淺談教學中如何解決動點問題

王文昌

新民市周坨子學校，沈陽新民110308

淺談教學中如何解決動點問題

王文昌

新民市周坨子學校，沈陽新民110308

構造思想方法是初中數學極為重要的數學思想，更是一種體現創(chuàng)新思維的思想方法。利用構造思想方法解析動點問題的內在規(guī)律，特別是動點問題的構造方式，能夠有效培養(yǎng)和提高學生的綜合素質和數學能力。

初中數學；動點問題；解題策略

近年來，中考數學中的動點問題已成為考查學生的熱點題型，這類題型不僅涉及到大量的知識點，而且能將幾何知識和代數知識緊密結合，既考查學生的基木運算能力、又考查學生的思維能力和空間想象能力，較綜合地體現了中考數學對學生的素質要求。但是由于這類題型往往信息較多，綜合難度較大，學生得分情況很不理想。如何在平時教學中逐步滲透，培養(yǎng)學生認識、分析此類題型的能力，理解動與靜的辯證關系，達到提高思維品質的目的，成為我們一線教師的必須思考的問題。

那么我們如何解決這樣的問題呢？這里與大家一起分享一個關于動點問題的學習經驗。我們處理動點問題的原則是：將復雜問題簡單化，動態(tài)問題靜態(tài)化，“動中取靜”，處理好動與靜的關系，分析出運動過程中的不變量，再利用其他相關知識點解決問題。

一、數學解題相關理論

在《怎樣解題》一書中，波利亞用一個表對學生解題思路有詳細的闡述。他認為，學生在學習解題時，要按照以下四個階段進行：

（一）理解題目

在求解問題時，你必須理解題目，必須清楚地看到所要求的是什么。畫一張圖表，引入適當的數學符號，將題目條件的不同部分分開，并能分別寫出來。

（二）擬定方案

在求解問題時，你必須了解各個項目是如何相關的，找出已知條件與未知量之間的聯(lián)系，然后得到解題思路，擬定一個解題方案。

如果找不到己知條件和未知量之間直接的關系，你可能不得不去考慮輔助題目。先嘗試去解某道相關的題目，找到己知條件和未知量之間的關系，然后能夠解出這道題目的一部分，最終要得到一個解題方案。

（三）執(zhí)行方案

在執(zhí)行你的解題方案時，檢查你的每一個解題步驟，清楚地看清你的每一步是否正確，是否可以證明它的正確性。

（四）回顧

在檢查你的結果時，你能否檢查出這個結果是否正確，或者你能否檢查出這個論證是否合理，你是否能以不同的方式推導這個結果，你是否能一眼就看出這個結果，你能在別的題目中利用這個結果或這種方法嗎？［1］

二、實例探究

（一）單動點問題

例：如圖，∠C=90°，點A、B在∠C的兩邊上，CA= 30，CB=20，連結AB。點P從點B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿BC方向運動，到點C停止。當點P與B、C兩點不重合時，作PD⊥BC交AB于D，作DE⊥AC于E。F為射線CB上一點，且∠CEF=∠ABC。設點P的運動時間為x（秒）。

（1）用含有x的代數式表示CF的長。

（2）求點F與點B重合時x的值。

（3）當點F在線段CB上時，設四邊形DECP與四邊形DEFB重疊部分圖形的面積為y（平方單位）。求y與x之間的函數關系式。

（4）當x為某個值時，沿PD將以D、E、F、B為頂點的四邊形剪開，得到兩個圖形，用這兩個圖形拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是三角形。請直接寫出所有符合上述條件的x值。（3分）

解：（1）由題意知，△DBP∽△ABC，四邊形PDEC為矩形，成的三角形。如圖④，當點F與點P重合時，

（二）雙動點問題

例：如圖①，在□ABCD中，AB=13，BC=50，BC邊上的高為12。點P從點B出發(fā)，沿B-A-D-A運動，沿B-A運動時的速度為每秒13個單位長度，沿A-D-A運動時的速度為每秒8個單位長度。點Q從點B出發(fā)沿BC方向運動，速度為每秒5個單位長度。P、Q兩點同時出發(fā)，當點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動。設點P的運動時間為t（秒），連結PQ。

（1）當點P沿A-D-A運動時，求AP的長（用含t的代數式表示）。

（2）連結AQ，在點P沿B-A-D運動過程中，當點P與點B、點A不重合時，記△APQ的面積為S。求S與t之間的函數關系式。

（3）過點Q作QR∥AB，交AD于點R，連結BR，如圖②。在點P沿B-A-D運動過程中，當線段PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分時t的值。

（4）設點C、D關于直線PQ的對稱點分別為C'、D'，直接寫出C'D'∥BC時t的值。

解：（1）當點P沿A-D運動時，AP=8（t-1）= 8t-8

當點P沿D-A運動時，AP=50×2-8（t-1）= 108-8t

（2）當點P與點A重合時，BP=AB，t=1

當0＜t＜1時，如圖①

作過點Q作QE⊥AB于點E

∴S=48t-48

當0＜t≤1時，如圖③

∴BR不能把四邊形ABQP分成面積相等的兩部分。

提示：當C'D'在BC上方且C'D'∥BC時，如圖⑥

QC=OC

∴50-5t=58-8t+13，或50-5t=8t-58+13

當C'D'在BC下方且C'D'∥BC時，如圖⑦

OD=PD

解得t=

（三）線動問題

解：分析題意，可得：MP∥NQ，若以P、M、N、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，只需MP=NQ即可。由題知：M（m，m），P（m，0），N（m+1，m+1），Q（m+

故只需表達MP、NQ即可。表達分下列四種情況：

三、動點問題解題策略探索

綜合上面典型動點問題解題分析和解題方法探索，一般動點問題解題突破策略大致步驟如下：

（一）仔細讀題，整體理解

仔細讀題的目的是為了理解題意，并能夠對題目中已知條件做出準確的分析，與可能要用到的知識進行適當的聯(lián)系，為下一步解題做好思維上的準備.這一步是解題的關鍵。

（二）畫圖分析，理順動向

“動點問題”一般都與圖形有關，通過畫圖，動手操作，在分析思維與直覺思維的相互作用下，可以直觀具體地一目了然其動點的動向.然后再根據所畫圖表，首先分析其動點是作有限的直線運動，或是作有限的圓周運動，還是作無限飾孟動，如果是作有限的運動，還要考慮其動點的分界點，即動點運動的范圍；其次分析是一個動點，還是兩個動點，明確動點與不動點的關系，仔細揣摩，準確定奪。就是在平時的解題中，當局部的解題思維受阻后，仍需依靠直覺思維去重新探索、猜測和想象，直覺思維是數學發(fā)現的重要方法，而分析思維則是解決問題的基本方法。所以在探索“動點問題”突破方略時，要特別重視直覺思維在解決問題時的指引方向和調整思路時的重要作用。

（三）動中尋定，定中找動

“動點問題”的特點是其背景都是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關系。在動中尋求定點，設其“動”的變量字母，利用特殊角、特殊線段建立等量關系；再從靜中找出動點分界點，就會大大降低“動點問題”的解題難度。這就是說對于數形結合的“動點問題”，把動態(tài)問題轉化成靜態(tài)問題是解決“動點問題”的一種比較好的思維方法，可以事半功倍地找到正確解題思路。

（四）定思路，探解法

考生首先可從解剖已知條件人手，分析已知條件，通過聯(lián)想，順藤摸瓜，根據其動點的特征，找出與方程，或是函數、不等式、相似形、圓等相關知識的聯(lián)系，再聯(lián)想與其有關的定義、公理、定理，就可以有效地突破“動點問題”解題難點，探索出解題思路。其次可以從題目要求的問題產生聯(lián)想，由果索因：要求這個問題必須先要求出什么，又要求出什么；同時根據動點的特征聯(lián)想其等量關系，這樣，也容易從中獲得解題思路，探求出解題方法。

上述“動點問題”解題思路探索，意在授之以漁，還要廣大考生細心研磨，從中悟出“動點問題”解題技巧，輔以足夠演練，就可從容解答“動點問題”。［4］

［1］馬濤.中考數學動點問題探究［J］.寧夏：數學學習與研究，2011（12）.

［2］孫世軍.淺談初中數學動點問題的解題策略［J］.江西：教師教育，2015.

［3］陸麗麗.探求不變量巧解動點問題［J］.浙江：中學數學雜志2014（10）.

［4］唐修成.例談中考熱點“動點問題”解題突破策略［J］.數學之友，2012（3）.

［5］蔡國飛.例談初中數學中動點問題的解法［J］.數理化學習：初中版，2014（9）.

［6］陶萬里.以“靜”制“動”——初中數學動點問題舉例［J］.數學學習與研究：教研版，2011（4）.

（責任編輯：張華偉）

王文昌（1971-），男，中學一級教師，大學本科。研究方向：初中數學教育教學研究。