恒成立一元二次不等式中參數范圍的求解策略

四川省資陽市外國語實驗學校　(641300)

謝　勇

?

恒成立一元二次不等式中參數范圍的求解策略

四川省資陽市外國語實驗學校(641300)

謝勇

含參成立性問題是以含有參數的等式或不等式為載體、以求解參數的取值范圍為目的的一類題型，此類問題是歷年高考命題的熱點，而含參一元二次不等式恒成立問題更是近幾年高考?？碱}型.新課標高中數學加強了函數與方程、不等式間的聯(lián)系，從中學數學知識體系來看，函數是代數的“紐帶”，代數式、方程、不等式等都與函數知識有直接的聯(lián)系.本文結合實例介紹參數在一元二次不等式的不同位置進行分類研究，體現“等價轉化”與“數形結合”思想的靈活運用.

類型一、參數在常數項

例1關于x的不等式x2-2x+a>0在R上恒成立，求實數a的取值范圍.

解析:(法一)分離參數

由題意可知，a>-x2+2x在R上恒成立，所以a>(-x2+2x)max.令h(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1，又因x∈R，所以h(x)max=1，所以a>1.

評注:分離參數得到a>h(x)在區(qū)間D上恒成立，即只需a>h(x)max，此思路將含有參數的不等式恒成立問題轉化為不含參數的函數最值問題.

(法二)轉化為不等式所對應的函數問題

設f(x)=x2-2x+a，故要使得f(x)>0在R上恒成立，只需判別式Δ<0，即4-4a<0，解得a>1.

評注:此思路構造函數將含參不等式恒成立問題轉化為函數的最值問題，有時需要結合參數的位置進行分類討論.

變式關于x的不等式x2-2x+a<0在[0，3]上恒成立，求實數a的取值范圍.

解析:(法一)分離參數

由題意可知，a<-x2+2x在[0，3]上恒成立，所以a<(-x2+2x)min.令h(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1，其中x∈[0，3]，易知h(x)min=h(3)=-3，因此a<-3.

(法二)轉化為不等式所對應的函數問題

設f(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1，故要使得f(x)<0在[0，3]上恒成立，只需f(x)max=f(3)=3+a<0，解得a<-3.

類型二、參數在一次項

例2關于x的不等式x2-ax+1>0在(0，+∞)上恒成立，求實數a的取值范圍.

解析:(法一)分離參數

評注:分離參數得到a

(法二)轉化為不等式所對應的函數問題

評注:此題構造了含參二次函數，配方后涉及到“軸動區(qū)間定”問題的分類討論，可通過作圖從形上理解分類討論的原因.

類型三、參數在二次項

例3關于x的不等式ax2-2x-1<0在R上恒成立，求實數a的取值范圍.

解析:(法一)分離參數

(法二)轉化為不等式所對應的函數問題

設f(x)=ax2-2x-1，當a=0時，f(x)=2x-1，顯然不合題意；當a≠0時，

評注:此題構造的含參二次函數中二次項系數含參數a，需要討論a=0和a≠0兩種情況.

類型四、參數在一次項和常數項

例4關于x的不等式x2-ax+3-a>0在(-1，+∞)上恒成立，求實數a的取值范圍.

解析:(法一)分離參數

因為關于x的不等式x2-ax+3-a>0在

(法二)轉化為不等式所對應的函數問題

解得a<2.

類型五、參數在二次項和常數項

例5關于x的不等式ax2-4x+a>0在R上恒成立，求實數a的取值范圍.

解析:(法一)分離參數

(法二)轉化為不等式所對應的函數問題

設f(x)=ax2-4x+a.當a=0時，顯然f(x)=-4x不恒大于0；當a≠0時，

評注:此題構造的含參二次函數中二次項系數含參數a，需要討論a=0和a≠0兩種情況.

類型六、參數在二次項和一次項

例6關于x的不等式ax2+ax+1>0在[1，+∞)上恒成立，求實數a的取值范圍.

解析:(法一)分離參數

因為關于x的不等式ax2+ax+1>0在[1，

(法二)轉化為不等式所對應的函數問題

類型七、參數在二次項、一次項和常數項

例7關于x的不等式ax2-ax+a-3>0在R上恒成立，求實數a的取值范圍.

解析:(法一)分離參數

(法二)轉化為不等式所對應的函數問題

設f(x)=ax2-ax+a-3.當a=0時，f(x)=-3顯然不合題意；當a≠0時，

數學的復雜性在于問題的千變萬化，參數問題形式多樣，方法靈活多變，技巧性強，這就要求我們要以不變應萬變，在解題過程中，應根據具體的題設條件，觀察題目中不等式的結構特征，從不同角度與方向加以分析探討，從而選擇恰當的方法快速而準確地解決.特別需要注意的是，各種方法之間并不是彼此孤立的，而是幾種方法的融合.因此，系統(tǒng)地掌握參數問題的常規(guī)解題方法，對培養(yǎng)學生分析解決問題的能力大有裨益.