)呈現(xiàn)的，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解程度決定了其對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的達(dá)成度.

例3：已知關(guān)于x的一元二次方程（m2-1）x2-（2m+1）x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍.

分析與解：因?yàn)橐辉畏匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)根的判別式b2-4ac＞0得而判別式有前提條件的，隱含了二次項(xiàng)系數(shù)不為零，則m2-1≠0，所以m≠±1，即且 m≠±1.

三、從結(jié)構(gòu)特征中挖掘隱含的條件

很多數(shù)學(xué)題會(huì)給各種條件，有些是有用信息可以幫助解題，有些是無(wú)用信息用來(lái)混淆解題思路，所以學(xué)生需要在這種羅列的結(jié)構(gòu)信息中，進(jìn)行抽絲剝繭的分析來(lái)得到被隱含的條件.

例4：已知（a2+b2）2-3（a2+b2）-10=0，求a2+b2的值.

分析與解：用整體思想把a(bǔ)2+b2看成一個(gè)整體，并用因式分解法得（a2+b2+2）（a2+b2-5）=0，則a2+b2=-2，或a2+b2=5，而條件中隱含了a2+b2≥0，所以a2+b2=5.

四、從圖形中挖掘隱含的條件

幾何圖形是由許多基本元素和基本圖形構(gòu)成的，而有些幾何問(wèn)題，已知中給出的條件往往對(duì)這道題不夠進(jìn)行解答，似乎缺少了條件，而這正是題目中隱含的條件，所以在解題時(shí)要對(duì)圖形進(jìn)行觀(guān)察和有分析地進(jìn)行思考，從而把握?qǐng)D形的基本特征，找到解決問(wèn)題的突破口.

例5：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC為一邊，在△ABC的外部作等腰直角三角形ACD，則線(xiàn)段BD的長(zhǎng)為_(kāi)_________.

分析與解：要想解決本題，首先要找到線(xiàn)段BD，由于等腰直角三角形ACD的位置具有不確定性，因此要充分挖掘圖形中隱含的條件，通過(guò)分類(lèi)解決此題；

解：①以A為直角頂點(diǎn)，向外作等腰直角三角形DAC，

∵∠DAC=90°，且AD=AC，

∴BD=BA+AD=2+2=4；

②以C為直角頂點(diǎn)，向外作等腰直角三角形ACD，

連接BD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E.

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴∠DCE=45°，

又∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，

∴∠CDE=45°，

③以AC為斜邊，向外作等腰直角三角形ADC，

∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，

又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，

∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠BCD=90°，又∵在Rt△ABC中，

五、從圖像中挖掘隱含的條件

圖像是表示函數(shù)的一種重要形式，函數(shù)圖像最能夠形象地反映數(shù)字的規(guī)律的變化，它將函數(shù)的各種性質(zhì)及特點(diǎn)無(wú)保留地展現(xiàn)在你的面前，正因如此，函數(shù)圖像也具有較強(qiáng)的解題功能，很多看似復(fù)雜的問(wèn)題，通過(guò)繪制函數(shù)圖像，能得到初步的感知，或者利用圖像上的信息，并根據(jù)函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.

例6：如圖：已知拋物線(xiàn)y= ax2-3x+a2-1的圖像，則求a的值.

分析與解：由拋物線(xiàn)的性質(zhì)可知，圖像中隱含兩個(gè)條件，即a＜0，且拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，得：a2-1=0且a＜0，所以a=-1.

六、從問(wèn)題的實(shí)際意義中挖掘隱含的條件

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，同時(shí)又服務(wù)于生活.對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，在求解后要檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，是否符合實(shí)際，因此要挖掘出這些隱含的條件，才能正確求解.

例7：某公司在甲乙兩地銷(xiāo)售一種品牌車(chē)，利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）分別為：L1=5.06x-0.15x2，L2=2x，其中x為銷(xiāo)售量（單位：輛），若該公司在兩地共銷(xiāo)售15輛車(chē)，求其最大利潤(rùn).

分析與解：學(xué)生解此題時(shí)，常由于忽略變量x的實(shí)際意義，而得到錯(cuò)誤答案45.606（萬(wàn)元）.考慮到變量x的實(shí)際意義，正確解答如下.

解析：設(shè)甲地銷(xiāo)量為x輛，則乙地銷(xiāo)量為（15-x）輛，該公司銷(xiāo)售利潤(rùn)為

y=5.06x-0.15x2+2（15-x）

=-0.15x2+3.06x+30

=-0.15（x-10.2）2+45.606

∵x∈N，

∴當(dāng)x=10時(shí)，ymax=45.6

即該公司銷(xiāo)售汽車(chē)所獲得的最大利潤(rùn)為45.6萬(wàn)元.

綜上，隱含條件的挖掘是初中生必備的解題技能，而隱含條件雖然會(huì)給我們的數(shù)學(xué)解題帶來(lái)困擾和阻礙，但是，我們只要把多種方法結(jié)合起來(lái)使用，認(rèn)真審題，從多角度、多方位、多層次去挖掘每個(gè)隱含的條件，并能有效地加以利用，就能發(fā)揮積極的作用，達(dá)到“柳暗花明又一村”的暢快，順利到達(dá)解題的彼岸，從而真正提高自己解決問(wèn)題和分析問(wèn)題的能力.

［1］巧妙利用隱含條件解題.考試周刊.2013

［2］初中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中隱含條件的解讀.論文網(wǎng).2015

［3］教學(xué)與研究.考試周刊.2013

［4］深挖題設(shè)條件中的隱含條件.中學(xué)數(shù)學(xué)研究.2012