一類解多年高考?jí)狠S題的方法

王生林

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用試題，作為高考試題中的壓軸題一般設(shè)有兩問，特別是第二問常常給學(xué)生難以下手的感覺，因此不少教師在考前指導(dǎo)時(shí)往往要求部分學(xué)生學(xué)會(huì)放棄.筆者研究了近幾年全國課標(biāo)卷導(dǎo)數(shù)題的解法，發(fā)現(xiàn)試題都圍繞同樣的考點(diǎn)、同樣的命題思路來命制，當(dāng)然就可以用同樣的方法來解答.現(xiàn)舉例說明如下.

例1設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2.

（Ⅰ）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥0，求a的取值范圍.

解析（Ⅰ）略.

（Ⅱ）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0x≥0時(shí)，f（x）min≥0，而考察x≥0時(shí)f（x）的最小值，需要借助于f（x）的導(dǎo)函數(shù)f ′（x）的性質(zhì)，故從分析f ′（x）的正負(fù)入手，

因?yàn)閒 ′（x）=ex-1-2ax，令y1=ex，y2=2ax+1，

函數(shù)y2的圖象是過（0，1）點(diǎn)的直線系，

因?yàn)閥1=ex在（0，1）處的切線斜率是k=1，且在此點(diǎn)處的切線方程為y=x+1，故以切線為界線進(jìn)行比較.

（1）當(dāng)2a≤1，即a≤12時(shí)，在x>0時(shí)y1的圖象總在y2的圖象的上方（圖1）， f ′（x）>0恒成立，f（x）是增函數(shù)，故當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥f（0）=0是恒成立的，符合題意.

（2）當(dāng)2a>1，即a>12時(shí)，y1的圖象與y2的圖象（圖2）總會(huì)有交點(diǎn)，不妨設(shè)此交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0，當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，y1的圖象在y2的圖像的下方，f ′（x）<0，f（x）是減函數(shù)；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，y1的圖象在y2的圖象的上方，f ′（x）>0，f（x）是增函數(shù)，且f（0）=0.可見這種情況下，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0不是總能成立.

綜上所得，符合題意時(shí)a的取值范圍a≤12.

例2已知函數(shù)f（x）=alnxx+1+bx，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0.（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果當(dāng)x>0，且x≠1時(shí)，f（x）>lnxx-1+kx，求k的取值范圍.

解析（Ⅰ）（解略）a=1，b=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=lnxx+1+1x，f（x）>lnxx-1+kx f（x）-（lnxx-1+kx）>0恒成立時(shí)求k的取值范圍，與2010年題型完全相同.

f（x）-（lnxx-1+kx）=lnxx+1+1x-（lnxx-1+kx）

=lnxx+1-lnxx-1+1x-kx=2lnx1-x2+1-kx

=11-x2（2lnx+（k-1）（x2-1）x）.

因?yàn)楫?dāng)x>0，且x≠1時(shí)，11-x2的正負(fù)容易判斷，故在作差變形時(shí)提出11-x2，這樣一來差值的正負(fù)取決于2lnx+（k-1）（x2-1）x的正負(fù)，故構(gòu)造新函數(shù)，令

h（x）=2lnx+（k-1）（x2-1）x

=2lnx+（k-1）（x-1x） （x>0，x≠1），

h′（x）=2x+（k-1）（1+1x2）=（k-1）（x2+1）+2xx2

=k（x2+1）-（x-1）2x2.

令y1=k（x2+1），y2=（x-1）2.

（1）當(dāng)k≤0時(shí)，y1的圖象總在y2的圖象的下方（圖3），且x>0，x≠1時(shí)，h′（x）<0，h（x）是減函數(shù)，而h（1）=0.當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）>h（1）=0，11-x2>0，可得11-x2h（x）>0成立；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）0也成立.綜上k≤0符合題意.

（2）當(dāng)00，h（x）是增函數(shù)，此時(shí)h（x）>h（1）=0，11-x2<0，可得11-x2h（x）<0，與題意矛盾.

（3）設(shè)k≥1，當(dāng)x>0，且x≠1時(shí)，y1的圖象總在y2的圖象的上方（圖5），此時(shí)h′（x）>0，h（x）是增函數(shù)，而h（1）=0，且x∈（0，1）時(shí)，h（x）0，可得11-x2h（x）<0，與題意矛盾.

綜合得，k的取值范圍為x∈（-∞，0].