解析法“以不變應萬變”突破中考動態(tài)難題

☉浙江省衢州市實驗學?！∴嚒∵_

☉浙江省衢州市衢江區(qū)杜澤中學余小飛

解析法“以不變應萬變”突破中考動態(tài)難題

☉浙江省衢州市實驗學校鄧達

☉浙江省衢州市衢江區(qū)杜澤中學余小飛

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出用坐標研究圖形的性質(zhì)、探索坐標變化與圖形運動變換之間的變化規(guī)律和對應關系.［1］將圖形放置于平面直角坐標系中，用坐標的方法研究圖形，更好地揭示了數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學的思想內(nèi)涵.［2］動態(tài)問題囊括了對學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識、創(chuàng)新意識的考查，是當下全國各地初中學業(yè)水平考試命題者最愛考查的對象之一.它往往通過點的運動、線的移動導致整個圖形跟著發(fā)生變化，而初中生的空間想象能力和幾何直觀感受力并不強，以至于命題者能通過幾何畫板直觀看出圖形運動變化的全過程很難在學生腦海中呈現(xiàn).因此，很多學生對于此類問題都有“恐懼感”.解析法通過數(shù)形結合在平面直角坐標系中，把幾何動態(tài)問題轉化為代數(shù)問題，很好地幫助學生突破動態(tài)這一難點.本文著重介紹用解析法突破以下幾類動態(tài)問題.

一、等腰三角形

例1如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，動點P以每秒1個單位長度的速度從點D出發(fā)向終點A運動，同時動點Q以每秒個單位長度的速度從點A出發(fā)沿對角線AC向終點C運動.過點P作PE∥DC，交AC于點E.設動點P、Q的運動時間為x秒，當點P運動到點A時，P、Q兩點同時停止運動.

圖1

（1）設PE=y，求y關于x的函數(shù)表達式.

（2）在點P、Q的運動過程中，是否存在這樣的P和Q，使以P、Q、E為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由.

分析：第（1）小問比較簡單，就不贅述了.對于第（2）小問，題目通過動點P從點D出發(fā)向終點A運動，引起線段PE的長度和位置都發(fā)生變化，點Q從點A出發(fā)沿對角線AC向終點C運動，使得△PQE在整個運動過程中，形狀和位置都在發(fā)生變化，學生對于是否存在這樣的P和Q，使以P、Q、E為頂點的三角形是等腰三角形感到比較棘手.這一問到底有幾個答案呢？學生心里也沒底.由題意，通過畫動態(tài)定位分類圖討論，［3］經(jīng)歷動態(tài)過程，［4］可以知道，要先根據(jù)點Q與點E的位置分為相遇前、相遇后兩類，然后分別討論PQ=PE、PQ=EQ、PE=EQ這三種情況.在此討論的基礎上，分別畫出相應的圖形，根據(jù)等腰三角形及三角形相似的性質(zhì)，建立方程，并求解.在此過程中，由于點、線的移動，導致△PQE在不斷變化，大部分學生很難把整個運動過程分析清楚，并畫出滿足條件的圖形，進而較難得到全部答案.基于此，可以考慮建立平面直角坐標系，如圖2，以B為坐標原點，以BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，把P、Q、E三點的坐標用含x的代數(shù)式表示出來，然后用兩點間的距離公式分別表示PQ、EQ、PE，再根據(jù)PQ=PE、PQ=EQ、PE=EQ這三種情況得到三個方程，解一元二次方程即可.

圖2

反思：△PQE在運動過程中時刻都在發(fā)生變化，給學生對圖形運動的分析帶來一定的障礙.運用解析法，學生只需把P、Q、E三點的坐標用含x的代數(shù)式表示出來，通過兩點間的距離公式建立方程，把幾何問題代數(shù)化，大大減少了對圖形運動過程的分析.菱形的存在性問題也可以根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定轉化為平行四邊形、等腰三角形的存在性問題，再仿照上述過程就能解決.

二、平行四邊形

例2（2014年山西卷）綜合與探究：如圖3，在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC是平行四邊形，A、C兩點的坐標分別為（4，0）、（-2，3），拋物線W經(jīng)過O、A、C三點，D是拋物線W的頂點.

（1）求拋物線W的解析式及頂點D的坐標.

（2）將拋物線W和?OABC一起先向右平移4個單位后，再向下平移m（0＜m＜3）個單位，得到拋物線W′和?O′A′B′C′，在向下平移的過程中，設?O′A′B′C′與?OABC的重疊部分的面積為S，試探究：當m為何值時，S有最大值？并求出S的最大值.

（3）在（2）的條件下，當S取最大值時，設此時拋物線W′的頂點為F，若點M是x軸上的動點，點N是拋物線W′上的動點，試判斷是否存在這樣的點M和點N，使得以D、F、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

圖3

分析：第（1）、（2）兩問不作討論.本題的圖形在將拋物線W和?OABC一起經(jīng)過兩次平移后變得很復雜.而在復雜圖形中提煉出與解決問題相關的部分圖形，是學生很難做到的.第（3）小問的常規(guī)思路是根據(jù)平行四邊形的判定“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”和“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”去尋找滿足條件的點，找到大致位置后通過構造全等三角形來求出點的坐標.在復雜圖形的背景下，第（3）問中平行四邊形的雙動點存在性問題，學生很難找全所有的答案.用解析法只需要設M（x，0），然后把點N的坐標用含x的代數(shù)式表示出來，然后代入拋物線W′的表達式，解方程即可求出所有的解.

（3）設M（x，0），如圖4，從圖3中提煉出△DFM，然后分別過點D、F、M作對邊的平行線，交于點N1、N2、N3.

圖4

綜上所述，存在這樣的點M和點N，點M的坐標分別為（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）.

反思：通過兩次平移，題目的圖形變得很復雜，對學生的審題造成干擾.在此基礎上，設置M是x軸上的動點，N是拋物線W′上的動點，給學生對圖形的動態(tài)分析造成很大的障礙.解決動態(tài)問題最好的辦法就是化動為靜，［5］第（3）問中有兩個動點，當設M（x，0）時，把點M看成靜點，而平行四邊形已知三個點時，第四個點就只有三種情況了，基于這個想法，只需提煉出圖4，就能做到“化動為靜”、“化繁為簡”.

三、矩形

例3（2015年成都卷）如圖5，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2-2ax-3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），經(jīng)過點A的直線l：y= kx+b與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD=4AC.

圖5

（1）直接寫出點A的坐標，并求直線l的函數(shù)表達式（其中k、b用含a的式子表示）.

（2）點E是直線l上方的拋物線上的一點，若△ACE的面積的最大值為求a的值.

（3）設P是拋物線對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由.

分析：本題拋物線的表達式待定，直線l的表達式由a的值確定，點D是直線l與拋物線的交點，依題意，只能得到點D的橫坐標為4，點D的縱坐標為5a，同時P是拋物線的對稱軸上的動點，Q是拋物線上的動點.太多不確定的量，讓絕大多數(shù)學生望而卻步！解析法可以減少對動態(tài)圖形的分析.根據(jù)矩形的定義“有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形”，第（3）小問可以轉化為兩個問題來解決：①平行四邊形的存在性問題，解決的方法與例2完全類似；②直角三角形的判定，解決方法可用勾股定理的逆定理.

圖6

解：（1）點A（-1，0），直線l的函數(shù)表達式為y=ax+a.

（3）設點P（1，m），由題意可知，點A（-1，0），D（4，5a），a＜0，如圖6（從圖5中提煉），與例2的方法類似.

因為a＜0，所以m=-4，所以P（1，-4）.

③當DP為對角線時，可得Q3（6，5a+m），由Q是拋物線上的點，可得Q3（6，21a），則5a+m=21a，m=16a.由DP2= AD2+AP2，得到方程32+（m-5a）2=52+（5a）2+22+m2，整理可得16a2=-2，此方程無實數(shù)解.

反思：本題中的拋物線和直線的表達式都是含參數(shù)的，再設置動點P、Q，動態(tài)的量太多，讓學生不知道應該怎么去畫圖分析.通過把矩形存在性問題分解成兩個問題，借助于平行四邊形和直角三角形的判定，用解析法就能很方便地解決問題.另外，直角三角形的存在性問題可由勾股定理的逆定理建立方程解決，也可用k1·k2= -1來建立方程解決（這種方法已超綱，但可以給學有余力的同學補充）.

四、正方形

圖7

（1）求tanA的值.

（2）設點P運動時間為t，正方形PQEF的面積為S，請?zhí)骄縎是否存在最小值.若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.

（3）當t為何值時，正方形PQEF的某個頂點（Q點除外）落在正方形QCGH的邊上？請直接寫出t的值.

分析：第（1）、（2）問不再贅述了.對于第（3）問，由點P、Q的運動，引起線段CQ的長度，以及PQ的位置和長度不斷發(fā)生變化，進一步導致正方形QCGH與正方形PQEF的形狀與大小也發(fā)生變化.在此基礎上設問：“正方形PQEF的某個頂點（Q點除外）落在正方形QCGH的邊上”，大部分學生直接放棄，對“一個正方形的頂點落在另一個正方形的邊上”的內(nèi)涵是什么不理解，尤其是當點P、Q在運動時，作不出相應符合要求的位置圖形，失去了圖形的直觀性之后喪失了繼續(xù)探究的信心.用解析法可以減少對圖形運動過程的分析.

圖8

（3）如圖8，建立平面直角坐標系，AP=CQ=5t，AM= 4t，PM=3t.作PM⊥AC于點M，EN⊥AC于點N，可證△PMQ≌△QNE，得PM=QN=3t，MQ=EN=9-9t，HQ=5t，則直線HQ、GC、HG的解析式分別是x=9-5t、x=9、y=5t，點E、F、P的坐標分別是（9-2t，9-9t）、（7t，9-6t）、（4t，3t）.當點E（9-2t，9-9t）在正方形QCGH的邊上時，有9-2t=9-5t，9-2t=9，9-9t=5t，其中符合題意的只有一解；當點F（7t，96t）在正方形QCGH的邊上時，有9-6t=5t，9-5t=7t，7t=9，其中符合題意的解有；當點P（4t，3t）在正方形QCGH的邊上時，有9-5t=4t，9=4t，3t=5t，其中符合題意的只有一解t=1.

五、圓

圖9

（1）直接寫出M、N兩點的坐標（用含t和a的代數(shù)式表示）；

（2）連接AM，若經(jīng)過時間t，存在△AOM與△CMN能夠相似，求出t和a的值；

（3）當a=5時，以N點為圓心，MN為半徑作⊙N.請直接寫出在運動的整個過程中，⊙N與矩形ABCO的其中一邊所在直線相切時t的值.

分析：本題是2016年浙江省衢州市中考調(diào)研卷的壓軸題，筆者參與批改.本題第（1）問的得分情況較好，第（2）問有部分學生漏掉一個答案，第（3）問，筆者所批改的所有試卷當中，少部分學生能得到兩三個答案，滿分卷只有十來份.究其原因，⊙N的圓心N在運動，半徑MN的長度也在發(fā)生變化，尤其是“⊙N與矩形ABCO的其中一邊所在直線相切”，情況較多，給學生的畫圖分析帶來很大的困難，導致比較優(yōu)秀的學生答不完整.根據(jù)“直線與圓的相切的判定定理”，當d=r時，即圓心N到矩形四邊所在直線的距離等于MN的長度時，就能完成第（3）問的解答.運用解析法，能很好地做到這一點.

（3）當a=5時，M（t，0），N（8-4t，3t），MN2=（8-5t）2+（3t）2=34t2-80t+64.

④當⊙N與AB相切時，MN2=（6-3t）2，25t2-44t+28=0，方程無實數(shù)根.

通過用解析法解決上述幾種動點類型的存在性問題可以看出，當由點、線的運動，導致整個圖形發(fā)生變化，很難畫出符合題意的圖形時，解析法通過“化動為靜”、“化繁為簡”可以很好地幫助學生解決動態(tài)問題.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.劉金英，張義民.重聯(lián)系·重思想·重素養(yǎng)：2015年中考數(shù)學試題“圖形與坐標”專題命題分析［J］.中國數(shù)學教育（初中版），2016（1-2）.

3.鄧達，余獻虎.巧用動態(tài)定位分析突破動點分類難題［J］.中國數(shù)學教育（初中版），2015（7-8）.

4.葉先玖.經(jīng)歷動態(tài)過程，還原思維歷程——以一道幾何題的解答為例［J］.中學數(shù)學（下），2016（2）.

5.奚喜兵.謀定而后動：幾何動點問題的解決策略［J］.中學數(shù)學（下），2015（10）.H