求數(shù)列通項公式的常用方法

陳雪濤

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，而數(shù)列的通項公式是數(shù)列的核心，它如同函數(shù)的解析式一樣，有解析式便可研究其性質(zhì)，而有了數(shù)列的通項公式，便可求出任意一項及前n項的和.本文介紹求數(shù)列通項公式的一些常用方法，供讀者參考.

1.觀察法

例1求下列各數(shù)列的一個通項公式：

（1） 0.9 ， 0.99， 0.999 ， 0.9999 ， …；

（2） -2，54，-109，1716，….

解（1）將數(shù)列中的項和1進(jìn)行比較就會發(fā)現(xiàn)：

a1=0.9=1-110，a2=0.99=1-1100，

a3=0.999=1-11000，…

因此an=1-110n.

（2）將數(shù)列的各項變?yōu)?21，54，-109，1716，…注意觀察各項的符號是正負(fù)交替出現(xiàn)的，分母是一組平方數(shù)，分子比分母大1，因此an=（-1）n×n2+1n2.

2.公式法

若已知數(shù)列是等差（或等比）數(shù)列，可運用等差（或等比）數(shù)列的通項公式求解.

例2已知數(shù)列{log2（an-1）} （n∈N*）為等差數(shù)列，且a1=3，a3=9.求數(shù)列{an}的通項公式.

解設(shè)等差數(shù)列{log2（an-1）}的公差為d，

由a1=3，a3=9得2d=log2（9-1）-log2（3-1），

即d=1.

所以log2（an-1）=1+（n-1）×1=n，

從而an=2n+1.

3.運用an與Sn的關(guān)系求通項公式

運用數(shù)列的通項an與數(shù)列的前n項和Sn的關(guān)系an=S1（n=1），

Sn-Sn-1（n≥2）求數(shù)列的通項公式時，要注意關(guān)系式中的條件.

例3已知數(shù)列{an}的前n項的和Sn滿足：Sn=3+2n，求數(shù)列{an}的通項公式.

解由Sn=3+2n，（1）

得Sn-1=3+2n-1 （n≥2）.（2）

（1）-（2）得Sn-Sn-1=2n-2n-1 （n≥2），

即an=2n-1 （n≥2）.

由已知得a1=S1=5，不滿足an=2n-1，

所以an=5，n=1，

2n-1，n≥2.

4.由數(shù)列的遞推公式求通項公式

由數(shù)列的遞推公式求通項公式常用的數(shù)學(xué)思想是化歸與轉(zhuǎn)化，把數(shù)列化成等差或等比數(shù)列.根據(jù)不同的遞推公式，采用相應(yīng)的變形手段，達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的.

（1）形如an-an-1=f（n）的形式，采用累加法.

例4已知數(shù)列{an}中，a1=2，an+1-an=3n （n∈N*），求數(shù)列{an}的通項公式.

解由an+1-an=3n （n∈N*）得

a2-a1=3×1，

a3-a2=3×2，

a4-a3=3×3，

…

an-an-1=3×（n-1），（n-1）個式子相加得：

an-a1=3×[1+2+…+（n-1）]=3×n×（n-1）2，

所以an=2+3n（n-1）2 （n≥2）.

又a1=2滿足上式，

所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2+3n（n-1）2.

（2）形如anan-1=f（n）的形式，采用累乘法.

例5已知數(shù)列{an}中，a1=12，（n-1）2an-1=（n2-1）右頂點，則常數(shù)a的值為.

解析由直線l的參數(shù)方程x=t，

y=t-a （t為參數(shù)）消去參數(shù)t得直線l的一般方程：y=x-a.由橢圓的參數(shù)方程可知其右頂點為（3，0）.因為直線l過橢圓的右頂點，所以3-a=0，即a=3.

點評求未知參數(shù)的基本方法是先將極坐標(biāo)方程或者參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，判斷其類型，根據(jù)類型找出它們特有的性質(zhì)，最后應(yīng)用代數(shù)或幾何關(guān)系列出相應(yīng)的等式求解.

題型7根據(jù)曲線的參數(shù)方程求兩曲線的交點的個數(shù)

例7（2012年北京）直線x=2+t，

y=-1-t （t為參數(shù)）與曲線x=3cosα，

y=3sinα （α為參數(shù)）的交點的個數(shù)為.

解析直線方程可化為x+y-1=0，曲線方程可化為x2+y2=9，圓心（0，0）到直線x+y-1=0的距離d=12=22<3，所以直線與圓有兩個交點.

點評事實上，此類題型還有求曲線與曲線的交點，就是求方程組的實數(shù)解問題.

本文對坐標(biāo)系與參數(shù)方程僅給出7種題型及其相應(yīng)的解答方法，為高中此部分的專題教學(xué)提供參考.要提高專題的質(zhì)量，我們還需研讀《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，領(lǐng)會教科書的編寫意圖，結(jié)合實際，才能制定出科學(xué)的教學(xué)方案.an （n≥2），求數(shù)列{an}的通項公式.

解由（n-1）2an-1=（n2-1）an （n≥2），

得anan-1=n-1n+1 （n≥2），

a2a1=13，

a3a2=24，

a4a3=35，

…

anan-1=n-1n+1 ，（n-1）個式子相乘得：

ana1=13×24×35×…×n-3n-1×n-2n-1×n-1n+1

=1×2n（n+1），

所以an=1n（n+1） （n≥2）.

又a1=12滿足上式，

所以數(shù)列{an}的通項公式為an=1n（n+1）.

（3）形如an=Aan-1+B （A、B是常數(shù)）的形式，采用構(gòu)造法，構(gòu)造以A為公比的等比數(shù)列.

例6已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，求數(shù)列{an}的通項公式.

解因為an+1=2an+1，所以an+1+1=2（an+1），

所以數(shù)列{an+1}是首項為a1+1=2，公比為2的等比數(shù)列.

所以an+1=2×2n-1，所以an=2n-1.

例7已知數(shù)列{an}中，a1=4，2an+1=an+1，求數(shù)列{an}的通項公式.

解待定系數(shù)法

因為2an+1=an+1，

所以an+1=12an+12（1）

設(shè)an+1+x=12（an+x），

所以an+1=12an-12x（3）

由（1）、（2）可得12=-12x，所以x=-1.

所以數(shù)列{an-1}是首項a1-1=3，公比為12的等比數(shù)列.

所以an-1=3×（12）n-1，所以an=3×（12）n-1+1.

（4）形如an=Aan-1+An （A為常數(shù)）的形式，采用構(gòu)造法，構(gòu)造以1為公差的等差數(shù)列.

例8已知數(shù)列{an}，a1=1，an=3an-1+3n （n≥2），求數(shù)列{an}的通項公式.

解由an=3an-1+3n （n≥2），兩邊同時除以3n得

an3n=an-13n-1+1，

所以an3n-an-13n-1=1 （n≥2）.

所以數(shù)列{an3n}是首項為a13=13，公差為1的等差數(shù)列.

所以an3n=13+（n-1）×1=n-23，

所以an=3n（n-23）=n·3n-23·3n=n·3n-2·3n-1=3n-1 （3n-2）.

故數(shù)列{an}的通項公式是an=3n-1（3n-2）.

（5）形如an=Aan-1+Bn （A、B為常數(shù)）的形式，采用構(gòu)造法，構(gòu)造以A為公比的等比數(shù)列.

例9已知數(shù)列{an}，a1=2，an+1=2an+3n，求數(shù)列{an}的通項公式.

解設(shè)數(shù)列{an}滿足an+1+λ·3n+1=2（an+λ·3n） （λ∈R），

整理得an+1=2an-λ3n.

又an+1-3n+1=2（an-3n），所以λ=-1，

所以an+1-3n+1=2（an-3n），所以an+1-3n+1an-3n=2，

故數(shù)列{an-3n}是首項為a1-3=-1，公比為2的等比數(shù)列.

所以其通項公式是an-3n=-1×2n-1，

故數(shù)列{an}的通項公式是an=-1×2n-1+3n=3n-2n-1.

（6）形如an=Can-1A+Ban-1 （A、B、C為常數(shù)）的形式，往往取倒數(shù)，構(gòu)造等差（或等比）數(shù)列.

例10已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an1+6an，求數(shù)列{an}的通項公式.

解由已知可知an≠0，故對an+1=an1+6an式子兩邊同時取倒數(shù)，

得到1an+1=1+6anan=1an+6，所以1an+1-1an=6，

故數(shù)列{1an}是首項為1a1=1，公差為6的等差數(shù)列.

所以1an=1+（n-1）·6，所以an=16n-5，

故數(shù)列{an}的通項公式是an=16n-5.

（7）關(guān)于an+1或an的二次三項式的形式，常常通過分解因式，達(dá)到求通項公式的目的.

例11已知首項為1的正項數(shù)列{an}滿足（n+1）a2n+1-na2n+an+1·an=0，求數(shù)列{an}的通項公式.

解由（n+1）a2n+1-na2n+an+1·an=0，

得[（n+1）an+1-nan]·（an+1+an）=0.

因為an>0，所以an+1+an>0，

故（n+1）an+1-nan=0，所以an+1an=nn+1.

轉(zhuǎn)化為anan-1=f（n）的形式，采用累乘法可求得數(shù)列{an}的通項公式為an=1n.