例談數(shù)學(xué)解題中的“三等價(jià)”

福建省古田縣第一中學(xué)　(352200)

蘭詩(shī)全

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例談數(shù)學(xué)解題中的“三等價(jià)”

福建省古田縣第一中學(xué)(352200)

蘭詩(shī)全

1　假設(shè)的“等價(jià)性”

在數(shù)學(xué)解題中根據(jù)解題的需要，合理假設(shè)可架起已知與未知的橋梁，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的．但在運(yùn)用時(shí)一定要注意假設(shè)的“等價(jià)性”，才能保證解題的準(zhǔn)確性、深刻性．

(1)求橢圓C的方程；

2　解題過程的“等價(jià)性”

數(shù)學(xué)解題過程強(qiáng)調(diào)等價(jià)性，許多問題需轉(zhuǎn)化，但轉(zhuǎn)化當(dāng)?shù)葍r(jià)．如何等價(jià)地轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化是否為等價(jià)？這往往決定著解題的成敗，值得高度重視．從下例中務(wù)必從中“吃一塹、長(zhǎng)一智”，補(bǔ)充、完善自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，努力提高解題完整性、準(zhǔn)確性．

例2已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b(x∈R)圖像上的任意兩點(diǎn)連線的斜率都小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

為什么解法1、2與解法3結(jié)果不一致呢？我們來細(xì)究一番！

從上可知，滿足條件的函數(shù)曲線有割線，則必有與割線斜率相等的切線，即{割線斜率}?{切線斜率}，但未必有{割線斜率}={切線斜率}．舉一反例，根據(jù)切線定義，對(duì)于函數(shù)y=x3圖像，在點(diǎn)(0，0)處的切線方程是y=0，但在曲線上找不到割線與切線y=0平行．

解法3突出解題過程的等價(jià)性，思路清晰，邏輯嚴(yán)密，為正確解法．

3　結(jié)果的“等價(jià)性”

為什么求得的結(jié)果有的要檢驗(yàn)，有的不必檢驗(yàn)?zāi)兀考?xì)究可知，那是因?yàn)橛械慕Y(jié)果只是已知條件的必要條件，有的結(jié)果就是已知條件的充要條件．

例3已知關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0兩根為p,q．求p,q的值．

解法2：由已知根據(jù)韋達(dá)定理得

以上解法1、2誰對(duì)誰錯(cuò)？循著充分與必要來點(diǎn)擊要害．

解法2中為什么不要Δ≥0?事實(shí)上，對(duì)一元二次方程兩根為具體存在的數(shù)時(shí)一定滿足Δ≥0．如關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0兩根為-1，2，求p,q的值．

總之，等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想是解題中最重要的思想之一，要高度重視，細(xì)心分析，特別在解方程或不等式中更要注意應(yīng)用．

*本文系江蘇省鎮(zhèn)江市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃青年專項(xiàng)課題“在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性的研究”的部分成果，課題主持人：王圣光.