二次函數(shù)系數(shù)式符號的判定

□宋毓彬

二次函數(shù)系數(shù)式符號的判定

□宋毓彬

一、判別二次函數(shù)系數(shù)式的幾個關(guān)鍵要素

（1）確定a、b、c符號的方法

①a的符號由拋物線開口方向確定：

開口向上，a＞0；

開口向下，a＜0.

②b的符號由拋物線對稱軸位置結(jié)合開口方向確定：

③c的符號由函數(shù)圖象與y軸交點（0，c）的位置確定：

交點位于y軸正半軸，c＞0；交點位于y軸負半軸，c＜0；交點為原點時，c=0.

（2）對稱軸的作用

②拋物線具有對稱性，拋物線上關(guān)于對稱軸對稱的兩個點的縱坐標相同（即函數(shù)值相等）.

（4）由拋物線上特殊點的位置判定特殊系數(shù)式的符號

如x=1時，y=a+b+c；x=-1時，y=a-b+c；x=2時，y=4a+ 2b+c；x=-2時，y=4a-2b+c等系數(shù)式，其符號可由圖象上對應(yīng)的點的位置來確定，對應(yīng)點在x軸上方，y＞0；對應(yīng)點在x軸下方，y＜0.

（5）由拋物線與x軸的交點情況確定判別式的符號

拋物線與x軸有兩個交點，Δ= b2-4ac＞0；拋物線與x軸有一個交點，Δ=b2-4ac=0；拋物線與x軸無交點，Δ=b2-4ac＜0.

（6）由拋物線與x軸交點坐標確定函數(shù)值y的取值范圍及a、b、c符號

拋物線與x軸相交于（x1，0）、（x2，0）.

①a＞0時，x1＜x＜x2，y＜0（對應(yīng)的函數(shù)值在x軸下方，中間）；x＜x1或x＞x2，y＞0（對應(yīng)的函數(shù)值在x軸上方，兩邊）.

a＜0時，x1＜x＜x2，y＞0（對應(yīng)的函數(shù)值在x軸下方，中間）；x＜x1或x＞x2，y＜0；（對應(yīng)的函數(shù)值在x軸上方，兩邊）

②由根與系數(shù)關(guān)系判別a、b、c符號，如交點都在左半軸上，則有知 a、c異號且a、b同號.

二、應(yīng)用舉例

例1二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖象如圖1所示，則下列關(guān)系式成立的是（）.

B.a+b+c＜0

C.a2＞ab-ac

D.4ac-b2＞0

圖1

解析：①由拋物線開口向下，故a＜0；對稱軸在y軸右側(cè)，x=與a異號，故b＞0；拋物線與y軸相交于正半軸，故c＞0.

因此abc＜0，故A錯.

②當(dāng)x=1時，y=a+b+c，而拋物線上x=1的對應(yīng)點在x軸上方，即y＞0，因此a+b+c＞0，故B錯.

③當(dāng)x=-1時，y=a-b+c，由圖象可知，x=-1時，y＜0，即ab+c＜0，得a＜b-c，

驅(qū)動模塊設(shè)計以直流電機和舵機為主，直流電機控制容易，舵機容易提供更大的扭力。相對于不同的障礙應(yīng)選不同的電機和裝配方式。通常情況下，六電機、[1]六輪式機器人具有越障能力高、承載能力強、結(jié)構(gòu)和控制簡單、轉(zhuǎn)向靈活、工作效率高等優(yōu)勢。

又a＜0，所以a2＞ab-ac，

故C正確.

④由拋物線與x軸有兩個交點，b2-4ac＞0，

所以4ac-b2＜0，故D錯，

故關(guān)系式成立的是C.

例2已知二次函數(shù)y=ax2+ bx+c（a≠0）圖象如圖2所示，則下列5個結(jié)論：

①abc＞0；②b＜a+c；③4a+ 2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）.

其中正確的結(jié)論有（）.

A.2個B.3個

C.4個D.5個

圖2

解析：①同例1①，故①錯；

②同例1③，b＞a+c，故②錯.

③當(dāng)x=2時，y=4a+2b+c，

由圖象可知，x=2時，y＞0，

∴4a+2b+c＞0，故③對.

∴b=-2a.

由②知a+c＜b，

∴2a+2c＜2b，∴2c＜3b，

故④對.

⑤由拋物線對稱軸為x=1，y最大值為a+b+c；當(dāng)x=m（m≠1）時，y=am2+bm+c，

∴a+b+c＞am2+bm+c，

即a+b＞m（am+b）（m≠1），

故⑤對.

綜上，正確的結(jié)論有③④⑤共3個，故選B.

例3圖3是二次函數(shù)y=ax2+ bx+c圖象的一部分，其對稱軸為x=-1，且過點（-3，0）.

下列說法：

①abc＜0；②2a-b=0；③4a+ 2b+c＜0；④若是拋物線上兩點，則y1＞y2.

其中說法正確的是（）.

圖3

A.①②B.②③

C.①②④D.②③④

解析：①拋物線開口向上，故a＞0；對稱軸在y軸左側(cè)，a、b同號，故b＞0；圖象與y軸相交于負半軸，故c＜0.∴abc＜0，故①對.

③當(dāng)x=2時，y=4a+2b+c，由圖象可知，x=2與x=-4所對應(yīng)的點為對稱點，y＞0，

∴4a+2b+c＞0，故③錯誤.

綜上，結(jié)論①②④正確，故選C.