再談“羊車門”問題

田晨景 胡雄 王馨賢 鄭鶴鵬 蓋春樺 周華任

摘要：本文通過對(duì)“羊、車”趣味問題的思考，提出了自己的見解，并分別運(yùn)用邏輯推理、條件概率方法、計(jì)算機(jī)模擬這三種方法進(jìn)行了解答，進(jìn)一步對(duì)問題出現(xiàn)不同答案的原因進(jìn)行了分析，最后得出結(jié)論。

關(guān)鍵詞：羊車門;邏輯推理;條件概率;隨機(jī)模擬

中圖分類號(hào)：G642.0 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2016）42-0200-02

一、引言

羊車門問題出自美國《parade》雜志中一個(gè)叫作“ask marilyn”的專欄，問題表述如下：臺(tái)上有三個(gè)門，一個(gè)后邊有汽車，其余后邊是山羊。主持人讓你任意選擇其一。然后他打開其余兩個(gè)門中的一個(gè)，你看到是山羊。這時(shí)，他給你機(jī)會(huì)讓你可以重選，也就是你可以換選另一個(gè)剩下的門。那么，你換不換？這個(gè)問題在當(dāng)時(shí)掀起了全球的討論熱潮，直至今日也存在著許多不同的看法。下面便是我們的一點(diǎn)觀點(diǎn)和解答方法。

二、問題的解答

下面我們用三個(gè)方法來討論這個(gè)問題。

1.邏輯推理方法。我們按照邏輯推理方法進(jìn)行解答，思路如圖1所示。圖中其中括號(hào)內(nèi)為事件發(fā)生的概率。

由圖1，我們可以看出：這個(gè)事件一共會(huì)出現(xiàn)四種情況，雖然交換得到羊和交換得到車的情況數(shù)相同，都為兩種。但每種情況出現(xiàn)的概率并不相同，出現(xiàn)這種情況的主要原因是主持人在參選者選擇車這一情況下的選擇有兩種，而這兩種選擇的概率也就退化成了。

所以我們可以得出結(jié)論：如果進(jìn)行交換的參選者得到車的概率為+=，得到羊的概率為。

2.條件概率方法。設(shè)主持人打開門中為羊?yàn)槭录﨟，則P（H）=1。

第一次選中羊?yàn)槭录嗀，第一次選中車為事件A。

經(jīng)主持人選擇后，剩下的一扇門中是羊?yàn)槭录﨎，剩下一扇門為車為事件B。

所以，我們可以得到：

P（B）=P（A∪H）=P（A）×P（H）=×1=

P（B）=P（A∪H）=×1=

即剩下的一扇門中是羊的概率為，剩下一扇門為車的概率為。

3.計(jì)算機(jī)模擬方法。我們還可以利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，（以下程序是由codeblock中的c語言進(jìn)行編寫）。

程序代碼如下：

#include

#include

#include //用到了time函數(shù)

int main（）

{ int i，sheep=0，car=0，a[100000]，b[100000]，c[100000];

srand（（unsigned） time（NULL））;//用時(shí)間做種，每次產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)不一樣

for （i=0;i<100000;i++）//第一種情況，1、2代表羊，0代表車。

{

a[i] = rand（） % 3;//產(chǎn)生0-2的隨機(jī)數(shù)

if（a[i]==1||a[i]==2）

car++;

else ?sheep++;

}

for （i=0;i<100000;i++）//第二種情況，0，1代表羊，2代表車。

{

b[i] = rand（） % 3;//產(chǎn)生0-2的隨機(jī)數(shù)

if（b[i]==0||b[i]==1）

car++;

else ?sheep++;

}

for （i=0;i<100000;i++）//第三種情況，0，2代表羊，1代表車。

{

c[i] = rand（） % 3;//產(chǎn)生0-2的隨機(jī)數(shù)

if（c[i]==0||c[i]==2）

car++;

else ?sheep++;

}

printf（"總共進(jìn)行了30 0000次試驗(yàn)＼n"）;

printf（"得到的結(jié)果為：＼n交換過后，贏得的獎(jiǎng)品為車的次數(shù)為%d，贏得的獎(jiǎng)品為羊的次數(shù)為%d＼n"，car，sheep）;

printf（"因此，得到車的概率為%f，得到羊的概率為%f"，car/300000.0，sheep/300000.0）;

return 0;

}

此程序共進(jìn)行了30 0000次試驗(yàn)，為使實(shí)驗(yàn)更具有說服力，取三種排列各10 0000次，其中包括（羊，羊，車）、（車，羊，羊）、（羊，車，羊）。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：

從這次模擬實(shí)驗(yàn)中，可以得出結(jié)論，聯(lián)系以上兩種思路所得出的結(jié)果，我們不難看出當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)趨于無限大時(shí)，得到車這一事件出現(xiàn)的頻率將接近于這一事件發(fā)生的概率，同樣，得到羊這一事件出現(xiàn)的頻率也會(huì)接近于它發(fā)生的概率。

三、結(jié)語

與此同時(shí)，筆者也在反復(fù)思考，那為什么會(huì)有不同的答案呢？

問題就出在這位主持人到底知不知道這三扇門后究竟都是什么呢？如果他知道，那么他抽中羊的概率顯然就是1，如果他不知道，那么這個(gè)概率顯然就不是1了，這就好比三個(gè)人一同去抓三個(gè)鬮（同樣是一輛車，兩只羊），僅僅是因?yàn)榈诙€(gè)抓鬮的人先打開了鬮，結(jié)果是羊，第一個(gè)人就嚷著要跟第三個(gè)人換，這無疑是有些可笑的。而我們上面的思路則是按照主持人事先已經(jīng)知道了哪個(gè)門后是羊，哪個(gè)門后是車。

問題講到這兒貌似就已經(jīng)結(jié)束了，但是筆者還想說一句，我們只能說交換過后你獲得車的概率更大一些，而不是一定獲得車。所以我們講概率論這門科學(xué)它只能告訴我們當(dāng)一件事情發(fā)生很多次時(shí)，這件事情呈現(xiàn)一種什么樣的態(tài)勢(shì)，而不是告訴我們此次事情的發(fā)生會(huì)出現(xiàn)一種什么樣的結(jié)果。

參考文獻(xiàn)：

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Particular View on the Game of "Sheep and Car"

TIAN Chen-jing，HU Xiong，WANG Xin-xian，ZHENG He-peng，GE Chun-hua，ZHOU Hua-ren*

（PLA university of science and technology Institute of Science，Nanjing，Jiangsu 211101，China）

Abstract：Deeply thinking in the game of “sheep and car”，this article put forward special views，which ?is explained by three methods of logical reasoning，conditional probability and computer simulation.And there are further analysis on the cause of different answers.Then，we finally arrive at a conclusion.

Key words：sheep and car;logical reasoning;conditional probability;computer simulation