“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”讓課堂更生動(dòng)——“利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在”教學(xué)設(shè)計(jì)

廉萬(wàn)朝　　　　　崔　莉

(陜西省三原縣北城中學(xué)，210008)　(陜西省三原縣南郊中學(xué)，210008)

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“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”讓課堂更生動(dòng)
——“利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在”教學(xué)設(shè)計(jì)

廉萬(wàn)朝崔莉

(陜西省三原縣北城中學(xué)，210008)(陜西省三原縣南郊中學(xué)，210008)

“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”是指教師在課堂教學(xué)中以問(wèn)題為載體,通過(guò)問(wèn)題的引導(dǎo),學(xué)生在分析、解決一個(gè)個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中,積極地去思考、交流、探索、分享彼此的成果. 在問(wèn)題的導(dǎo)引下,以學(xué)生熟知的背景、知識(shí)為依托,通過(guò)設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)的問(wèn)題(鏈),在學(xué)生不知不覺(jué)中,達(dá)到對(duì)新知識(shí)的發(fā)現(xiàn),對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握. 在這個(gè)過(guò)程中,學(xué)生思維得到訓(xùn)練,思考問(wèn)題的積極性、主動(dòng)性得到提高,因此,“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”有利于提高學(xué)生的認(rèn)識(shí)問(wèn)題、分析問(wèn)題以及解決問(wèn)題的能力. “問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”,問(wèn)題設(shè)計(jì)的好壞將直接影響著課堂的氣氛,影響著學(xué)生的思維,影響著學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解和掌握,最終影響到學(xué)生的數(shù)學(xué)能力(認(rèn)識(shí)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力).

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué),是學(xué)生在各種數(shù)學(xué)活動(dòng)中生成、拓展、提升與交流數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程,同時(shí)也是獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本基本能與基本思想的過(guò)程. “問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”就是在問(wèn)題引導(dǎo)下,學(xué)生在解決一個(gè)個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中,得到數(shù)學(xué)的體驗(yàn),獲得數(shù)學(xué)的知識(shí)和技能,讓學(xué)生活動(dòng)貫穿于課堂的始終.

本文以高中數(shù)學(xué)北師大版必修1中的“利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在”為例,談?wù)劇皢?wèn)題導(dǎo)學(xué)”下的課堂教學(xué)實(shí)踐.

一、教材分析

本節(jié)課“利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在”體現(xiàn)了函數(shù)性質(zhì)與方程的聯(lián)系. 首先,無(wú)論是初中所學(xué)的一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程,還是高中所學(xué)的簡(jiǎn)單指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程等,都是隱含著函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用. 雖然初中對(duì)這些方程的函數(shù)性質(zhì)體現(xiàn)得不是很明顯,是基于所學(xué)函數(shù)知識(shí)的緣故,而高中所接觸的簡(jiǎn)單的指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程,就是函數(shù)性質(zhì)的明顯應(yīng)用. 其次,一元一次不等式,一元二次不等式,簡(jiǎn)單的指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式等,也是函數(shù)性質(zhì)的具體應(yīng)用. 本節(jié)課應(yīng)該以“方程解的存在”為題,充分挖掘函數(shù)性質(zhì)在解決方程、不等式中的作用.

基于以上分析,本節(jié)內(nèi)容應(yīng)以學(xué)過(guò)的方程、函數(shù)知識(shí)為基礎(chǔ),在方程中認(rèn)識(shí)函數(shù)及其性質(zhì),從而對(duì)方程的認(rèn)識(shí)更具體、更直觀，在函數(shù)中認(rèn)識(shí)方程、不等式的解. 將函數(shù)、方程、不等式三者緊密地聯(lián)系在一起,使學(xué)生能從更高的層次認(rèn)識(shí)函數(shù),理解函數(shù)及其應(yīng)用,也為函數(shù)在不等式、導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用做好鋪墊.

1.教學(xué)目標(biāo)

(1)以熟悉的方程與相應(yīng)的函數(shù)圖象的關(guān)系認(rèn)識(shí),歸納出方程解的存在與函數(shù)值的變化之間的關(guān)系,并建立起方程、不等式、函數(shù)三者之間的聯(lián)系;

(2)在建立函數(shù)、方程、不等式的過(guò)程中,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想、類比轉(zhuǎn)化的思想,從而用函數(shù)的觀點(diǎn)去分析和研究方程問(wèn)題.

2.教學(xué)重點(diǎn)

理解方程解的存在與函數(shù)的關(guān)系.

3.教學(xué)難點(diǎn)

從方程中抽象出函數(shù)模型.

二、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1.追溯源頭,提出問(wèn)題

問(wèn)題1我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程；一元二次方程,簡(jiǎn)單的指數(shù)方程,如2x=1；對(duì)數(shù)方程,如lgx-1=0等,有些方程還有求解公式. 是不是所有方程都有求解公式?請(qǐng)舉例說(shuō)明.

生:不是. 如方程2x+x-2=0，3lnx-x=0等.

師:絕大多數(shù)方程沒(méi)有求解公式. 那么,這些方程能解嗎?怎么解?我們今天就來(lái)作一些初步探討.

讓學(xué)生完成下列表格

序號(hào)方程方程的解函數(shù)函數(shù)圖象函數(shù)圖象與方程解的關(guān)系12x-1=0y=2x-12x2-x-2=0y=x2-x-232x=14lgx-1=052x+x-2=0

問(wèn)題2根據(jù)上述表格,方程的解與相應(yīng)的函數(shù)有何關(guān)系?

生:方程1,2的解正好是相應(yīng)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),方程3,4,5的解是…

師:對(duì)于方程3,4,若要構(gòu)造函數(shù),該如何構(gòu)造?構(gòu)造出的函數(shù)與相應(yīng)方程解的關(guān)系是什么?

生1:可以構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x-1,g(x)=lgx-1,由基本函數(shù)y=2x,y=lgx圖象向下平移1個(gè)單位,就得到上述函數(shù)圖象,且圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解.

生2:也可以構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x與g(x)=lgx,其圖象與直線y=1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解.

師:對(duì)于方程5呢?

教師用幾何畫(huà)板畫(huà)出函數(shù)f(x)=2x+x-2的圖象,通過(guò)圖象觀察,學(xué)生直觀感知圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解.

問(wèn)題3只有少數(shù)的方程有求解公式,求解公式是解決特殊方程(一元一次方程、一元二次方程)解的一種工具,顯然不是研究方程問(wèn)題的“通法”.那么,研究方程問(wèn)題的“通法”是什么?

生:構(gòu)造函數(shù),借助函數(shù)圖象.

師:如何構(gòu)造函數(shù)?怎樣通過(guò)所構(gòu)造的函數(shù)認(rèn)識(shí)方程的解?

師:我們今天就用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究方程的解的情況,進(jìn)而用函數(shù)的性質(zhì)研究不等式的問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)對(duì)上述表格的完善,將學(xué)生熟知的一元一次方程、一元二次方程、簡(jiǎn)單的指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程等的求解與相應(yīng)函數(shù)圖象的對(duì)比聯(lián)系,讓學(xué)生感知函數(shù)的性質(zhì)才是認(rèn)識(shí)方程解的“通法”.

2.引領(lǐng)探索,揭示聯(lián)系

(1)利用函數(shù)圖象,從“形”上直觀感知方程解的存在

師:波利亞認(rèn)為:“如果你不能解決所提出的問(wèn)題,可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題.”而與此相關(guān)的問(wèn)題的思路和方法,往往是解決所提出問(wèn)題的辦法.

問(wèn)題4我們用幾何畫(huà)板畫(huà)出函數(shù)f(x)=2x+x-2的圖象,能否利用所學(xué)函數(shù)的知識(shí),通過(guò)函數(shù)圖象,認(rèn)識(shí)方程的解的存在?

生3:描點(diǎn)法,畫(huà)出函數(shù)f(x)=2x+x-2的圖象,觀察圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解.

生4:類似于生2的方法,畫(huà)出函數(shù)y=2x和y=2-x的圖象,兩個(gè)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解.

師:雖然我們不會(huì)用“代數(shù)方法”求解方程5,但是我們可以利用函數(shù)的圖象認(rèn)識(shí)到方程5 有解.說(shuō)明方程的解與函數(shù)有著緊密的聯(lián)系,用代數(shù)的觀點(diǎn),是方程的解,那么,用函數(shù)的觀點(diǎn),如何定義?

生5:函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

生6:函數(shù)值為零時(shí)的點(diǎn)的橫坐標(biāo).

師:回答得都很正確. 如果語(yǔ)言再精煉些,我們把它稱為“函數(shù)的零點(diǎn)”即函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)..

問(wèn)題5結(jié)合上面的認(rèn)識(shí),如何判斷一個(gè)函數(shù)是否有零點(diǎn)?

生3:用描點(diǎn)法直接畫(huà)函數(shù)圖象,看看圖象與橫軸是否有交點(diǎn).

生4:可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本函數(shù)(常函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)),觀察兩個(gè)基本函數(shù)圖象的交點(diǎn),確定函數(shù)是否存在零點(diǎn).

問(wèn)題6判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)?

f(x)=3x-x2;g(x)=lgx+x.

設(shè)計(jì)意圖直觀判斷函數(shù)零點(diǎn)的存在,即方程解的存在.

師:結(jié)合上述問(wèn)題的分析,你能歸納出用函數(shù)圖象判斷方程是否有解的規(guī)律嗎?

師生一起歸納出:① 構(gòu)造基本函數(shù)函數(shù);② 畫(huà)出函數(shù)圖象;③ 觀察圖象,確定方程解的存在情況.

(2)通過(guò)函數(shù)值的計(jì)算,從“數(shù)”上認(rèn)識(shí)函數(shù)零點(diǎn)的存在

問(wèn)題7判斷函數(shù)f(x)=3lnx-x是否存在零點(diǎn)?

設(shè)計(jì)意圖提出一個(gè)很難判斷的問(wèn)題,就是想從“數(shù)”上認(rèn)識(shí)函數(shù)的零點(diǎn)的存在性.

師：我們繼續(xù)從熟知的問(wèn)題入手,認(rèn)識(shí)函數(shù)存在零點(diǎn)時(shí),函數(shù)值的特點(diǎn).

問(wèn)題8以方程5為例,按照生3和生4的兩種思路,如何從“數(shù)”上認(rèn)識(shí)方程一定存在解,即函數(shù)存在零點(diǎn)?

生3:通過(guò)列表知,對(duì)于函數(shù)f(x)=2x+x-2,因?yàn)閒(0)=-1<0,f(1)=1>0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn).

生4:觀察函數(shù)g(x)=2x與函數(shù)h(x)=2-x的圖象,因?yàn)間(0)h(2),所以方程5在區(qū)間(0,2)內(nèi)有解.

師:其實(shí)生4的認(rèn)識(shí)和生3實(shí)質(zhì)上是一致的,能否歸納出“一致”的思路?

生:g(0)h(2)即g(2)-h(2)>0,也就是f(2)>0.判斷f(x)=0在區(qū)間(0,2)是否存在零點(diǎn),只需f(0)f(2)<0.

師:現(xiàn)在來(lái)解決問(wèn)題7,判斷函數(shù)的零點(diǎn)是否存在,若存在,找出零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間.

生:由于f(1)=-1<0,f(3)=3(ln 3-1)>0,所以存在零點(diǎn),且在區(qū)間(1,3)內(nèi)有零點(diǎn),

師:由此可見(jiàn),用圖形研究函數(shù)零點(diǎn)直觀,但很難入微,借助圖形,利用函數(shù)值研究更具體,因此,很有必要探討用函數(shù)值的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)零點(diǎn). 那么,哪位同學(xué)能概括出用函數(shù)值的符號(hào)判斷函數(shù)零點(diǎn)的規(guī)律?

生:一般地,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi),若f(a)f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定存在零點(diǎn).

師:一定嗎?

生:不一定,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)間斷,就可能沒(méi)有零點(diǎn). 只有函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)連續(xù),才能保證.

師:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)不斷,且f(a)f(b)<0,真的就一定能保證函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)嗎?

最后,師生一起歸納出:若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)曲線,并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反,即f(a)f(b)<0,則在區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)y=f(x)至少存在一個(gè)零點(diǎn),即方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解.

師:若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)曲線,并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相同,即f(a)f(b)>0,則在區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)y=f(x)一定不存在零點(diǎn)嗎?

生:不一定,函數(shù)有可能在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn),甚至不止一個(gè).

師:正確！同時(shí),如果函數(shù)存在零點(diǎn),零點(diǎn)值是多少,這些問(wèn)題我們?cè)诤竺孢€將繼續(xù)研究(二分法以及利用導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)時(shí)將做深入探討).

3.歸納總結(jié),揭示規(guī)律

問(wèn)題9從“數(shù)”即函數(shù)值的符號(hào)上,從“形”即函數(shù)圖象上,同學(xué)們能歸納方程解,亦即函數(shù)零點(diǎn)判定的方法步驟嗎?(見(jiàn)圖1)

4.方法應(yīng)用,鞏固成果

練習(xí):判斷下列函數(shù)f(x)是否存在零點(diǎn),若存在,寫(xiě)出零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間，并說(shuō)明理由.

(1)f(x)=-2x2+x+1;

(2)f(x)=3x-x2;

(3)f(x)=lnx+2x-6.

設(shè)計(jì)意圖這樣設(shè)計(jì)問(wèn)題,不但讓學(xué)生能從圖象上直觀認(rèn)識(shí),而且從函數(shù)值的計(jì)算上,準(zhǔn)確定位零點(diǎn)的位置. 這是對(duì)本節(jié)所學(xué)的兩種認(rèn)識(shí)方程解,亦即函數(shù)零點(diǎn)的方法的鞏固. 同時(shí),第(1)個(gè)函數(shù)是二次函數(shù),學(xué)生可以從解方程,函數(shù)圖象,零點(diǎn)判定方法等多個(gè)角度解決,不但使所學(xué)的方法、思路得到鞏固,而且使各個(gè)層次的學(xué)生都得到提高. 第(2)(3)個(gè)函數(shù)就是用函數(shù)的角度認(rèn)識(shí)方程的解(函數(shù)零點(diǎn))的能力的提高.

5.課堂小結(jié)

問(wèn)題10本節(jié)課你的收獲有哪些?還有哪些疑惑?

函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題:一個(gè)原理(零點(diǎn)存在性定理);兩個(gè)方法(從“形”上觀察零點(diǎn)的存在,從“數(shù)”上認(rèn)識(shí)零點(diǎn)的存在);三個(gè)思想(函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化和化歸的思想).

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生明確本節(jié)課的重難點(diǎn),方法、思路、數(shù)學(xué)思想及自己的疑惑.