充分發(fā)揮技術(shù)作用 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

黃炳鋒

（福州第三中學(xué)，福建福州350001）

充分發(fā)揮技術(shù)作用 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

黃炳鋒

（福州第三中學(xué)，福建福州350001）

融合技術(shù)與發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是本輪課程改革的亮點(diǎn).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)從本質(zhì)看與技術(shù)密切相關(guān)，為了全面落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，深入挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值，形成并發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，應(yīng)充分發(fā)揮技術(shù)的六大作用.本文結(jié)合實(shí)際教學(xué)的案例進(jìn)行闡述和論證。

數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)；技術(shù)

新一輪的課程改革即將開始，最新修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也處于調(diào)研征詢意見狀態(tài)?？梢钥闯?，本輪課程改革依據(jù)國家“立德樹人”的要求進(jìn)行課程設(shè)計(jì)，深入挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值，提出的數(shù)學(xué)課程的核心目標(biāo)“形成和發(fā)展以數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析為要素的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”將成為亮點(diǎn)。“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品格和關(guān)鍵能力，是數(shù)學(xué)知識、技能、思想、經(jīng)驗(yàn)及情感、態(tài)度、價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)”，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、直觀想象本質(zhì)上就是技術(shù)素養(yǎng)；數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理也與技術(shù)密切相關(guān)，因此教師要重視技術(shù)對于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成的作用，研究如何充分發(fā)揮技術(shù)的作用來發(fā)展數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。

一、用技術(shù)建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程。數(shù)學(xué)抽象既是數(shù)學(xué)思維的特征，也與數(shù)學(xué)的抽象特性密切相關(guān)，表現(xiàn)在數(shù)學(xué)概念和規(guī)則、數(shù)學(xué)命題和模型、數(shù)學(xué)方法和思想、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和體系等方面形成過程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的困難在于數(shù)學(xué)研究對象的屬性概括，因此需要技術(shù)為建構(gòu)數(shù)學(xué)概念而提供大量的例證。

例如，關(guān)于指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以往我們常常通過概括函數(shù)y=2x與y=（）x的性質(zhì)獲得一般結(jié)論，這對于學(xué)生來說既困難也不現(xiàn)實(shí)，尤其對于函數(shù)f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的單調(diào)性的判斷，學(xué)生很難自發(fā)形成底數(shù)a的分類并進(jìn)行正確劃分，原因之一就是缺乏大量的例證。如果在教學(xué)中引進(jìn)技術(shù)，選取底數(shù)a（a＞0，且a≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，學(xué)生即可觀察發(fā)現(xiàn)這些圖象的共同特征，從而抽象出底數(shù)a對函數(shù)單調(diào)性的影響，得到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，如圖所示。

直觀想象是指借助空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用幾何圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題。直觀想象是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論和解決數(shù)學(xué)問題的重要素養(yǎng)，表現(xiàn)在能利用圖形探索和解決數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)的困難在于建立數(shù)與形的聯(lián)系，尤其是由數(shù)到形的轉(zhuǎn)變，而將數(shù)與形緊密結(jié)合正是技術(shù)的優(yōu)勢。因此，可以發(fā)揮技術(shù)的可視化與多元聯(lián)系的特點(diǎn)，在數(shù)表與圖形、解析式與圖象的便捷轉(zhuǎn)化中，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)。

例如，設(shè)a∈R，若x＞0時(shí)均有［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0，則a=______.

本例以代數(shù)形式呈現(xiàn)了一個(gè)不等式恒成立的問題，正確解題的方法是將原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為以下兩種情況

然后構(gòu)造函數(shù)f（x）=（a-1）x-1和g（x）=x2-ax-1，在同一平面直角坐標(biāo)系下作出圖象，并結(jié)合函數(shù)圖象直觀分析進(jìn)行求解.因?yàn)閒（0）=g（0）=-1，所以兩個(gè)函數(shù)圖象與y軸交于同一個(gè)點(diǎn)，可知不等式［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0在x＞0時(shí)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)在x軸上，由f（x）=0，解得x=，再由g）=0，解得a =.

解答本題的困難在于自發(fā)地形成代數(shù)式與函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)，用技術(shù)可以化“抽象”為直觀，因此借助技術(shù)的幫助可以輕松實(shí)現(xiàn)“以形助數(shù)”.在此求解過程中，由于呈現(xiàn)了思維的層次，形成了化歸與轉(zhuǎn)化的“自覺”，所以可以在聯(lián)系與轉(zhuǎn)化中，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

二、用技術(shù)突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)、改進(jìn)教學(xué)方式，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過程。表現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)和提出命題，掌握推理的基本形式和規(guī)則，探索和表述論證的過程，構(gòu)建命題體系，表達(dá)與交流等方面。

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題。表現(xiàn)在理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探索運(yùn)算思路，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序等方面。

邏輯推理與運(yùn)算求解是中學(xué)數(shù)學(xué)要求培養(yǎng)的關(guān)鍵能力，是知識、技能、思想方法及基本策略的綜合體現(xiàn)。形成和發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，需要學(xué)生一定量的技能訓(xùn)練，可能有人認(rèn)為這些訓(xùn)練與技術(shù)無關(guān)，甚至以為技術(shù)會降低推理與運(yùn)算要求，弱化運(yùn)算訓(xùn)練，因而起了反作用，這是錯誤的。事實(shí)上，便捷快速的計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)可以輕易對代數(shù)式進(jìn)行組合變形與分解變形，從而能幫助學(xué)生分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序，以及在遇到障礙時(shí)進(jìn)行運(yùn)算調(diào)整等，不僅提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的思維能力，同時(shí)還能提供大量例證為歸納推理佐證；同樣，精細(xì)準(zhǔn)確的圖像處理系統(tǒng)不僅可以化抽象為形象，突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，還可以檢驗(yàn)運(yùn)算結(jié)果，促成探索并形成類比推理；此外，在學(xué)習(xí)過程中引進(jìn)交互工具，學(xué)生還可以檢測計(jì)算結(jié)果、修正邏輯判斷、即時(shí)發(fā)布信息等?？梢哉f，在形成和發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)方面，技術(shù)不僅提供了可供訓(xùn)練思維能力的學(xué)習(xí)內(nèi)容、方法和手段，也為共享、表達(dá)和交流思維過程提供了方法和手段。

例如，已知a＞0，且a≠1，求關(guān)于x的方程ax=lo gax有實(shí)數(shù)根時(shí)a的取值范圍.

這類問題我們一般將方程有實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=ax-lo gax有零點(diǎn)進(jìn)行求解，但往往因?yàn)閱栴}的復(fù)雜性與求解方向不清，使得求解過程困難重重，或因邏輯推理出錯造成判斷失誤。此時(shí)如果引進(jìn)技術(shù)，即可簡捷提供函數(shù)y=ax與y=lo gax的圖象，展示a的改變對圖象的影響，獲得感性認(rèn)識和分類的標(biāo)準(zhǔn)，并將a＞1時(shí)的情況歸結(jié)為直線y=x與曲線y=lo gax相切的特殊位置的處理，然后在理解運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，回到函數(shù)f（x）的研究，應(yīng)用正確的運(yùn)算方法和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评磉M(jìn)行解答。

容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y=ax和y=lo gax的圖象有公共點(diǎn)（事實(shí)上，還可以用技術(shù)進(jìn)一步探明有些情況下還不止一個(gè)公共點(diǎn)），相應(yīng)的運(yùn)算求解過程如下：

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（a）=aa-1＜0，f（1）=a＞0，所以f（a）·f（1）＜0.

又因?yàn)閒（x）在［a，1］上連續(xù)，所以存在ξ∈（a，1），使得f（ξ）=0，即aξ=lo gaξ，

因此當(dāng)0＜a＜1時(shí)，方程ax=lo gax有實(shí)數(shù)根.

當(dāng)a＞1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)y=ax與y=lo gax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱，所以只要研究曲線y=lo gax與直線y=x相切的情形，即可找到方程有實(shí)數(shù)根時(shí)a的臨界值，再結(jié)合圖形分析，進(jìn)一步得到a的取值范圍.

現(xiàn)設(shè)直線y=x與曲線y=lo gax相切，且切點(diǎn)為

x0，y0alogae=e，所以lna=，解得a=.

以下證明當(dāng)1＜a≤e1e時(shí)，函數(shù)f（x）有零點(diǎn).

事實(shí)上，此時(shí)有ae≤（）e=e，lo gae≥loe=e，可得f（e）=ae-lo gae≤0，又由于f（1）=a＞0，所以有f（e）·f（1）＜0，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可證.

本例在求解過程中遇到困難，用技術(shù)突破難點(diǎn)理清了障礙，使我們確定解題方向，從而引發(fā)思考，可見技術(shù)的作用已經(jīng)不再局限于問題的直觀展示，而成為進(jìn)一步思考的助推器。毋庸置疑，隨著時(shí)代進(jìn)步，多項(xiàng)革新技術(shù)正在為學(xué)生學(xué)習(xí)、交流與討論提供開放和清晰的過程，智慧課堂、微視頻教學(xué)為學(xué)生提供了多樣學(xué)習(xí)、個(gè)性化學(xué)習(xí)的可能，技術(shù)的廣泛使用已使傳統(tǒng)的、單一的教學(xué)方式得以改進(jìn)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以發(fā)展。

三、用技術(shù)培養(yǎng)數(shù)學(xué)表達(dá)，傳播數(shù)學(xué)技術(shù)，發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)和解決問題的過程。表現(xiàn)為發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立模型，求解模型，檢驗(yàn)結(jié)果和完善模型等過程。

數(shù)學(xué)建模首先要把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，所以需要將實(shí)際問題抽象概括出數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)形式，其困難在于數(shù)據(jù)處理、過程模擬和分析求解，因此，數(shù)學(xué)建模需要數(shù)學(xué)表達(dá)和技術(shù)支持，并與數(shù)學(xué)技術(shù)密切相關(guān)。

數(shù)據(jù)分析是指從數(shù)據(jù)中獲得有用信息，形成知識。表現(xiàn)在數(shù)據(jù)獲取，數(shù)據(jù)分析和知識構(gòu)建。數(shù)據(jù)分析也與數(shù)學(xué)技術(shù)密切相關(guān)，隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來，人們已經(jīng)開始從數(shù)據(jù)中獲取越來越多有用的信息甚至是對未來的洞見，也將越來越認(rèn)識到“因果關(guān)系與相關(guān)關(guān)系”是同等重要的，數(shù)據(jù)分析以現(xiàn)實(shí)與未來的需要為表征，以傳播數(shù)學(xué)技術(shù)為指向，成為數(shù)學(xué)育人的核心素養(yǎng)。發(fā)展數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的困難在于數(shù)據(jù)收集整理、數(shù)字特征分析等繁難的過程。技術(shù)以其強(qiáng)大的數(shù)據(jù)收集與記錄功能、內(nèi)置的數(shù)據(jù)分析與模塊化程序，幫助學(xué)生解決龐雜的數(shù)據(jù)處理，而給學(xué)生騰出時(shí)間用于理解概念、掌握回歸方法，并在獲取信息，形成知識中發(fā)展數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。

例如，在一批棉花中抽測了60根棉花的纖維長度，結(jié)果如下（單位：mm）：

我們可以借助技術(shù)作出這個(gè)樣本的頻率分布直方圖，并且可以用幾種不同的分組方式對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，從中體驗(yàn)合適的分組方法的確定。此外還可以用統(tǒng)計(jì)命令進(jìn)行各種統(tǒng)計(jì)量的分析，從數(shù)學(xué)技術(shù)的角度獲得這批棉花的質(zhì)量狀況等信息。盡管本例所用技術(shù)只是為了數(shù)據(jù)處理，但由于操作過程簡捷，收集信息豐富，所以能極大便利地認(rèn)識數(shù)據(jù)作用，養(yǎng)成使用數(shù)據(jù)的意識，并形成相關(guān)知識，有利于發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2014年，教育部在《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》中再次提出“充分利用現(xiàn)代信息技術(shù)手段，改進(jìn)教學(xué)方式，適應(yīng)學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)需求”的要求，可以預(yù)見，為了樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識，并將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)活動的全過程，需要充分發(fā)揮技術(shù)的力量。技術(shù)融入形成與發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)過程，必將成為課程改革的新形式、新亮點(diǎn)、新趨勢。

［1］洪燕君，周九詩，王尚志，鮑建生.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）的意見征詢——訪談張奠宙先生［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015（3）.

［2］馬云鵬.關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的幾個(gè)問題［J］.課程·教材·教法，2015（9）.

［3］黃炳鋒.指尖數(shù)學(xué)——融合手持技術(shù)的教學(xué)創(chuàng)新［M］.福州：福建教育出版社，2016.

（責(zé)任編輯：王欽敏）