一道2015年福建高考選擇題的多種解法

湯向明

高三年總復(fù)習(xí)開始，考試就變得更頻繁，試卷講評(píng)也就隨之更多，所以試卷講評(píng)課也就成為高三年復(fù)習(xí)階段的一種常見課型.如何對(duì)一道典型的試題，從多角度進(jìn)行剖析、講解，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維是數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課期望達(dá)到的教學(xué)目標(biāo)之一.本文以一道2015年福建高考選擇題為例，針對(duì)試題的多種解法進(jìn)行講評(píng)，旨在幫助學(xué)生拓展思維，提高分析問題和解決問題的能力.

一、試題呈現(xiàn)

若定義在[WZ]R[WBX]上的函數(shù)f（x）滿足f（0）=-1，其導(dǎo)函數(shù)f ′（x）滿足f ′（x）>k>1，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是

A.f（[SX（]1k[SX）]）<[SX（]1k[SX）][WB]B.f（[SX（]1k[SX）]）<[SX（]1k-1[SX）]

C.f（[SX（]1k-1[SX）]）<[SX（]1k-1[SX）][DW]D.f（[SX（]1k-1[SX）]）>[SX（]kk-1[SX）]

二、試題分析

1.試題主要考查抽象函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性、不等式、簡(jiǎn)易邏輯等知識(shí)，體現(xiàn)了壓軸題的特點(diǎn)即在知識(shí)的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題，使其具有一定的綜合性，從而有利于甄別不同思維層次考生，有利于高校選拔人才；

2.試題表述簡(jiǎn)潔，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.考生閱讀后，可以有更多的時(shí)間思考如何入題，與全國(guó)課標(biāo)卷試題的特點(diǎn)相吻合；

3.試題的思維含量高，數(shù)學(xué)味道濃厚，體現(xiàn)了“多考點(diǎn)想，少考點(diǎn)算”的命題理念；

4.試題蘊(yùn)涵豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如一般與特殊，數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、換元法等數(shù)學(xué)思想方法；

5.試題的入口較寬，給考生提供廣闊的思維空間，體現(xiàn)試題的公平性原則.

三、試題講解

一道試題常常觸及的是某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的部分內(nèi)容或不同知識(shí)的同一個(gè)方面，使得學(xué)生的解題思路常不盡相同.通過一題多解進(jìn)行講解，可把相互關(guān)聯(lián)的知識(shí)進(jìn)行有機(jī)整合，以點(diǎn)帶面，形成一張經(jīng)緯交織、融會(huì)貫通的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，有利于學(xué)生全面、完整地理解知識(shí)間的聯(lián)系，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

[K]1.直接求解

利用題設(shè)的已知條件，通過演繹推理，證明某個(gè)結(jié)論是錯(cuò)的，從而選出正確選項(xiàng).設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-kx（k>1），則g ′（x）=f ′（x）-k>0，所以函數(shù)g（x）在[WZ]R[WBX]上單調(diào)遞增.令x=[SX（]1k-1[SX）]>0，則g（[SX（]1k-1[SX）]）>g（0），所以f（[SX（]1k-1[SX）]）-k·[SX（]1k-1[SX）]>-1，整理得f（[SX（]1k-1[SX）]）>[SX（]1k-1[SX）]，故選C.

師評(píng)：此種解法要求考生思維敏捷，迅速?gòu)乃膫€(gè)選項(xiàng)中找準(zhǔn)證明對(duì)象，然后再構(gòu)造函數(shù)證明，難度比較大.但這種解法也不是憑空想象、隨意捏造，它主要的是考查考生，如何根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，構(gòu)造出新函數(shù)進(jìn)行求解證明.

[K]2.構(gòu)造具體函數(shù)及取特殊值

通過題設(shè)可以發(fā)現(xiàn)問題涉及的是抽象函數(shù)，而求解此類選擇、填空題，經(jīng)?？梢曰橄鬄榫唧w，使問題變得更具體、更簡(jiǎn)單.題目的設(shè)問是要選出對(duì)“任意的k>1和任意的函數(shù)f（x）”，四個(gè)不等式中一定是錯(cuò)誤的，由此可推斷對(duì)其它3個(gè)選項(xiàng)，只要能找到存在“k>1和函數(shù)f（x）”使其成立即可.由于四個(gè)選項(xiàng)中都含有k，所以把k取特殊值后，不影響正確答案的選擇.所以可構(gòu)造特殊函數(shù)f（x）及k的值如下：

若f（x）=2.1x-1，k=2，則A成立；若f（x）=10x-1，k=2，則B、D成立；

而兩個(gè)函數(shù)都是使得C不成立，故選C.

師評(píng)：此法要求考生在取定k=2后，發(fā)現(xiàn)要構(gòu)造的一次函數(shù)f（x）的斜率可以取大于2的數(shù)，且斜率的取值越大，f（[SX（]1k[SX）]）=f（[SX（]12[SX）]）、f（[SX（]1k-1[SX）]）=f（1）的值會(huì)隨著所構(gòu)造的一次函數(shù)的斜率的變化而變化.所以考慮一個(gè)函數(shù)的斜率更接近于2，另一個(gè)函數(shù)的斜率遠(yuǎn)大于2.但此種解法存在“只知其然，不知其所以然”的缺點(diǎn).

[K]3.構(gòu)造具體函數(shù)及運(yùn)用不等式

解法2利用構(gòu)造的特殊一次函數(shù)，只能讓我們選出正確答案，但它無法解釋問題的本質(zhì)，下面我們可以從簡(jiǎn)易邏輯、不等式等知識(shí)進(jìn)行分析說明：

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4.以形助數(shù)

希爾伯特在其名著《幾何直觀》一書中指出，圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題，可以幫助我們尋求解決問題的思路，可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果.在解法3的基礎(chǔ)上，我們知道C選項(xiàng)肯定是錯(cuò)的，那能否用圖形來幫助我們理解和解釋得到的結(jié)果呢？

若f（x）=mx-1 （m>k>1），設(shè)[SX（]1k-1[SX）]∈D，則不等式f（[SX（]1k-1[SX）]）<[SX（]1k-1[SX）]等價(jià)于函數(shù)y=f（x）在x∈D的圖象落在函數(shù)y=x圖象的下方，而通過作圖后分析，可直觀地發(fā)現(xiàn)它是不成立的.具體如下：

設(shè)點(diǎn)B是直線f（x）=mx-1 （m>k>1）與直線[JY]

y=x的交點(diǎn)，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x=[SX（]1m-1[SX）]，因?yàn)閙>k>1，所以m-1>k-1>0，所以[SX（]1m-1[SX）]<[SX（]1k-1[SX）]，由圖象可知：在x∈（[SX（]1m-1[SX）]，+∞）時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象恒在直線y=x的上方，所以f（[SX（]1k-1[SX）]）>[SX（]1k-1[SX）]恒成立.

[J2.1mm]師評(píng)：通過函數(shù)圖象分析，讓我們更加清晰地看出試題是如何命制，也讓我們將相對(duì)抽象的、復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系直觀、清晰地展現(xiàn)出來，達(dá)到一幅圖勝過一千個(gè)文字說明.

【本文是福建省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度立項(xiàng)課題《高中數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課教學(xué)策略實(shí)證研究》（課題立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào)：FJJK15-464）】