合理構(gòu)造　巧妙化歸

江蘇省南京市金陵中學(xué)　　　(210005)

于　健

江蘇省南京市第二十九中學(xué)　(210036)

郭建華

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合理構(gòu)造巧妙化歸

江蘇省南京市金陵中學(xué)(210005)

于健

江蘇省南京市第二十九中學(xué)(210036)

郭建華

構(gòu)造法是數(shù)學(xué)解題中很重要的一種化歸手段，在解題中被廣泛應(yīng)用．所謂構(gòu)造法，就是根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特殊性，構(gòu)造出一些新的數(shù)學(xué)形式，并借助它認(rèn)識(shí)與解決原問(wèn)題的一種思想方法．應(yīng)用好構(gòu)造思想解題的關(guān)鍵有二：一是要有明確的方向，即為什么目的而構(gòu)造；二是弄清條件的本質(zhì)特點(diǎn)和背景，以便重新進(jìn)行邏輯組合．構(gòu)造的方法有很多，常見(jiàn)的有構(gòu)造表達(dá)式、構(gòu)造圖形、構(gòu)造模型等，下面筆者結(jié)合一些實(shí)例歸類分析，談?wù)剺?gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用．

1　構(gòu)造表達(dá)式

數(shù)學(xué)知識(shí)形式化的特點(diǎn)決定了適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、構(gòu)造表達(dá)形式可以起到融合知識(shí)，開闊思路，化未知為已知，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的．常見(jiàn)的構(gòu)造表達(dá)式有構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造方程、構(gòu)造向量、構(gòu)造恒等式等幾種.

1.1構(gòu)造函數(shù)

結(jié)合已知條件，適當(dāng)構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化矛盾，利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)解決問(wèn)題，將會(huì)給我們的解題帶來(lái)很大的方便.

例1設(shè)a+lga=10，b+10b=10，求a+b的值.

分析：直接解方程無(wú)從下手，觀察兩個(gè)方程的結(jié)構(gòu)，若設(shè)f(x)=x+lgx，則f(a)=a+lga，f(10b)=10b+lg10b=10b+b．

解：設(shè)f(x)=x+lgx，則f(a)=10=b+10b=lg10b+10b=f(10b)，由于f(x)在(0,+)上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以a=10b，故a+b=10b+b=10.

1.2構(gòu)造方程

方程是解數(shù)學(xué)題的一個(gè)重要工具,許多數(shù)學(xué)問(wèn)題,根據(jù)其數(shù)量關(guān)系,在已知和未知之間搭上橋梁,構(gòu)造出方程,使解答簡(jiǎn)潔、合理.

例2設(shè)a>b>c,a+b+c=1,a2+b2+c2=1,求a+b的取值范圍.

分析：已知中三個(gè)變量,兩個(gè)關(guān)系式,移項(xiàng)變形可用c表達(dá)a,b的關(guān)系,觀察規(guī)律,可以想到構(gòu)造以a,b為兩根的方程.

(1)2-(2)得ab=c2-c(3)，

由(1)、(3)兩式說(shuō)明:a,b是關(guān)于x的一元二次方程x2-(1-c)x+c2-c=0(4)的兩個(gè)不相等的實(shí)根,且因?yàn)橐阎猘>b>c,表明方程(4)的兩根都大于c.

1.3構(gòu)造向量

新教材的一個(gè)重要特點(diǎn)就是引入向量，使得代數(shù)、幾何、三角中的很多問(wèn)題都可以利用向量這一重要工具來(lái)解決.

1.4構(gòu)造恒等式

有些問(wèn)題借助于構(gòu)造恒等式采取賦值的方法可以輕巧的達(dá)到求解目的.

分析:根據(jù)組合數(shù)的特點(diǎn),可以想到構(gòu)造二項(xiàng)式,根據(jù)二項(xiàng)展開式的系數(shù)證明.

2　構(gòu)造圖形

所謂構(gòu)造圖形，就是以已知為前提，構(gòu)造一些理想的圖形，其目的是通過(guò)這個(gè)圖形直觀地揭示已知與未知的關(guān)系，確定論證出發(fā)點(diǎn)，使證題的思路豁然開朗，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

2.1構(gòu)造平面圖形

分析：由平面幾何知識(shí),要使∠F1PF2為鈍角,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓的內(nèi)部,為此可以想到構(gòu)造以F1F2為直徑的圓面x2+y2<5.

圖1

2.2構(gòu)造空間幾何體

分析：由題意一個(gè)三棱錐S﹣ABC的三條側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，可知，三棱錐是長(zhǎng)方體的一個(gè)角，擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，兩者的外接球相同，長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是球的直徑，求出直徑即可求出球的表面積．

3　構(gòu)造模型

數(shù)學(xué)和其他學(xué)科一樣,要學(xué)以致用,“建?！彼枷刖褪前褦?shù)學(xué)這門高度抽象的基礎(chǔ)學(xué)科與實(shí)際生活緊密聯(lián)系起來(lái),在實(shí)際中滲透數(shù)學(xué)思想,把數(shù)學(xué)中的理論作為工具,充分發(fā)揮其作用,因而許多問(wèn)題可通過(guò)構(gòu)造模型來(lái)處理.近年來(lái),構(gòu)造模型的方法越來(lái)越被重視,并成為高考和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中一道獨(dú)特的風(fēng)景線.

例6要從高三年級(jí)6個(gè)班中選出10人組成“藍(lán)球隊(duì)”,每班至少要選一人參加,則名額分配方案有種.

由上述各例分析可見(jiàn)，構(gòu)造法是一種極富技巧性和創(chuàng)造性的解題方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)類比化歸的思想，也滲透著猜想探索特殊化等重要的數(shù)學(xué)方法．運(yùn)用構(gòu)造法解數(shù)學(xué)題可從中欣賞數(shù)學(xué)之美，享受解題樂(lè)趣，更重要的是可開拓思維空間，啟迪智慧，并對(duì)培養(yǎng)多元化思維創(chuàng)新精神大有裨益．

*江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃立項(xiàng)課題：信息技術(shù)環(huán)境下高中數(shù)學(xué)“問(wèn)題—探究—解決”教學(xué)模式的應(yīng)用研究(D/2013/02/445)的研究成果之一.