貫通多解與預(yù)設(shè)追問：解題教學(xué)的備課視角——以武漢某區(qū)八年級把關(guān)題為例

☉江蘇省如皋市高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初中　陳亞東

貫通多解與預(yù)設(shè)追問：解題教學(xué)的備課視角——以武漢某區(qū)八年級把關(guān)題為例

☉江蘇省如皋市高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初中陳亞東

一、寫在前面

鄭毓信教授在代表著作《數(shù)學(xué)方法論入門》（見文1）開篇即指出：“在數(shù)學(xué)方法論的研究中，容易首先想到的一個(gè)問題是：與一般的科學(xué)家（如物理學(xué)家）相比，數(shù)學(xué)家們的思維方法是否有其獨(dú)特的地方？對此，一種可能的回答是：數(shù)學(xué)家們特別善于使用化歸的方法來解決問題.也就是說，在解決問題時(shí)，數(shù)學(xué)家們往往不是對問題進(jìn)行直接的攻擊，而是對此進(jìn)行變形、使之轉(zhuǎn)化，直到最終把它化歸成某個(gè)（或某些）已經(jīng)解決的問題.”

根據(jù)筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在解題教學(xué)中，也需要向?qū)W生傳遞上述化歸的策略.本文以一道八年級期末試題為例，講解平移化歸的策略在正方形為背景的考題突破中的應(yīng)用，提供研討.

二、考題及思路突破

考題（武漢市硚口區(qū)2016年八年級下學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試第24題）如圖1，已知正方形ABCD，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)G在AD上，點(diǎn)F在射線BC上，點(diǎn)H在CD上.

圖1

圖2

（1）如圖2，若FG⊥DE，求證：BF=AE+AG；

圖3

圖4

（3）如圖4，EH交FG于點(diǎn)O，∠GOH=45°，若CD=4，BF=DG=1，求線段EH的長.

思路突破：（1）考慮到條件FG⊥DE，可以選擇構(gòu)造GN⊥BC于點(diǎn)N（如圖5），可利用全等三角形的性質(zhì)（如△ADE≌△NGF）得NF=AE，而AG=BN，故“BF=AE+AG”得證.稍作反思，這條輔助線GN可以看作是將邊AB向右平移所得，順著平移的思考，還可得到如下不同的輔助線，如圖6，過點(diǎn)A作AK∥GF交BC于點(diǎn)K，可證△ABK≌△DAE，得BK=AE，而AG=KF，故“BF=AE+AG”得證.

圖5

圖6

圖7

圖8

解后反思：如果沒有順利構(gòu)造上述輔助線，也可以從洞察問題結(jié)構(gòu)的角度進(jìn)一步反思，比如，在圖8中，連接BP，DP，根據(jù)對稱性質(zhì)，容易發(fā)現(xiàn)PC是∠BCD的平分線，發(fā)現(xiàn)∠BCP=45°，45°的出現(xiàn)也可啟發(fā)思路.

（3）該題有一個(gè)重要的條件45°需要挖掘，如果盯住原圖中的線段位置，也可以構(gòu)造相關(guān)輔助線實(shí)現(xiàn)問題的求解，但如果受到上述平移變換的啟發(fā)，可以將EH、FG分別平移到一個(gè)特殊位置，如圖9，即點(diǎn)E、F都與頂點(diǎn)B重合.

圖9

圖10

三、教學(xué)思考

由于該題呈現(xiàn)簡約，但問題的生成自然、拓展適度、證法多樣，是一道較有思維含量的幾何題，也是一道較好的幾何教學(xué)題例，以下再圍繞該題的解題教學(xué)提出幾點(diǎn)初步思考.

1.備課時(shí)要深刻理解例題的不同解法

眾所周知，中學(xué)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)活動(dòng)中，解題教學(xué)占有十分重要的位置，就當(dāng)前的解題教學(xué)來看，不少課堂仍然停留在一題一解，答案揭示的較低層次，還缺少較有深度的解后反思，問題深層結(jié)構(gòu)揭示的高度.這就要求，我們在備課時(shí)不僅要思考問題的思考貫通，更為重要的是要思考問題的盡可能多的解法或思路，這不僅是為了應(yīng)對教學(xué)過程中及時(shí)理解學(xué)生可能的思考，更為重要的是，教者本人在貫通不同解題思路時(shí)，可以對比不同思路，并優(yōu)選更能揭示問題本質(zhì)的思路.而且能在深刻理解問題解法的情況下，進(jìn)一步制作課件、預(yù)設(shè)追問，追求解題教學(xué)的成果擴(kuò)大.

2.精心設(shè)計(jì)課件漸次呈現(xiàn)啟發(fā)思考

由于現(xiàn)代化教學(xué)設(shè)備的普及，目前很多學(xué)校都配備了投影或白板設(shè)備，這對于數(shù)學(xué)解題教學(xué)來說作用是很大的，因?yàn)樵囶}（特別是圖形）的呈現(xiàn)可以通過現(xiàn)代化投影設(shè)置漸次有序呈現(xiàn)，幫助學(xué)生理解題意，做到基礎(chǔ)不好的學(xué)生也能參與解題，促進(jìn)他們理解初始問題，并繼續(xù)向上攀登、挑戰(zhàn).以下就給出筆者關(guān)于上文中考題第（3）問制作的PPT的截圖（如圖11），提供分享.

圖11

3.預(yù)設(shè)恰當(dāng)追問促使問題拓展深入

解題教學(xué)備課時(shí)除預(yù)設(shè)學(xué)生可能的不同解法之外，作為解題教學(xué)的成果擴(kuò)大，還需要思考例題的可能拓展或生長，對例題做出必要的反思回顧，在反思回顧階段，可以引導(dǎo)學(xué)生積累問題結(jié)構(gòu)，有時(shí)還可以通過引導(dǎo)學(xué)生做必要的追問，體會(huì)或感悟問題的結(jié)構(gòu).比如對于上文考題的解題教學(xué)，我們還可設(shè)計(jì)如下一些變式追問：

追問1：在（1）中，逆向思考，如果DE=FG，是否一定有DE⊥FG？說明理由.

預(yù)設(shè)意圖：由位置上的垂直關(guān)系，可以推證等量關(guān)系，但是由等量關(guān)系卻不一定能得到嚴(yán)格的位置關(guān)系.

追問2：在圖3中，直線PC是否為正方形ABCD的對稱軸？為什么？

預(yù)設(shè)意圖：由圖4的分析，可知直線PC平分∠BCD.這種追問主要是讓學(xué)生積累和感悟基于軸對稱的“以美啟真”策略.

追問3：在圖9中，連接GH，△GDH的周長是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，說明理由.

預(yù)設(shè)意圖：該三角形周長即為正方形邊長的2倍.

講評提醒：在上述追問下，可以引導(dǎo)學(xué)生理解所謂“把水倒掉”的數(shù)學(xué)家思維模式，即善于使用化歸是數(shù)學(xué)家思維方式的重要特點(diǎn).不在于這一個(gè)具體問題的解決，而在于讓學(xué)生領(lǐng)悟如何轉(zhuǎn)化、為什么想到轉(zhuǎn)化等，即從知識(shí)的記憶走向方法的領(lǐng)悟.

四、寫在最后

上文主要從考題的解法及解題教學(xué)角度給出闡釋，如果從命題角度來看，我們也可提出一些商榷意見，比如，在限時(shí)考試的背景下，目前很多試卷容量較大，這時(shí)需要嚴(yán)格控制技巧高、輔助線不易獲取的平面幾何題的數(shù)量，因?yàn)楦鶕?jù)筆者多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，一旦學(xué)生遇到?jīng)]有練習(xí)過的平面幾何題，如果需要構(gòu)造一些不太常規(guī)的輔助線，則在考場上有限的時(shí)間內(nèi)，是很少有學(xué)生能順利貫通思路的，往往會(huì)造成一些考試分?jǐn)?shù)的信度下降.

1.鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論入門［M］.杭州：浙江教育出版社，2006.

2.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

3.【美】波利亞，著.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.H