透析錯(cuò)題教學(xué)反思的有效性

高滿(mǎn)意

[摘 要] 錯(cuò)題教學(xué)研究是很有價(jià)值的，從很多教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，教師對(duì)于錯(cuò)題教學(xué)往往根本沒(méi)思考如何研究，僅僅是對(duì)學(xué)生為什么解不好這樣的問(wèn)題做出了解答，這樣的錯(cuò)題教學(xué)失去了反思學(xué)生為何易錯(cuò)的思考，因此教師需要從學(xué)生的視角去思考才能得到教學(xué)的有效性.

[關(guān)鍵詞] 錯(cuò)題教學(xué)；數(shù)學(xué)；反思；學(xué)生；概念；思想方法；算理；有效性

錯(cuò)題教學(xué)是很有研究?jī)r(jià)值的，隨著知識(shí)難度的上升和知識(shí)廣度的擴(kuò)展，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題犯錯(cuò)的可能性就愈來(lái)愈多.筆者通過(guò)教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，對(duì)于學(xué)生解題犯錯(cuò)的主要原因是多種多樣的，主要集中在：第一，對(duì)于數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)的理解；第二，學(xué)生在運(yùn)算能力方面的不足；第三，學(xué)生解決某些問(wèn)題時(shí)思想方法使用不足.

近期筆者聆聽(tīng)了一堂高三試卷講評(píng)課，教師主要是對(duì)某次大型聯(lián)考進(jìn)行了試卷分析，并從錯(cuò)題講解、分析的角度進(jìn)行了試卷講評(píng). 從該教師復(fù)習(xí)課的內(nèi)容來(lái)說(shuō)，筆者覺(jué)得展示了相當(dāng)不錯(cuò)的兩個(gè)方面：首先是該教師致力于問(wèn)題優(yōu)秀解法的分析、展示、引導(dǎo)，努力向?qū)W生滲透解決問(wèn)題的最優(yōu)思路；其次是該教師對(duì)一些問(wèn)題還給出了一題多解，讓學(xué)生從不同角度思考了問(wèn)題解決. 筆者在觀摩后陷入了思考：錯(cuò)題教學(xué)僅僅分析好的解法是不是還顯得不足？我們是否可以更深入地從學(xué)生為何犯錯(cuò)的角度去思考？哪種方式方法更適合學(xué)生？筆者以為，不能僅僅從一題多解的角度分析試題就結(jié)束了，而要從優(yōu)秀試題中去尋找與高考相關(guān)的信息，并進(jìn)行探討、分析和深究，只有不斷進(jìn)行不同角度的錯(cuò)題反思教學(xué)，才能激發(fā)學(xué)生深思考，使得問(wèn)題的分析有效.

[?] 概念型錯(cuò)誤的分析

高中數(shù)學(xué)概念相對(duì)于初中來(lái)說(shuō)有了長(zhǎng)足的抽象發(fā)展，諸如映射概念（函數(shù)概念），平面向量基本定理，空間幾何的公理化體系，解析幾何中橢圓、雙曲線等幾何定義，等等，概念型錯(cuò)誤都是學(xué)生對(duì)概念的掌握不夠扎實(shí)而形成的. 比如本次試卷講評(píng)課中，教師就下面的概念問(wèn)題進(jìn)行了分析：

問(wèn)題1：對(duì)任意x∈R都能滿(mǎn)足下列等式的函數(shù)f（x）是______________.

（1）f（x+1）=x2+x；

（2）f（x-1）=x2-x；

（3）f（x2-2x）=x+1；

（4）f（x2+4x）=x+2.

分析：本題該教師的處理方式是，通過(guò)換元手段來(lái)求解函數(shù)f（x）的解析式，比如對(duì)于（1）式，該教師將x+1=t（t≥0），進(jìn)而求解出函數(shù)f（x）的解析式. 在求解的過(guò)程中，由于絕對(duì)值的存在，該教師還在這里進(jìn)行了分類(lèi)討論的分析，時(shí)間耗時(shí)較多而且學(xué)生對(duì)于這樣的解法顯得比較沉悶. 筆者細(xì)細(xì)想來(lái)，覺(jué)得該教師對(duì)于學(xué)生為什么犯錯(cuò)，本題所想突出的考查意義都沒(méi)有進(jìn)一步考慮清晰，這樣的錯(cuò)題講評(píng)教學(xué)往往是大打折扣的. 筆者以為，本題是加深考查函數(shù)概念的體現(xiàn)，這說(shuō)明我們自身對(duì)函數(shù)概念的理解并未到位，這足以讓錯(cuò)題的分析失去效率. 因此，筆者認(rèn)為應(yīng)該在理解概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析才是關(guān)鍵.

糾錯(cuò)分析：筆者認(rèn)為，首先應(yīng)該從函數(shù)的概念入手，層層深入地設(shè)計(jì)錯(cuò)題分析，并循序漸進(jìn)地讓學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)題反思的頓悟：①引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)的概念：何為函數(shù)？即集合A中的任何一個(gè)元素都在集合B中有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，這樣的數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系稱(chēng)之為函數(shù)關(guān)系. 用通俗易懂的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，就是“一對(duì)一”和“多對(duì)一”. 這樣的函數(shù)概念回顧，是學(xué)生顯而易見(jiàn)且可以接受的. ②對(duì)于本題錯(cuò)誤的主要原因在于學(xué)生未能深刻認(rèn)知函數(shù)的概念，本題中問(wèn)是否存在這樣的“對(duì)任意x∈R都能滿(mǎn)足下列等式的函數(shù)f（x）”，即指是否存在這樣的“一對(duì)一”或“多對(duì)一”的對(duì)應(yīng)關(guān)系. ③因此，將問(wèn)題所追溯的本意理解清楚后，我們不再需要像前面去求函數(shù)f（x）的解析式是否存在，只需要研究這樣的“一對(duì)一”或“多對(duì)一”的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否存在即可. 以（1）為例，不妨設(shè)x=1與x= -3，則f（2）=2或f（2）=6，違背了函數(shù)定義的要求.同理可知，（2），（3）也都不正確，所以答案為（4）.

提示：正是因?yàn)槲覀儗?duì)于數(shù)學(xué)概念的理解停留在表面，所以很多問(wèn)題都沒(méi)有深入思考，導(dǎo)致簡(jiǎn)單的問(wèn)題復(fù)雜化了. 這個(gè)例題考查的是最基本的函數(shù)概念，這樣的錯(cuò)題要從概念入手、加深理解和思考，才能激發(fā)學(xué)生對(duì)錯(cuò)題更深的理解，多思考概念的本質(zhì)才是提高解題效率的關(guān)鍵所在.

[?] 運(yùn)算錯(cuò)誤的分析

運(yùn)算錯(cuò)誤是學(xué)生比較常見(jiàn)的錯(cuò)誤類(lèi)型之一，這里涉及的運(yùn)算不僅僅是簡(jiǎn)單的計(jì)算，更重要的是算理. 高中數(shù)學(xué)的很多問(wèn)題，看似都會(huì)做，但是在算理上選擇更方便的道路，才是問(wèn)題解決的關(guān)鍵.我們常常聽(tīng)到學(xué)生這樣反思試卷上的運(yùn)算錯(cuò)誤：這里我看錯(cuò)了，那里我算錯(cuò)了. 其實(shí)，這些看錯(cuò)、算錯(cuò)的背后都是有原因的，主要還是因?yàn)樗憷頉](méi)有掌握好. 舉一個(gè)案例：

分析：這是一道典型的離心率求解問(wèn)題.筆者聆聽(tīng)了教師對(duì)本題的分析，從試題講解中教師主要點(diǎn)出了如何使用較好的方式處理，并還非常特別地研究了平面幾何中一些特殊性質(zhì)的運(yùn)用來(lái)解決本題.學(xué)生在課堂中發(fā)出驚嘆聲！聽(tīng)完本題的講評(píng)之后，筆者連連搖頭，本題對(duì)錯(cuò)誤的分析沒(méi)有點(diǎn)到位置、一針見(jiàn)血！因?yàn)閷W(xué)生解不來(lái)主要是運(yùn)算算理出了問(wèn)題，教師沒(méi)有點(diǎn)評(píng)到位；平面幾何性質(zhì)的使用過(guò)于追求技巧，沒(méi)有推廣的價(jià)值，不提也罷.

如何使用才是問(wèn)題最關(guān)鍵的算理所在. ②恰當(dāng)?shù)膸缀畏绞娇梢院?jiǎn)化代數(shù)運(yùn)算，這是指導(dǎo)平面解析幾何問(wèn)題解決的重要指導(dǎo)思想. ③對(duì)于類(lèi)似問(wèn)題，是否應(yīng)該加強(qiáng)更多的變化以供學(xué)生后續(xù)鞏固、探索、提煉？跟著這三個(gè)想法，筆者認(rèn)為首先教師要向?qū)W生講明條件

分析：這樣的問(wèn)題首先要理解問(wèn)題的含義，顯然問(wèn)題的含義是指對(duì)任意函數(shù)f（x）上的點(diǎn)，都存在另外一個(gè)點(diǎn)，使得“x1x2+y1y2=0成立”. 如何分析這一條件呢？代數(shù)化的運(yùn)算不可能做到一一驗(yàn)證，轉(zhuǎn)念一想x1x2+y1y2=0恰是·=0的坐標(biāo)表示，因此利用數(shù)形結(jié)合思想，只要使任意過(guò)原點(diǎn)的直線l1與函數(shù)f（x）有交點(diǎn)，那么此時(shí)過(guò)原點(diǎn)且與l1垂直的直線l2和函數(shù)f（x）也有交點(diǎn).分析可知②④正確.

提升：從數(shù)形結(jié)合思想的角度，巧妙地將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形表述，若一味地思考代數(shù)化，本題將很難下手解決. 對(duì)于這樣的錯(cuò)題，筆者建議教學(xué)從思想角度的方向進(jìn)行引導(dǎo)，提高學(xué)生利用更高觀點(diǎn)解決問(wèn)題的悟性.

錯(cuò)題教學(xué)的反思是教學(xué)進(jìn)步的源泉，筆者以為，要從講題方法性上繼續(xù)研究和思考，多思考就能發(fā)現(xiàn)更多的解決問(wèn)題的方法，將錯(cuò)題為什么錯(cuò)的原因深究出來(lái)，將犯錯(cuò)背后的原因放大分析，有助于問(wèn)題講評(píng)的有效性和高效性.