一道聯(lián)賽題的視角轉換

江蘇省東臺市安豐中學　(224221)

徐建華

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一道聯(lián)賽題的視角轉換

江蘇省東臺市安豐中學(224221)

徐建華

1　試題簡析

該題是2016全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇初賽第9題，試題簡潔樸實，內涵卻很深刻，所涉及到的知識、方法十分豐富，而且條件等式的對稱性，體現(xiàn)了數(shù)學美感，但也由于對稱性，學生很容易利用x=y代入條件，解得x=y=2，從而猜想x+y的值只能是4，試題的信度不太很高，有點遺憾！當然，作為一個數(shù)學問題，它有很好的研究價值，能夠鍛煉學生的思維，拓展學生的知識面.

2　初步思考

權方和不等式的特殊情況與柯西不等式是相通的，所以方法2與方法1接近.這道題用排序不等式解決，也比較簡潔.

3　視角轉換

考試后，有學生問：老師，這道題我是用x=y代入條件，猜出結果x+y=4，嚴格求解怎么做？這個問題，還使筆者犯難了，參賽的是高二學生，他們沒有參加過競賽培訓，還未選修“不等式”課，不知道柯西不等式等知識，上述三個方法，很難在短時間內與學生解釋清楚，這促使筆者進一步思考，能不能轉換視角，用學生現(xiàn)有的知識解決呢？

運算雖是繁了點，但對于知識缺乏的學生，卻是有意義的思考，而且這里也體現(xiàn)了基本不等式的本質理解，“要用基本不等式，即要研究兩個正數(shù)x,y的和與積的不等關系”，只要將條件轉化為關于基本量x+y,xy的等式就行.而且，還給了筆者一個提醒，上述方程有解的思考，不應急于將y=t-x代入方程運算，先盡可能向x+y,xy上靠，最后再代入化簡，可以簡化運算，于是得到方法5.

解法5:同法4，得(x+y)3+4(x+y)2+4(x+y)=3xy(x+y+8)，令x+y=t，則y=t-x，所以t3+4t2+4t=3x(t-x)(t+8)，整理得關于x的一元二次方程3(t+8)x2-3(t+8)tx+t3+4t2+4t=0，所以Δ=9(t+8)2t2-12(t+8)(t3+4t2+4t)≥0，所以3(t+8)t-4(t2+4t+4)≥0，整理得t2-8t+16≤0，所以t=x+y=4.

4.試題改編

要真正解決這道題，還是需要學生思考的，但作為填空題，學生迅速猜出答案，失去思考的價值，區(qū)分度太低，沒有信度.筆者認為，要么把它作為最簡單的競賽解答題，要么做點簡單的改編.基于此，筆者把它改編成幾道填空題，提高測試信度.

單墫先生曾講過，不斷地、持續(xù)地“思之、思之、思之、思之”，定有意想不到的收獲.本文中，筆者就學生的疑問作了一點思考，雖沒有什么大的發(fā)現(xiàn)，但深刻認識了這道簡單聯(lián)賽題的本質，得到了合理有效的多個處理方法.作為中學數(shù)學教師，我們要勤于思考，并要教會學生思考，這才是有意義的教學.如本文，教師若回答學生說，這道題要用到柯西不等式，中學階段不學習，那學生只能望洋興嘆，數(shù)學太高深莫測了！反之，教師不急于回答學生，研究出方法4、5之后，再與學生交流研討，最后說，如果我們到高三選修“不等式”，學習了柯西不等式、排序不等式等，這道題就有更完美的解答了，那就能激發(fā)學生的內在潛能了，將來定有很多學生選修“不等式”.