抽象數(shù)學(xué)中的形象教學(xué)思路

張法寬

[摘 要] 抽象的高中數(shù)學(xué)內(nèi)容會形成高比例的學(xué)困生，在抽象數(shù)學(xué)中堅持形象教學(xué)的思路，可以有效解決學(xué)困生問題，可以從面上提升學(xué)生有效構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的有效性. 形象化教學(xué)思路的基本過程，就是提供形象化的事例，然后讓學(xué)生進行數(shù)學(xué)抽象，并在變式訓(xùn)練或問題解決中加以檢驗與評估.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；抽象數(shù)學(xué)；形象教學(xué)思路；數(shù)學(xué)抽象

高中數(shù)學(xué)以抽象著稱，尤其是我國的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，其難度世界聞名. 筆者以為，這里所說的“難”，就是指其抽象性. 數(shù)學(xué)本身就是抽象的，作為生活對象的高度抽象的產(chǎn)物，高中數(shù)學(xué)所研究的數(shù)與形，基本上都是純粹的符號或者圖形，其與生活的聯(lián)系是很遠的，尤其是在應(yīng)試的教學(xué)環(huán)境中，學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上思維所加工的對象，幾乎全部是抽象的對象. 這使得高中數(shù)學(xué)難學(xué)成為一個公認的說法. 但如果換一個角度，即從教師教學(xué)的角度來看，尤其是從構(gòu)建有效教學(xué)的要求來看，高中數(shù)學(xué)教學(xué)似乎又回避不了形象的教學(xué)思路. 這樣的判斷實際上是將落腳點落在學(xué)生的身上，即從學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的角度來看，一般都需要經(jīng)歷一個從形象思維到抽象思維的過程，即使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果是抽象的，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程卻不能只走抽象之路. 建立這樣的認識，顯然有助于化解學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難度.

2016年第一期的《教育研究與評論》雜志刊登了秦霞老師在2015年江蘇省高中數(shù)學(xué)青年老師優(yōu)課觀摩與評選活動中所上的《導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——單調(diào)性》一課基礎(chǔ)上形成的《生活中抽象，合作中探究，數(shù)學(xué)中回歸》一文（以下簡稱“秦文”），以及專家的評析，筆者讀后深受啟發(fā)，感覺其與筆者所強調(diào)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)要走形象教學(xué)的思路頗有一致的地方. 也是在該文的啟發(fā)之下，筆者本文得以順利形成.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的形象化思路簡析

形象化的教學(xué)思路，顧名思義，就是將抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程形象化. 要注意的是，這里強調(diào)的是過程而不是結(jié)果，因為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終結(jié)果必然是抽象的，否則就脫離了數(shù)學(xué)的基本特征，這不利于高中階段的學(xué)生建立對數(shù)學(xué)的準(zhǔn)確認識. 但是學(xué)習(xí)過程卻不必是抽象的，無數(shù)事實證明，純粹的抽象教學(xué)思路（即純粹的數(shù)學(xué)推理與計算）是不利于學(xué)生有效地建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的，因此對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程而言，必要的形象是允許的.

形象化教學(xué)思路是對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)思路的一種回歸，也是數(shù)學(xué)發(fā)展史的真實寫照. 真正的數(shù)學(xué)知識的生成過程并不純粹是抽象的結(jié)果，很多數(shù)學(xué)家正是在對形象事物的思考中獲得數(shù)學(xué)認知的，從畢達哥拉斯研究朋友家的地磚得出勾股定理開始，從牛頓、萊布尼茲等基于實際需要而發(fā)明“流數(shù)術(shù)”（微積分）等，都離不開對具體的事物的研究，然后才是一個數(shù)學(xué)化的過程. 相比較而言，今天的高中數(shù)學(xué)似乎從頭到尾都是抽象的數(shù)學(xué)符號，學(xué)生一進入數(shù)學(xué)課堂，大腦里就只有抽象的數(shù)學(xué)符號與圖形，這顯然難以讓學(xué)生進行有效的數(shù)學(xué)加工，畢竟高中學(xué)生雖然抽象思維能力有所發(fā)展，但形象思維依然是他們的思維基礎(chǔ). 更何況有教育心理學(xué)的研究結(jié)果表明，當(dāng)學(xué)生在抽象思維中遇到無法解決的困難時，他們還是會試圖通過形象思維去解決問題. 如果學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上沒有發(fā)揮形象思維的機會，那就意味著失去了自我化解困難的機會，這對于學(xué)困生的形成而言，簡直就是一個天大誘因.

秦霞老師在上“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——單調(diào)性”這一課時，就很好地借助了形象化的教學(xué)思路. 正如其在教學(xué)思考中所指出的那樣，“借助幾何直觀，通過實例歸納函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，經(jīng)歷由形到數(shù)的過程”，這樣的論述背后的形象化教學(xué)思路是明晰的. 在這里，幾何直觀不是簡單地作為一個普通的概念運用，而是精心設(shè)計了“形”之后再引導(dǎo)學(xué)生去認識“數(shù)”，這是真正的從形象到抽象的教學(xué)過程. 也如同鐘志華老師在評析中首先引用的數(shù)學(xué)家波利亞的話——“抽象的數(shù)學(xué)道理雖然重要，便要用一切辦法使它們看得見、摸得著”那樣，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（單調(diào)性）這一內(nèi)容在實踐的過程中，有著真正的看得見、摸得著的形象化過程.

由此可見，在成功的高中數(shù)學(xué)課堂上，一般都離不開形象化教學(xué)思路的影子. 形象化教學(xué)思路應(yīng)當(dāng)成為高中數(shù)學(xué)教師在課堂上，尤其是在遇到教學(xué)難點時的自然選擇.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)形象化思路的實現(xiàn)途徑

那么，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何實現(xiàn)教學(xué)的形象化呢？筆者一方面總結(jié)自身的教學(xué)實踐，另一方面總結(jié)他人的研究成果. 經(jīng)過梳理之后，發(fā)現(xiàn)有這樣的幾個切實有效的實現(xiàn)途徑.

1. 途徑一：生活實例的引入

高中數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系似乎沒有那么密切，因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中似乎難以尋找到可以直接使用的生活情境. 很多人都有這樣的認識，筆者以為形成這一認識的背后反映了數(shù)學(xué)教師在觀察教學(xué)內(nèi)容的時候，缺乏一種生活視角. 在秦文中，其在構(gòu)建某一曲線上的切線時，巧妙地基于生活實例構(gòu)建了一個數(shù)學(xué)思維的加工情境：一輛夜間行駛在弧形山坡上的汽車開著大燈. 于是，學(xué)生自然就認識到：弧形山坡相當(dāng)于一段曲線，而大燈則相當(dāng)于汽車所在的那一點的切線. 這樣的情境在學(xué)生的生活中并不罕見，而基于這一情境去構(gòu)建切線與曲線的關(guān)系，就顯得十分自然. 顯然，這樣的生活實例在此就起到了迅速引導(dǎo)學(xué)生入境的作用，是形象化教學(xué)思路的重要體現(xiàn).

2. 途徑二：想象圖景的構(gòu)建

生活實例更多地帶有生活的意味，因此生活實例是形象化教學(xué)思路的重要呈現(xiàn)方式，但與此同時要認識到的是，生活實例實際上是需要適當(dāng)加工的. 在上面的實例中，實際上教師在呈現(xiàn)圖像的時候，已經(jīng)進行了初步的加工，只是這樣的加工不影響生活實例的本質(zhì)特征. 還有一類加工，則有“來源于生活而高于生活”的味道，但其也可以作為形象化教學(xué)思路的途徑. 譬如在秦霞老師進一步進行探究的時候，就把剛才的汽車行駛在山坡上的生活實例，借助于幾何畫板抽象成了一根切線在一個圓弧上的圖形. 這個圖像此時呈現(xiàn)給學(xué)生可謂是恰到好處，一方面是對剛才生活實例的數(shù)學(xué)化處理，另一方面又不是純粹的數(shù)學(xué)意義上的圖像. 因此，這樣的想象圖景的構(gòu)建，在生活與數(shù)學(xué)之間搭建了一個很好的認知橋梁，使得學(xué)生的思維能夠由生活向數(shù)學(xué)有效轉(zhuǎn)化.

3. 途徑三：抽象知識的圖表化處理

形象化教學(xué)思路的最為常用的途徑，是將抽象的數(shù)學(xué)知識及其之間的關(guān)系，進行形象化的處理. 筆者在秦文中看到其在基于汽車行駛在弧形山坡上的例子梳理函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性的時候，利用一張簡圖描述了從山坡—曲線—函數(shù)，從燈光向上—切線斜率k>0—f ′（x）>0的關(guān)系，這樣的圖像看起來簡潔，但又很好地梳理出了函數(shù)y=f（x）及其導(dǎo)數(shù)f ′（x）的單調(diào)關(guān)系，從而很好地闡釋了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用.

當(dāng)然，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，形象化教學(xué)思路的實現(xiàn)途徑遠不止這三個，但歸結(jié)起來需要強調(diào)的是：形象化的思路一般都是從抽象的數(shù)學(xué)知識去進行逆向思維的，思考數(shù)學(xué)知識在實際生活中的存在場合或者應(yīng)用場合，往往是形象化教學(xué)思路的基礎(chǔ). 當(dāng)然，學(xué)習(xí)一些數(shù)學(xué)史的知識，以從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中尋找到一些有益素材，也是形象化教學(xué)思路形成的基本途徑.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)形象化思路的判斷標(biāo)準(zhǔn)

需要強調(diào)的是，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中形象化教學(xué)思路是不是真的起到了形象的作用，這個判斷標(biāo)準(zhǔn)不在于教師的主觀感受，而應(yīng)當(dāng)以學(xué)生是不是能夠有效地利用形象思維進行數(shù)學(xué)知識構(gòu)建為基礎(chǔ)，這也是“以生為本”的教學(xué)理念在這一教學(xué)細節(jié)中的真正落實.

如同秦文中所說的那樣，“導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性這兩個概念都是非常抽象的，學(xué)生很難直接感知. 利用汽車上下坡時燈光的指向的聯(lián)系，可以讓學(xué)生進行有效的抽象……”. 由于學(xué)生進行了有效的抽象，即將道路抽象成曲線，將燈光抽象成切線，因此這樣的形象化教學(xué)思路就是有效的. 反之，如果在實際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生難以將教師的形象化事例進行數(shù)學(xué)抽象，那這樣的形象化教學(xué)的初衷就沒有得到實現(xiàn)，需要教師進行更多的細節(jié)性處理.

還需要強調(diào)的是，教師對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的判斷有兩個時段：一是課堂上的即時判斷，即看自己的形象化教學(xué)設(shè)計有沒有達到預(yù)期的目的，學(xué)生基于形象事例的數(shù)學(xué)抽象過程是否順利. 這里特別要強調(diào)的是，關(guān)注不同層次的學(xué)生，切忌以少數(shù)優(yōu)秀學(xué)生的思維過程代替對整個班級學(xué)生的判斷，否則很容易產(chǎn)生學(xué)困生而教師并不知道；另一個就是根據(jù)學(xué)生在變式訓(xùn)練或者問題解決過程中的結(jié)果進行判斷，變式之后的形象化場景學(xué)生能否有效地進行數(shù)學(xué)抽象，問題解決過程中學(xué)生能否用到新知學(xué)習(xí)時的數(shù)學(xué)抽象思路，都是判斷形象化教學(xué)思路有效程度的重要依據(jù).

綜上所述，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了化解知識本身的抽象性，需要進行形象化教學(xué). 只有這樣，才能降低學(xué)習(xí)難度，從而提升學(xué)習(xí)效度.