多思少算：一種值得追求的解題教學(xué)策略

☉江蘇如東縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)　徐　亮

多思少算：一種值得追求的解題教學(xué)策略

☉江蘇如東縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)徐亮

解題教學(xué)應(yīng)該追求什么？文1給出了一種很好的思路：追求解題成果的深化與擴(kuò)大.筆者在認(rèn)同上述觀點(diǎn)的同時(shí)，感覺在解題教學(xué)中應(yīng)該還有一種追求：多思少算.雖然《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（下面簡稱《課標(biāo)（2011年版）》）把運(yùn)算能力作為十大核心素養(yǎng)之一，但是這應(yīng)該是“數(shù)式運(yùn)算類”試題追求的方向，即使這樣，數(shù)式運(yùn)算也應(yīng)該做到“從遵守規(guī)則到追求簡化”，而“追求簡化”正是“多思”的一種體現(xiàn)，其他題目更是應(yīng)該把考查的方向放在對(duì)學(xué)生思維能力訓(xùn)練的層面上，加深思維層次，加大思維含量.下面結(jié)合在教學(xué)過程中的實(shí)踐，簡單談兩點(diǎn)思考，不當(dāng)之處還請(qǐng)各位專家和同行批評(píng)指正.

一、案例兩則

案例1：加深思維層次.

原題：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，點(diǎn)M、N分別在AB、AD邊上.若AM:MB=AN:ND=1:2，則tan∠MCN的值為_______.

圖2

解法1：連接MN交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作ME垂直于CN于點(diǎn)E（如圖2）.

解法2：連接MN交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作ME垂直于CN于點(diǎn)E（如圖2）.

因?yàn)椤螮MN+∠MNE=90°，∠FCN+∠CNF=∠FCN+∠MNE=90°，所以∠EMN=∠FCN，所以△EMN∽△FCN.

評(píng)析：解法2與解法1比較，明顯減少了許多計(jì)算量，筆者認(rèn)為這是思維層次加深的原因.兩種解法添加了同樣的輔助線，解法1主要結(jié)合面積相等和勾股定理的知識(shí)對(duì)問題給出了解答；而解法2則加深了一步，發(fā)現(xiàn)了圖中存在的一對(duì)相似三角形，進(jìn)而結(jié)合相似三角形的相關(guān)知識(shí)解決了問題.日本著名數(shù)學(xué)家米山國藏在其名著《數(shù)學(xué)的思想、精神及方法》中指出：“數(shù)學(xué)是一步一步往上走的”，而初中階段對(duì)直角三角形的相關(guān)知識(shí)（勾股定理、直角三角形相似、銳角三角函數(shù)）的學(xué)習(xí)正是遵循上述論述的，在教學(xué)過程中，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)這種邏輯順序和逐層加深的思想.

案例2：加大思維含量.

原題：如圖3，在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∠A=30°.請(qǐng)你添加喜歡的輔助線，求出tan15°的值.

圖3

圖4

解法1：如圖4，作∠A的角平分線交BC于點(diǎn)D，則∠CAD=15°.

解法2：如圖5，延長CB到點(diǎn)D，使CD=AC，則∠BAD= 15°，過點(diǎn)B作BE垂直AD于點(diǎn)E.

圖5

圖6

解法3：如圖6，延長AC到點(diǎn)D，使AD=AB，則∠CBD= 15°.

解法4：如圖7，延長CA到點(diǎn)D，使AD=AB，則∠BDC= 15°.

圖7

評(píng)析：解法1—解法4都遵循了共同的解題思路，即：構(gòu)造15°的角，然后構(gòu)造直角三角形，最后在直角三角形中應(yīng)用銳角三角函數(shù)正切的定義進(jìn)行求解.可以看出解法1中輔助線的添加是最容易想到的，但是這其中需要用到三角形中角的平分線的一個(gè)性質(zhì)，對(duì)于初中生而言是很難順利求解的；解法2和解法3的輔助線的添加方式有點(diǎn)兒類似，都利用了等腰三角形的知識(shí)，相比較而言，解法2的輔助線更容易想到，但是在求解過程中運(yùn)算量非常大，甚至涉及了無理數(shù)的開平方，對(duì)初中生而言是有難度的，而解法3的輔助線雖然不易想到，但是一旦添加了這樣的輔助線，問題便會(huì)順利解決，因?yàn)榛旧蠜]有什么計(jì)算涉及；解法4的輔助線應(yīng)該是最不易想到的，利用了三角形外角的性質(zhì)，通過簡單計(jì)算問題便會(huì)迎刃而解.比較上述4種解法，可以發(fā)現(xiàn)隨著思維含量的逐漸加大，解決問題過程中涉及的計(jì)算量越來越少，進(jìn)而問題解決起來便越來越自然、越來越順利.

二、兩點(diǎn)思考

1.多思少算需要中考命題導(dǎo)向的指引

中考試題是課堂教學(xué)的指揮棒、風(fēng)向標(biāo).特別是《課標(biāo)（2011年版）》實(shí)施以來，由于其對(duì)運(yùn)算能力的重視，在中考試題中出現(xiàn)了大量的關(guān)注計(jì)算水平的試題，可以說這是一種好的趨勢(shì)，但是這種趨勢(shì)現(xiàn)在有點(diǎn)兒“走偏”的感覺，學(xué)生的運(yùn)算能力有了一定的提高，但是思維能力卻不見好轉(zhuǎn).學(xué)生真正走向社會(huì)，對(duì)其發(fā)生作用、伴其一生的應(yīng)該是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中習(xí)得的思維能力，只有在重視學(xué)生運(yùn)算能力的同時(shí)，更加重視對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，我們的數(shù)學(xué)教育才可能真正起到應(yīng)有的作用.

2.多思少算需要一線教師積極踐行

在課堂教學(xué)中，有的教師向?qū)W生灌輸“不管用什么方法，只要能解決問題”即可，殊不知這是一種極其功利的心態(tài)，缺少了對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng).在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該注意一題多變、一題多解，在多種解法中尋求最優(yōu)的解法，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)不同的思維層次對(duì)解決同一問題帶來的不同效果，這樣學(xué)生才可能真正體會(huì)到解題的樂趣，才能培養(yǎng)學(xué)生欣賞的眼光，才能使學(xué)生走出“題?！?，真正地愛上數(shù)學(xué)，這正是現(xiàn)階段解題教學(xué)中所缺失的，必須引起一線教師的足夠重視，進(jìn)而在課堂教學(xué)中積極踐行，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)解題教學(xué)的最大價(jià)值.

1.朱月祥.追求解題成果的深化與擴(kuò)大［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2015（11）.

2.劉東升.初中數(shù)學(xué)是這樣學(xué)好的［M］.杭州：浙江大學(xué)出版社，2015.Z