考慮齒廓修形直齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)數(shù)值分析*

徐濤金，梁舉科

(重慶理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，重慶　400054)

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考慮齒廓修形直齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)數(shù)值分析*

徐濤金，梁舉科

(重慶理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，重慶400054)

計(jì)算不同修形量下直齒輪時(shí)變嚙合剛度及靜態(tài)傳遞誤差等參數(shù)，建立單級(jí)齒輪副動(dòng)力學(xué)模型，分析齒輪系統(tǒng)在不同修形量下動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。研究發(fā)現(xiàn)，采用變?cè)隽勘平姆椒芎芎玫那笕》菢?biāo)準(zhǔn)漸開線齒輪嚙合過程中嚙合點(diǎn)的位置。動(dòng)態(tài)傳遞誤差頻譜中包含剛度激勵(lì)的諧波成分和齒輪系統(tǒng)本身的固有頻率成分，當(dāng)兩頻率成分發(fā)生重合時(shí)，齒輪系統(tǒng)會(huì)發(fā)生動(dòng)態(tài)傳遞誤差振幅隨時(shí)間變化越來越大的情況，應(yīng)當(dāng)極力避免。

靜態(tài)傳遞誤差；齒廓修形；時(shí)變嚙合剛度；直齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)

0　引言

齒輪傳動(dòng)是最重要而且應(yīng)用最廣的機(jī)械傳動(dòng)，被廣泛用于汽車、船舶、航天、風(fēng)電等行業(yè)[1]。齒輪系統(tǒng)實(shí)際上是一種彈性系統(tǒng)，齒輪齒體受載后會(huì)發(fā)生變形，會(huì)使齒輪嚙合過程中產(chǎn)生嚙入、嚙出激勵(lì)。為消弱這部分激勵(lì)可對(duì)齒輪經(jīng)行齒廓修形。大量理論和試驗(yàn)已表明，齒廓修形是減小齒輪振動(dòng)、嚙合沖擊及傳動(dòng)誤差的有效手段[2]。

關(guān)于漸開線齒輪修形的研究是近年來齒輪研究的熱點(diǎn)。Tesfahunegn Y.A.等[2]使用非線性有限元法探究了齒向修形對(duì)直齒輪傳遞誤差、齒根應(yīng)力和接觸壓力的影響。LI[3]使用有限元法研究了加工誤差、裝配誤差和齒向修形對(duì)直齒輪輪齒表面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力、載荷分布和靜態(tài)傳遞誤差的影響。強(qiáng)偉等[4]研制了一種用于測(cè)量高速輪齒嚙合瞬間動(dòng)態(tài)參數(shù)的新方法。并通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法(系統(tǒng))性能穩(wěn)定，抗干擾能力極強(qiáng)，測(cè)試數(shù)據(jù)與理論分析完全符合。高揚(yáng)等[5]結(jié)合齒輪承載接觸分析、以輪齒承載接觸傳動(dòng)誤差幅值最小為優(yōu)化目標(biāo)，采用遺傳算法優(yōu)化最佳修形參數(shù)的基礎(chǔ)上，針對(duì)大量常用參數(shù)和工況下的直齒輪進(jìn)行齒廓修形計(jì)算， 利用回歸分析方法篩選數(shù)據(jù)、建立回歸模型，得到最佳修形量和反映修形效果的傳動(dòng)誤差幅值比回歸公式。劉飛濤[6]通過將齒輪的齒面接觸作為直觀判斷方法，以齒輪的傳遞誤差和變速箱軸承座孔處殼體動(dòng)態(tài)響應(yīng)作為理論判斷，借助受載齒輪接觸分析進(jìn)行仿真設(shè)計(jì)，同時(shí)進(jìn)行振動(dòng)噪聲實(shí)驗(yàn)測(cè)試，在仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)上，對(duì)現(xiàn)有變速箱齒輪進(jìn)行修形優(yōu)化，降低了由齒輪產(chǎn)生的嘯叫聲。

由于齒輪修形后齒廓曲線不再是標(biāo)準(zhǔn)漸開線，研究修形后齒輪嚙合的一個(gè)難點(diǎn)就在于修形后齒輪嚙合點(diǎn)位置以及無負(fù)載傳遞誤差的計(jì)算。本文在MATLAB中，利用變?cè)隽繜o限逼近的思想計(jì)算不同修形量下，修形齒嚙合點(diǎn)位置以及無負(fù)載傳遞誤差等參數(shù)，利用文獻(xiàn)[7]中所采用的材料力學(xué)懸臂梁理論計(jì)算齒輪受載變形、時(shí)變嚙合剛度、受載變形誤差等參數(shù)；并建立單級(jí)齒輪副傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，分析齒輪系統(tǒng)不同修形量不同轉(zhuǎn)速時(shí)齒輪副動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。

1　經(jīng)齒廓修形后齒對(duì)嚙合點(diǎn)求取

1.1齒廓修形形式

圖1　齒廓修形形式

1.2修形算例及修形參數(shù)

表1　某單級(jí)齒輪副參數(shù)

表2　修形參數(shù)

1.3修形齒嚙合點(diǎn)位置求取

對(duì)于齒輪嚙合過程中齒對(duì)嚙合點(diǎn)的求取，傳統(tǒng)的方法是采用公式計(jì)算的方法，這種方法對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)剪開線齒輪嚙合十分有效，但當(dāng)考慮齒廓修形后，齒輪曲線不再是標(biāo)準(zhǔn)漸開線，這種方法計(jì)算結(jié)果就不是很精確。為此，本文采用變?cè)隽繜o限逼近的思想，在MATLAB中編制程序求取修形齒嚙合過程中嚙合點(diǎn)位置。具體逼近的原理如圖2所示。在齒輪嚙合過程中，對(duì)于每一個(gè)主動(dòng)輪齒廓轉(zhuǎn)角，被動(dòng)輪第一次逼近時(shí)，齒廓按一較大的步進(jìn)增量角向行星輪齒廓旋轉(zhuǎn)逼近，當(dāng)主、被動(dòng)齒廓出現(xiàn)交點(diǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)方向反向，步進(jìn)增量角變?yōu)樵瓉淼?/10，進(jìn)行第二次逼近。當(dāng)主、被動(dòng)輪齒廓交點(diǎn)消失時(shí)，旋轉(zhuǎn)方向再次反向，步進(jìn)增量角再次變?yōu)樵瓉淼?/10，進(jìn)行第三次逼近。以此類推，直到步進(jìn)增量角滿足足夠精度為止。此時(shí)的交點(diǎn)A即為所求的嚙合點(diǎn)。因?yàn)椴竭M(jìn)增量角每次逼近均為上次的1/10，這種算法具有有很快的逼近速度，且通過控制逼近次數(shù)和步進(jìn)增量的大小，嚙合點(diǎn)的誤差可以達(dá)到想要的精度。

圖2　變?cè)隽繜o限逼近算法原理

從圖3中可以發(fā)現(xiàn)，修形后齒輪嚙合線不再是一條單純的直線。修形后嚙合線為一條組合線段A-F。AB、CD、EF仍為直線，BC、CD為折線段。

圖3　修形齒嚙合點(diǎn)及嚙合線

圖4　主動(dòng)輪原齒廓、修形齒廓及修形起始點(diǎn)

圖5　被動(dòng)輪原齒廓、修形齒廓及修形起始點(diǎn)

2　不同修形量下齒輪副動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析

2.1單級(jí)齒輪副動(dòng)力學(xué)模型的建立

圖6　單級(jí)齒輪副動(dòng)力學(xué)模型

本文采用文獻(xiàn)[9]和[10]中的齒輪副動(dòng)力學(xué)模型為研究對(duì)象，不考慮齒側(cè)間隙的影響，其動(dòng)力學(xué)模型如圖6所示：PQ為齒輪理論嚙合線，Ri、Ii、θi、Ti(i=1、2)分別為主、被動(dòng)輪基圓半徑、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移和所承受的轉(zhuǎn)矩，k(t)、c、e(t)分別表示嚙合齒輪副時(shí)變嚙合剛度、阻尼和靜態(tài)傳遞誤差。其動(dòng)力學(xué)方程可以表示為：

(1)

(2)

(3)

2.2時(shí)變嚙合剛度及靜態(tài)傳遞誤差計(jì)算

以表1中給出的齒輪系統(tǒng)為例，采用文獻(xiàn)[7]中所采用的材料力學(xué)懸臂梁理論計(jì)算齒輪一個(gè)嚙合周期內(nèi)齒輪時(shí)變嚙合剛度如圖7所示。

圖7　一個(gè)嚙合周期內(nèi)時(shí)變嚙合剛度

齒輪嚙合的靜態(tài)傳遞誤差是指實(shí)際嚙合位置與理論嚙合位置在嚙合作用線上的差值[1]，主要包含齒輪加工和安裝誤差，以及齒輪受載變形所造成的誤差。假設(shè)輪齒的所有嚙合位置發(fā)生在理論嚙合線上，當(dāng)齒輪引入修形時(shí)，也會(huì)使齒輪副引入無負(fù)載靜態(tài)傳遞誤差(No load transmission error,NLTE)[9]。本文只研究由受載引起的變形誤差(Deformation error,DE)和引入修形所產(chǎn)生的無負(fù)載靜態(tài)傳遞誤差(NLTE)。齒輪的傳遞誤差(Transmission error,TE)為[9]：

TE=DE1+DE2+NLTE

(4)

式(4)中DE1、DE2分別為主、從動(dòng)輪受載變形誤差。

主動(dòng)輪按一固定步進(jìn)角順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，對(duì)于每個(gè)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角，無負(fù)載靜態(tài)傳遞誤差(NLTE)等于修形前和修形后各嚙合點(diǎn)位置之差。變形誤差(DE)可用文獻(xiàn)[7]中懸臂梁理論計(jì)算每個(gè)嚙合點(diǎn)主、從動(dòng)輪受載變形獲得。以表1中齒輪對(duì)為例，計(jì)算表2中列出不同修形量下單齒在一個(gè)嚙合周期內(nèi)總的傳遞誤差(TE)如圖8所示。

圖8　單齒嚙合周期總的傳遞誤差

2.3響應(yīng)特性分析

將計(jì)算所得時(shí)變嚙合剛度、傳遞誤差等其他相關(guān)參數(shù)帶入式(3)，利用Runge-kutta方法求解微分方程?？梢缘玫烬X輪動(dòng)態(tài)傳遞誤差x的響應(yīng)曲線。輸入轉(zhuǎn)矩為T1=5000N.m，為保持系統(tǒng)平衡，負(fù)載轉(zhuǎn)矩T2=T1/R1·R2。圖9為修形類型為D，主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速n1=7.2r/s時(shí)動(dòng)態(tài)傳遞誤差響應(yīng)曲線。對(duì)其作快速傅里葉變換，獲得動(dòng)態(tài)傳遞誤差的頻譜圖如圖10所示。對(duì)時(shí)變嚙合剛度作快速傅里葉變換，得到剛度變化曲線頻譜圖如圖11所示。表3為主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速為n1=7.2r/s時(shí)，四種修形類型下靜態(tài)傳遞誤差一次諧波分量幅值，表4為動(dòng)態(tài)傳遞誤差四次諧波分量幅值。

從表3、表4中可以看出，就本文所建立的直齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)而言，隨著修形量的增大，齒輪的靜態(tài)傳遞誤差和動(dòng)態(tài)傳遞誤差均會(huì)增大，這對(duì)齒輪傳動(dòng)是不利的。

從圖10中可以看出動(dòng)態(tài)傳遞誤差頻譜中包含剛度激勵(lì)的諧波成分和齒輪系統(tǒng)本身的固有頻率成分。從圖11中可以看出剛度激勵(lì)第一次諧波幅值最大f1=230.4Hz，但對(duì)比圖10中可以看出，對(duì)動(dòng)態(tài)傳遞誤差影響最大的卻是第四次諧波分量f2=921.6Hz。從圖10中還可以看出，響應(yīng)頻譜除了包含剛度激勵(lì)的頻譜成分以外，還包含基頻約為239.4Hz的諧波分量F2=505.1Hz，F(xiàn)3=735.8Hz，F(xiàn)4=966.2Hz，F(xiàn)5=1197Hz，F(xiàn)6=1427Hz。這種諧波類似于系統(tǒng)的固有頻率，但會(huì)隨著轉(zhuǎn)速的變化而變化，當(dāng)其與剛度激勵(lì)諧波基頻重合時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)傳遞誤差會(huì)發(fā)生振幅越來越大的情況，如圖12所示為修形類型為D，主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速n1=6.0r/s時(shí)，動(dòng)態(tài)傳遞誤差響應(yīng)曲線。圖13、圖14為對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)傳遞誤差和時(shí)變嚙合剛度頻譜圖。從圖12中可以看出動(dòng)態(tài)傳遞誤差隨著時(shí)間的推移，振動(dòng)的幅值越來越大。分析其動(dòng)態(tài)傳遞誤差和時(shí)變嚙合剛度頻譜，對(duì)比圖10發(fā)現(xiàn)，剛度激勵(lì)頻率與系統(tǒng)固有頻率發(fā)生了重合，也就造成了動(dòng)態(tài)傳遞誤差振動(dòng)幅值越來越大。

圖9　轉(zhuǎn)速為動(dòng)7.2r/s態(tài)傳遞誤差響應(yīng)曲線

圖10　轉(zhuǎn)速為動(dòng)7.2r/s動(dòng)態(tài)傳遞誤差頻譜圖

圖11　轉(zhuǎn)速為動(dòng)7.2r/s時(shí)變嚙合剛度頻譜圖

修形類型ABCD幅值(mm)3.477e-60.023790.047690.1192

表4　動(dòng)態(tài)傳遞誤差四次諧波分量幅值

圖12　轉(zhuǎn)速為動(dòng)6.0r/s態(tài)傳遞誤差響應(yīng)曲線

圖13　轉(zhuǎn)速為動(dòng)6.0r/s動(dòng)態(tài)傳遞誤差頻譜圖

圖14　轉(zhuǎn)速為動(dòng)6.0r/s時(shí)變嚙合剛度頻譜圖

3　結(jié)論

(1) 在MATLAB中，利用變?cè)隽繜o限逼近的思想計(jì)算了不同修形量下，修形齒嚙合點(diǎn)位置以及無負(fù)載傳遞誤差等參數(shù)；

(2) 采用的材料力學(xué)懸臂梁理論計(jì)算了齒輪受載變形、時(shí)變嚙合剛度、受載變形誤差等參數(shù)；

(3) 建立了單級(jí)齒輪副傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，分析齒輪系統(tǒng)不同修形量不同轉(zhuǎn)速時(shí)齒輪副動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。發(fā)現(xiàn)動(dòng)態(tài)傳遞誤差頻譜中包含剛度激勵(lì)的諧波成分和齒輪系統(tǒng)本身的固有頻率成分，當(dāng)兩頻率成分發(fā)生重合時(shí)，齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)傳遞誤差的振動(dòng)幅值會(huì)隨著時(shí)間的推移，越來越大，這是應(yīng)當(dāng)極力避免的。

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(編輯趙蓉)

Numerical Analysis of the Dynamic Response Characteristics of Spur Gear Transmission System Considering Tooth Profile Modification

XU Tao-jin,LIANG Ju-ke

(College of Mechanical Engineering,Chongqing University of Technology,Chongqing 400054,China)

The time-varying mesh stiffness and static transmission error of a spur gear pair were calculated with different tooth profile modification.And a spur gear transmission system model was built to study it’s dynamic response characteristics with different tooth profile modification.For the spur gear transmission system built in this paper,research shows that,with the increase of the amount of tooth profile modification,the static and dynamic transmission error is also increasing.The frequency spectrum dynamic transmission error contains the harmonic components of stiffness excitation and the natural frequency of gear system.When those two frequencies coincide,the vibration amplitude of the dynamic transmission error will increse with the time.Which should be avoided.

static transmission error;tooth profile modification;time-varying mesh stiffness;spur gear transmission system

1001-2265(2016)04-0093-04DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.04.025

2015-05-26

國(guó)家科技支撐計(jì)劃課題(2012BAA01B05)；重慶理工大學(xué)研究生創(chuàng)新基金 (YCX2014209)

徐濤金(1991—)，男，重慶人，重慶理工大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)及理論，(E-mail)hardsen@163.com。

TH113.1；TG65

A