高中數(shù)學(xué)信息情境題解題要領(lǐng)

林惠賢

(廣東省佛山市南海區(qū)大瀝高級(jí)中學(xué)，528231)

?

高中數(shù)學(xué)信息情境題解題要領(lǐng)

林惠賢

(廣東省佛山市南海區(qū)大瀝高級(jí)中學(xué)，528231)

縱觀近幾年高考數(shù)學(xué)試卷,每年的高考試題中都有一道或者兩道信息情境題作為創(chuàng)新的題目,成為當(dāng)年高考試題的亮點(diǎn)．新穎的題型對(duì)于考生來說,是有一定的難度,因?yàn)榭忌鷱膩頉]有見過,從認(rèn)識(shí)到理解、到分析、到解決,需要一個(gè)過程,大多數(shù)考生都望而生畏,得分率并不理想．

事實(shí)上,高考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的信息情境題并非“高不可攀”.所運(yùn)用到的知識(shí)一般不會(huì)很復(fù)雜,它側(cè)重于考查學(xué)生知識(shí)的遷移能力——會(huì)利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)和提出有一定價(jià)值的信息、運(yùn)用有關(guān)的數(shù)學(xué)思想和方法,對(duì)問題進(jìn)行探究,尋求數(shù)學(xué)對(duì)象的規(guī)律與聯(lián)系,從而解決問題．下面,筆者結(jié)合一些具體的實(shí)例,談?wù)勥@類問題的一些解決方法．

一、消除恐懼,調(diào)整好心態(tài)．

例1(2006年廣東高考題)對(duì)于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)和(c,d),規(guī)定:(a,b)=(c,d)當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d;運(yùn)算“?”為:(a,b)?(c,d)=(ac-bd,bc+ad);運(yùn)算“?”為:(a,b)?(c,d)=(a+c,b+d).設(shè)p,q∈R,若(1,2)?(p,q)=(5,0),則(1,2)?(p,q)=()

(A)(4,0) (B)(2,0)

(C)(0,2) (D)(0,-4)

例2(2007年廣東高考題)設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合，在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”(即對(duì)任意的a,b∈S對(duì)于有序元素對(duì)(a,b)在S中有唯一確定的元素a*b與之對(duì)應(yīng)).若對(duì)于a,b∈S，有a*(b*a)=b則對(duì)任意的a,b∈S下列等式中不恒成立的是()

(A)(a*b)*a=a

(B)[a*(b*a)]*(a*b)=a

(C)(b*b)*b=b

(D)(a*b)*[b*(a*b)]=b

例3(2010年廣東高考題)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐標(biāo)系xOy上的兩點(diǎn),現(xiàn)定義由點(diǎn)A到點(diǎn)B的一種折線距離ρ(A,B)為ρ(A,B)=|x2-x1|+|y2-y1|.對(duì)于平面xOy上給定的不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),若點(diǎn)C(x,y)是平面xOy上的點(diǎn),試證明：

ρ(A,C)+ρ(C,B)≥ρ(A,B).

分析不少同學(xué)一接觸這類題目,第一反應(yīng)就是覺得害怕,心里不踏實(shí),看到一些教科書上從沒出現(xiàn)過的陌生的名詞、符號(hào)、定義,缺少戰(zhàn)勝的信心和勇氣,造成了解題的一大心理障礙．其實(shí),這三道題并不困難,前兩題只要理解了新定義的運(yùn)算符號(hào)“?”和“*”的本質(zhì)含義,就可以輕易選出正確答案分別是D、A．至于例3,考生在明確新定義后,直接由絕對(duì)值不等式可以證明：

ρ(A,C)+ρ(C,B)

=|x-x1|+|x2-x|

+|y-y1|+|y2-y|

≥|(x-x1)+(x2-x)|

+|(y-y1)+(y2-y)|

=|x2-x1|+|y2-y1|

=ρ(A,B)，

當(dāng)且僅當(dāng)(x-x1)(x2-x)≥0且(y-y1)·(y2-y)≥0時(shí)等號(hào)成立．

命題得證．

所以,樹立良好的心態(tài),是成功的第一步．

二、細(xì)致審題,善于把握有用信息,善于對(duì)知識(shí)進(jìn)行遷移或類比

信息情境題一般都是多維的、非常規(guī)的知識(shí)綜合,有時(shí)需要知識(shí)與方法的遷移、遠(yuǎn)距離的知識(shí)交匯,某些問題還在背景、方法上實(shí)現(xiàn)遷移．若按設(shè)計(jì)背景的性質(zhì)來分,主要有以下三大類型:

1.以生活世界為背景

這類題目主要提供了數(shù)學(xué)世界的現(xiàn)實(shí)原型與應(yīng)用空間,具有直觀性、真實(shí)性、經(jīng)驗(yàn)性、樸實(shí)性、實(shí)用性等特點(diǎn)．貼近生活、貼近學(xué)生實(shí)際、貼近問題的實(shí)際,把應(yīng)用問題生活化．

例4(2009年廣東高考題)廣州2010年亞運(yùn)會(huì)火炬?zhèn)鬟f在A,B,C,D,E五個(gè)城市之間進(jìn)行,各城市之間的路線距離(單位:百公里)見下表．若以A為起點(diǎn),E為終點(diǎn),每個(gè)城市經(jīng)過且只經(jīng)過一次,那么火炬?zhèn)鬟f的最短路線距離是()

(A)20.6(B)21(C)22(D)23

ABCDEA5456B5762C4798.6D5695E628.65

分析這是一條以時(shí)事熱點(diǎn)“廣州亞運(yùn)”為背景的信息情境題.由題意知,所有可能路線有6種:①A→B→C→D→E,②A→B→D→C→E,③A→C→B→D→E,④A→C→D→B→E,⑤A→D→B→C→E,⑥A→D→C→B→E, 其中, 路線③A→C→B→D→E的距離最短, 最短路線距離等于4+9+6+2=21,故選B.

例5(2007年廣東高考題)圖1是某汽車維修公司的維修點(diǎn)環(huán)形分布圖.公司在年初分配給A、B、C、D四個(gè)維修點(diǎn)某種配件各50件.在使用前發(fā)現(xiàn)需將A、B、C、D四個(gè)維修點(diǎn)的這批配件分別調(diào)整為40、45、54、61件,但調(diào)整只能在相鄰維修點(diǎn)之間進(jìn)行.那么要完成上述調(diào)整,最少的調(diào)動(dòng)件次(n件配件從一個(gè)維修點(diǎn)調(diào)整到相鄰維修點(diǎn)的調(diào)動(dòng)件次為n)為()

(A)18(B)17(C)16(D)15

分析本題的關(guān)鍵信息是“ 調(diào)整只能在相鄰維修點(diǎn)之間進(jìn)行”.因此,可設(shè)A調(diào)出x件給D(0≤x≤10),調(diào)出了10-x件給B,B調(diào)出了5+10-x=15-x件給C,C調(diào)出了15-x-4=11-x件給D,此時(shí)調(diào)動(dòng)總次數(shù)N=x+(10-x)+(15-x)+(11-x)=36-2x,當(dāng)且僅當(dāng)x=10時(shí),N取得最小值16,故應(yīng)選C．

2.以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為背景

近幾年高考數(shù)學(xué)加強(qiáng)了中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接,將高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)直接引用,以信息情境題的形式考查,如函數(shù)凸凹性、不動(dòng)點(diǎn)問題、中值定理等知識(shí)．

例6(2002年上海春季高考題)對(duì)于函數(shù)f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0,則稱x0是f(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),已知函數(shù)

f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).

(1)當(dāng)a=1,b=-2時(shí),求函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn);

(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)b,函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn),求a的取值范圍;

分析這是一道以“函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)”為載體的高考試題.題目直接給出“函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)”的定義,旨在考查學(xué)生對(duì)新信息的領(lǐng)悟和理解能力.讀懂題意后,前兩道小題就不難解決,實(shí)質(zhì)考查的是高中生所熟悉的二次函數(shù)與方程的相關(guān)知識(shí)．對(duì)比之下,第3小題則有一定的難度,屬于能力創(chuàng)新題,考查學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)能力．

解(1)因?yàn)閒(x)=x2-x-3,x0是f(x)的不動(dòng)點(diǎn),則

(2)∵函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn),∴f(x)-x=ax2+bx+(b-1)=0恒有兩個(gè)不等的實(shí)根,Δ=b2-4a(b-1)=b2-4ab+4a>0對(duì)b∈R恒成立,∴(4a)2-16a<0,得a的取值范圍為(0,1).

(3)由ax2+bx+(b-1)=0得

設(shè)A,B中點(diǎn)為E,則E的橫坐標(biāo)為

例7(第二屆“南方杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)設(shè)an是以-1為首項(xiàng),以7為公差的等差數(shù)列的第n項(xiàng),bn是該等差數(shù)列的第n2項(xiàng),定義Δbn=bn+1-bn({Δbn}叫做數(shù)列{bn}的“一階差分”),則Δbn與an+1之間的關(guān)系是Δbn=x·an+1+y(x、y是常數(shù)),且x+y等于()

(A)11(B) 12(C) 13(D) 14

分析“一階差分”看似高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容,實(shí)際上只是作為一個(gè)背景材料而已,只要學(xué)生能沉著冷靜地細(xì)心分析,把握題目中的有用信息,并將其翻譯成數(shù)學(xué)關(guān)系,不難得到

an=7n-8,bn=7n2-8,

所以進(jìn)一步由已知

Δbn=bn+1-bn

得到Δbn=bn+1-bn

=7(n+1)2-8-(7n2-8)

=14n+7,

另一方面Δbn=x·an+1+y=7xn-x+y,

所以7x=14,-x+y=7,即x=2,y=9.

故選A．

3.以科學(xué)技術(shù)問題為背景

如下面兩個(gè)例子中的“信息量傳遞”問題和信息安全上的“加密與解密”問題．

例8(2001年全國(guó)高考題)如圖2,小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn),結(jié)點(diǎn)之間的連線表承它們有網(wǎng)線相聯(lián).連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量.現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息,信息可以分開沿不同的路線同時(shí)傳遞.則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為()

(A)26(B)24(C)20(D)19

分析解決這道題的關(guān)鍵是讀懂題意,并能從圖中提取有用的數(shù)據(jù)信息．傳遞的路線只有4條，每條路經(jīng)允許的信息量應(yīng)該是一條途徑3段中的最小值,所以最大信息量為3+4+6+6=19,選D.

例9(2006年陜西高考題)為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密).已知加密規(guī)則為:明文a,b,c,d對(duì)應(yīng)密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4對(duì)應(yīng)密文5,7,18,16.當(dāng)接收方收到密文14,9,23,28時(shí),則解密得到的明文為()(A)7,6,1,4(B)6,4,1,7

(C)4,6,1,7(D)1,6,4,7

分析這是一道以信息科學(xué)為背景的題目,情境對(duì)大多數(shù)學(xué)生來說都應(yīng)該比較陌生,但只要理解好題目提供的有用信息——加密和解密的規(guī)則(或者說是對(duì)應(yīng)關(guān)系)構(gòu)造出a+2b=14,2b+c=9,2c+3d=23,4d=28組成方程組并求解,則可以很快選出正確答案C．

總之,無論是哪種類型的信息情境題,關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)提取有用信息,有一定的自主學(xué)習(xí)能力和知識(shí)遷移能力．

三、適當(dāng)?shù)亻_闊視野,拓展課外知識(shí)面

信息情境題的背景設(shè)計(jì)空間十分廣泛,為了盡量減少陌生感對(duì)解題帶來了困擾,平時(shí)可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼n外閱讀,加強(qiáng)提取有用信息的能力,多了解一些實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)知識(shí)和現(xiàn)象,提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)．