眾里尋它千百度，那“題”卻在“教材”處
——例談高考命題“源于教材”和“回歸教材”

安徽省阜陽(yáng)市太和中學(xué)　(236600)

韓長(zhǎng)峰

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眾里尋它千百度，那“題”卻在“教材”處
——例談高考命題“源于教材”和“回歸教材”

安徽省阜陽(yáng)市太和中學(xué)(236600)

韓長(zhǎng)峰

羅增儒語(yǔ)：教材是課程的載體，因此高考命題最具體、最方便的依據(jù)其實(shí)是教材．教材是編者集體智慧的結(jié)晶，是數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的重要載體，承載著新課程改革的理念和導(dǎo)向，滲透著創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng)，同時(shí)也體現(xiàn)著高考改革的發(fā)展趨向．

高考數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)考查大致可分為五個(gè)層次：對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，對(duì)思想方法的考查，對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查，對(duì)應(yīng)用意識(shí)的考查和對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的考查.眾所周知，高考命題要求“源于教材，高于教材”，其實(shí)廣義的說(shuō)，所有的高考試題都是“源于教材”，而本文所說(shuō)的“源于教材”僅指最初級(jí)層次的——對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，即試題的題干、題枝、甚至答案都直接出自教材，或者說(shuō)“照搬”教材的內(nèi)容.

高考命題又要求“高于教材”和強(qiáng)調(diào)“以能力立意”，這使得“源于教材”成為口號(hào)，“回歸教材”更是空談.那么到底該怎樣“源于教材”又如何“回歸教材”呢？筆者就以2015高考廣東卷的一試題為例，談?wù)剛€(gè)人對(duì)數(shù)學(xué)高考中“源于教材，回歸教材”的思考．

1.原汁原味，源于教材

例1(2015年廣東卷理科第20題)已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A,B.

(1)求圓C1的圓心坐標(biāo)；

(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；

(3)是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線l:y=k(x-4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

賞析:第(2)問(wèn)是求軌跡方程問(wèn)題，方法多達(dá)十種.追根溯源，查閱教材，筆者發(fā)現(xiàn)其“照搬”教材的內(nèi)容：人教版A版選修2-1第37頁(yè)A組第4題“過(guò)原點(diǎn)的直線與圓x2+y2-6x+5=0相交于A,B兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程.”

無(wú)獨(dú)有偶，2013年安徽卷理科又有一例.

例2(2015年安徽卷理科第3題)在下列命題中，不是公理的是().

A.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行

B.過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面

C.如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)

D.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么他們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線

賞析:選項(xiàng)B、C、D分別是公理2、1、3的“復(fù)制+粘貼”，選項(xiàng)A對(duì)應(yīng)的應(yīng)該是公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行，此處把直線“置換”為平面，雖然命題A是真命題，但符合題目“不是公理”的要求，所以選A.

2.源于教材，回歸教材

落實(shí)“源于教材，回歸教材”的前提是我們要明確教材里有什么.2016年《全國(guó)統(tǒng)一考試大綱的說(shuō)明》第131頁(yè)“知識(shí)要求”首段：“知識(shí)是指《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》所規(guī)定的必修課程、選修課程系列2和系列4中的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容反映的數(shù)學(xué)思想方法，還包括按照一定程序與步驟進(jìn)行運(yùn)算、處理數(shù)據(jù)、繪制圖表等基本技能.”那么，教材中的概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容反映的簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)思想和方法無(wú)疑是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí).下面賞析近些年“源于教材”的高考試題，從中品味如何“回歸教材”.

2.1概念變式的回歸

A.f(3)

B.f(1)

C.f(-2)

D.f(3)

賞析：?jiǎn)握{(diào)性是函數(shù)最重要的性質(zhì)，教材的處理呈螺旋式上升，在必修和選修兩次學(xué)習(xí).而考題是單減函數(shù)教材定義的等價(jià)形式，結(jié)合函數(shù)奇偶性得出答案A，既真正體現(xiàn)“源于教材，高于教材”的命題理念，又有效的考查了考生辨析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.同年理科卷第12題呈現(xiàn)了單增函數(shù)定義等價(jià)形式“(x2-x1)(f(x2)-f(x1))>0”，這些都是在教材核心概念的基礎(chǔ)上稍加變形或類(lèi)比而命制的試題，體現(xiàn)了命題者的智慧和創(chuàng)新能力，應(yīng)該是“回歸教材”類(lèi)試題的典范.

2.2公式推導(dǎo)的回歸

例4(2010年四川卷理科第19題)

(Ⅰ)①證明兩角和的余弦公式Cα+β：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ；

②由Cα+β推導(dǎo)兩角和的正弦公式Sα+β：sin(α+β)=sinαcosβ-cosαsinβ.

賞析：新課程標(biāo)準(zhǔn)指出學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程是在教師的引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過(guò)程,強(qiáng)調(diào)知識(shí)的生成性，注重知識(shí)的來(lái)龍去脈.試題2證明兩角和的余弦公式，借步推導(dǎo)兩角和的正弦公式，緊接著直接運(yùn)用，這其實(shí)就是課堂教學(xué)中的一個(gè)數(shù)學(xué)探究環(huán)節(jié)，符合新課程倡導(dǎo)的“自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、閱讀自學(xué)”等學(xué)習(xí)方式，能較好的考查考生自主探究的能力.

2.3定理證明的回歸

例5(2011年陜西卷理科第18題)敘述并證明余弦定理.

賞析：陜西省在高考試題“回歸教材”可謂是開(kāi)拓者，2011年的九字考題“敘述并證明余弦定理”更體現(xiàn)出陜西省命題組的睿智和魄力，既能考查考生的基本數(shù)學(xué)知識(shí)和能力，又具有較好的信度、效度和一定的區(qū)分度，這樣的考題就是好題.正因?yàn)檫@些試題的出現(xiàn)，使得新課教學(xué)把重心轉(zhuǎn)移到教材中的基本概念、重要公式和定理的推導(dǎo)與證明上，這或許正是此類(lèi)試題的價(jià)值和意義.

2.4習(xí)題背景的回歸

2.5數(shù)學(xué)素材的回歸

圖1

例7(2008年浙江卷理科第10題)如圖1，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得△ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是().

A.圓B.橢圓

C.一條直線D.兩條平行直線

賞析：例7源自人教版A版選修2—1第42頁(yè)探究與發(fā)現(xiàn)欄目《為什么截口曲線是橢圓》.教材是這樣描述的：“用一個(gè)與圓柱的母線斜交的平面截圓柱，得到一條截口曲線.你能夠證明截口曲線是橢圓嗎？”例7的實(shí)質(zhì)是考查橢圓的本質(zhì)定義，即橢圓是由與圓柱的母線斜交的平面所截得的截口曲線的軌跡.試題以此為背景，使大家感到既在“意料之外”，但又在“情理之中”.無(wú)獨(dú)有偶，2010年浙江卷理科第19題是以人教版A版選修2—3第70頁(yè)“高爾頓板模型”為背景來(lái)設(shè)計(jì)的高考試題.

2.6方法運(yùn)用的回歸

例8(2003年全國(guó)課標(biāo)卷理17)已知函數(shù)f(x)=2sinx(sinx+cosx).

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值；

賞析：例8源于教材必修4三角函數(shù)“五點(diǎn)法”作圖，體現(xiàn)列表-描點(diǎn)-畫(huà)線等作圖步驟，其法在八年級(jí)學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)教材就提及了.每每講授正弦函數(shù)“五點(diǎn)法”作圖時(shí)都要提到該題，因此“五點(diǎn)法”作圖被學(xué)生掌握和運(yùn)用的很好，發(fā)揮了很好的導(dǎo)向作用.

3.回歸教材，有的放矢

上面賞析了近些年“源于教材”的高考試題，也從中品味到如何“回歸教材”，而作為一線的教師更要研究以怎樣的“源于教材”來(lái)指導(dǎo)落實(shí)“回歸教材”.

3.1注重教材定理、公式的推導(dǎo)過(guò)程

當(dāng)前，不講基礎(chǔ)而一味鉆難題的做法很普遍，忽視教材而陷于題海戰(zhàn)的現(xiàn)象大有所在，這有悖于《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的理念．2011年浙江卷理科第5題就是教材例題條件簡(jiǎn)單的調(diào)整，2012年陜西卷理科第18題出現(xiàn)了三垂線定理及其逆定理的證明，2013年陜西卷文科第17題出現(xiàn)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的公式推導(dǎo)，理科第17題數(shù)學(xué)出現(xiàn)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的公式推導(dǎo)，……

數(shù)學(xué)是一種科學(xué)的思維方法，要學(xué)會(huì)思考；數(shù)學(xué)也是一種操作活動(dòng)，要熟練技能；數(shù)學(xué)還是一種問(wèn)題解決的方法，要學(xué)會(huì)解題．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)不能簡(jiǎn)單的理解為學(xué)生熟記公式、定理和結(jié)論，然后進(jìn)行題海訓(xùn)練，而應(yīng)是注重定理、公式的推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)良好的解題習(xí)慣、發(fā)展分析和解決問(wèn)題的能力，領(lǐng)悟思維的誘導(dǎo)、調(diào)整、進(jìn)階、完善，領(lǐng)悟其蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想，重新全面梳理知識(shí)、方法，促使學(xué)生有層次地、遞進(jìn)地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)．

3.2注重教材例題、習(xí)題的變式訓(xùn)練

教材例題、習(xí)題看似平淡無(wú)奇，其實(shí)是呈現(xiàn)簡(jiǎn)潔、極富韻味的好題，值得我們細(xì)細(xì)品味．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)誘導(dǎo)學(xué)生把特殊問(wèn)題納入更一般的范圍，從特殊推廣到一般，揭示事物的普遍規(guī)律，促使學(xué)生會(huì)解一道題到會(huì)解一類(lèi)題，由低層次到高層次，把數(shù)學(xué)思維提高到由例及類(lèi)的層次，加速數(shù)學(xué)思維的優(yōu)化．

例如，人教版A版選修2—1第73頁(yè)的第6題:直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A,B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB．

分析：其已知條件①直線l:y=x-2是一條定直線，其斜率為1，在x軸上的截距為2；②拋物線C:y2=2x的特征量2p=2，而直線l所過(guò)的定點(diǎn)M(2,0)的橫坐標(biāo)恰好為2，巧合？抑或規(guī)律？

拓展1直線“活”起來(lái)．

①直線l的斜率不變，在x軸上的截距變?yōu)?，結(jié)論還成立嗎？(不成立)

②直線l的斜率變?yōu)?，在x軸上的截距不變，結(jié)論還成立嗎？(成立)

③直線l的斜率變?yōu)?1，在x軸上的截距不變，結(jié)論還成立嗎？(成立)

④直線l的斜率變?yōu)閗，在x軸上的截距不變，結(jié)論還成立嗎？(成立)

⑤直線l的斜率不存在，在x軸上的截距不變，結(jié)論還成立嗎？(成立)……

拓展2曲線“動(dòng)”起來(lái)．

①拋物線C變?yōu)镃′:y2=3x，其它條件不變，結(jié)論還成立嗎？(不成立)

②拋物線C變?yōu)镃′:y2=-2x，其它條件不變，結(jié)論還成立嗎？(不成立)

③拋物線C變?yōu)镃′:x2=-2y，其它條件不變，結(jié)論還成立嗎？(不成立)

④拋物線C變?yōu)镃′:x2=2y，其它條件不變，結(jié)論還成立嗎？(不成立)……

拓展3條件共“舞”．

①直線l的斜率變?yōu)閗，在x軸上的截距不變，拋物線C變?yōu)镃′:y2=2px(p>0)，結(jié)論何時(shí)成立？(2p=2)

②直線l的斜率變?yōu)閗，在x軸上的截距變?yōu)?，拋物線C變?yōu)镃′:y2=2px(p>0)，結(jié)論何時(shí)成立？(2p=4)

③直線l的斜率變?yōu)閗，在x軸上的截距變?yōu)?p，拋物線C變?yōu)镃′:y2=2px(p>0)，結(jié)論成立？(成立)……

拓展思路4逆化命題.

①直線l與拋物線y2=2px(p>0)相交于A,B兩點(diǎn)，若OA⊥OB，直線l有何特征？

②直線l與拋物線C:y2=2px(p>0)相交于異于頂點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A,B．若OA⊥OB，直線l必過(guò)定點(diǎn)嗎？……

拓展思路5披上“神秘”外紗.

拓展思路6類(lèi)比引申.

①原點(diǎn)O是拋物線C的頂點(diǎn)，原點(diǎn)O變?yōu)閽佄锞€C上任意一點(diǎn)，是否還有類(lèi)似的結(jié)論呢？

②拋物線C變?yōu)閳A錐曲線中的橢圓、雙曲線，是否還有類(lèi)似的結(jié)論呢？

③拋物線C變?yōu)閳A，結(jié)論是否成立？……

3.3注重教材閱讀、探究的思維啟示

新課標(biāo)教材中，充實(shí)了許多具有生活氣息的閱讀材料吸引了學(xué)生的注意力，關(guān)注了學(xué)生的非智力因素對(duì)學(xué)習(xí)的影響，倡導(dǎo)學(xué)生的認(rèn)知與興趣、情感緊密地聯(lián)系起來(lái)，實(shí)現(xiàn)情知并行、情知互動(dòng)、情知交融，也設(shè)置了饒有情趣的探究問(wèn)題，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的激情，促使學(xué)生產(chǎn)生探究的原動(dòng)力和內(nèi)在需求．

高中數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)對(duì)本原性的問(wèn)題多一些思考，結(jié)合教材提供的閱讀材料、探究問(wèn)題的思維啟示，創(chuàng)設(shè)開(kāi)放、互動(dòng)、新型的教學(xué)體驗(yàn)環(huán)境，促使學(xué)生體會(huì)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)現(xiàn)過(guò)程，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)審題，學(xué)會(huì)思維，把教材中“省略”的思維信息慢節(jié)拍地找尋出來(lái)，提升數(shù)學(xué)探究教學(xué)的高效．

3.4注重教材方法、思想的潛移默化

形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一．在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項(xiàng)基本要求，但是不能只限于形式化的表達(dá)，要強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，否則會(huì)將生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)淹沒(méi)在形式化的海洋里．新課程為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的理解，建立內(nèi)容本質(zhì)與形式表達(dá)之間的有機(jī)聯(lián)系，使數(shù)學(xué)形式化過(guò)程適應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，并在建構(gòu)數(shù)學(xué)形式化認(rèn)知結(jié)構(gòu)的同時(shí)，獲得全面發(fā)展，在“強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”方面作出了努力．

高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì)，注重教材方法、思想的潛移默化．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)要講邏輯推理，更要講道理，通過(guò)典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過(guò)程，體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想潛移默化，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)．

正如章建躍語(yǔ)：高考復(fù)習(xí)，回歸教材、回歸基礎(chǔ)才是正道．作為教師，我們務(wù)必將教材視為教學(xué)的“紅色根據(jù)地”，在把握教材、理解教材的基礎(chǔ)上，著力揣摩教材的編寫(xiě)意圖，明確教材的脈絡(luò)結(jié)構(gòu)，深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)的作用和蘊(yùn)含的人文素養(yǎng)的文化價(jià)值，做到跳出教材、活用教材，真正落實(shí)“源于教材，回歸教材”的科學(xué)備考.

[1]史嘉，李振球.從“源于教材”到“回歸教材”[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2013(7-8):84-85.

[2]沈新權(quán).高考數(shù)學(xué)試題命題策略解讀[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(高中版)，2013(2):38-39.

[3]岳峻，阮艷艷.探究圓錐曲線的內(nèi)接直角三角形[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2015(12):34-36.