小議外延知識教學(xué)實踐——以特殊不等式解法探索為例

☉江蘇張家港市鳳凰中學(xué)　楊維娟

小議外延知識教學(xué)實踐——以特殊不等式解法探索為例

☉江蘇張家港市鳳凰中學(xué)楊維娟

眾所周知，初中數(shù)學(xué)存在一定的考查知識外延化，即以教材中的基本知識為本，擴散輻射到一定難度的外延知識.這些外延知識的學(xué)習(xí)依賴于探究性教學(xué)的實踐，依賴于教師給出的教學(xué)設(shè)計.有時常常聽到同行抱怨中考應(yīng)試中，哪些知識不在考綱范圍內(nèi)、超綱、不要求等，筆者認為這些想法并不可取，只要是可以通過已經(jīng)掌握的知識解決的新知識，都不屬于超綱范圍，因此加強數(shù)學(xué)外延知識的教學(xué)成為優(yōu)秀學(xué)生更上層樓的關(guān)鍵.

如何設(shè)計外延知識的教學(xué)呢？如何梳理相關(guān)的外延性知識呢？既需要多年教學(xué)經(jīng)驗的總結(jié)，也需要自身對于問題新視角的思考與開發(fā).筆者以特殊不等式解法為例，進行合理的設(shè)計與開發(fā).解不等式是學(xué)生必須掌握的工具性知識，是初中數(shù)學(xué)必考之重點，其聯(lián)系著各種數(shù)學(xué)知識，體現(xiàn)著知識的橋梁作用.隨著教育的改革和創(chuàng)新，對這部分知識的考查要求也隨之加大.在教改和課改的大浪潮中，初中不等式這部分知識點正不斷地與高中“不等式的解”接軌.在題目中它常常會結(jié)合絕對值和根式等與之相關(guān)的內(nèi)容來考，使題目的難度加大.考生對于這類大難度的題無從下手，卻苦于無參考資料.下面將比較系統(tǒng)地總結(jié)該類特殊不等式的題型，并且給出比較完善的解法，以供考生和同行參考.

外延知識教學(xué)方向一：含有絕對值符號的不等式的解法

類型一：形如|ax+b|≤c或|ax+b|≥c（a、b、c為實數(shù)，且a≠0且c≥0）.

問題1：解不等式：（1）|2x+1|＞5；（2）|2x+1|＜5.

分析：（1）由題意，一個整式的絕對值要大于5，有兩種情況，一是這個整式的值大于5，另一個是這個整式的值小于-5.這樣就可以把這個不等式轉(zhuǎn)化成解兩個一般的不等式，從而求出答案.（2）一個整式的絕對值要小于5，即這個整式的值在-5到5之間，也就轉(zhuǎn)化為解一個一元一次方程了.

解析：（1）依題意，可得2x+1＞5或2x+1＜-5，解得：x＞2或x＜-3.

（2）依題意，可得-5＜2x+1＜5，即2x+1＞-5且2x+1＜5，解得-3＜x＜2.

類型二：形如|x+a|≥|x+b|或|x+a|≤|x+b|（a、b為實數(shù)）.

問題2：解不等式：（1）|x+2|≥|x+1|；（2）|x+2|≤|x+1|.

分析：（1）根據(jù)絕對值的定義，不等式可變形為|x-（-2）|≥|x-（-1）|，它表示點x到點-2的距離大于或等于點x到點-1的距離，再通過數(shù)軸可以分析出答案.（2）與上面的同理，也能得出答案.

解析：（1）不等式可變形為|x-（-2）|≥|x-（-1）|，由絕對值的定義可得x≥

（2）不等式可變形為|x-（-2）|≤|x-（-1）|，由絕對值的定義可得x≤

提示：絕對值是初中數(shù)學(xué)中的重要概念，將絕對值與不等式結(jié)合，賦予了不等式全新的解決方式.學(xué)生能解決諸如ax+b＞c的類型，也能理解|x|＞a的幾何意義，將兩者結(jié)合產(chǎn)生的帶有絕對值符號的不等式成為初中考綱之內(nèi)知識的延伸，對這種外延知識進行恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)，有助于學(xué)生站在更高的角度去理解絕對值，將整體性思想的介入體現(xiàn)得淋漓盡致，在思想層面提高了學(xué)生對于教材內(nèi)知識的理解.

外延知識教學(xué)方向二：含有根號的不等式的解法

解析：（1）把不等式左、右兩邊分別平方，得2x+1＞9，解得：x＞4.

外延知識教學(xué)方向三：同時含有絕對值和根號的不等式的解法

分析：眾所周知，絕對值和根式的值都是大于或等于0的，所以我們可以對不等式左、右兩邊分別平方，把絕對值符號和根號都去掉，去掉后發(fā)覺不等式左、右兩邊的4x2可以消去，從而轉(zhuǎn)化為我們能夠解的一元一次不等式.

提示：這里筆者在原有方向一和方向二的基礎(chǔ)上，將無理根式與絕對值融合，結(jié)合不等式，顯然教師將學(xué)生對于不等式解決的難度提升到一個新的層面，基于初中數(shù)學(xué)最基本的三個知識點：絕對值、無理根式、不等式，將教材內(nèi)的知識進行了外延拓展，大大提高了學(xué)生對于應(yīng)試以上要求不等式的理解，也站在了更高的視角學(xué)會了對于數(shù)學(xué)知識的理解，加深了知識間相互穿插、融合使用的能力.當(dāng)然，上述這些特殊的不等式的解答，需要在特定條件下來進行，而特定條件有時是很明顯的，甚至是已知的，有時是隱蔽的，要解決此類題型還要靠我們在教學(xué)和研究中不斷整理、總結(jié)，才能得心應(yīng)手.

1.柴賢亭.數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題設(shè)計［J］.教學(xué)與管理，2012（10）.

2.邵岳洲.試舉由特殊方程或特殊不等式求解的幾種情況［J］.數(shù)理化解題研究，2013（9）.

3.吳霞.不等式的特殊題型與解法［J］.數(shù)理化解題研究，2014（5）.Z