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    分類討論莫入“陷阱”

    2016-10-26 05:28:41朱元生
    初中生天地 2016年27期
    關(guān)鍵詞:朱丹坐標(biāo)軸交點(diǎn)

    □朱元生

    分類討論莫入“陷阱”

    □朱元生

    老師:二次函數(shù)既是初中數(shù)學(xué)的重要知識點(diǎn),也是中考的熱點(diǎn).但若概念模糊,忽視隱含條件,考慮問題不周密,常會產(chǎn)生錯(cuò)誤的判斷,導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論.現(xiàn)在和同學(xué)們一起探討幾個(gè)問題.

    (別看問題較難,還真有不少同學(xué)舉起了手)

    解得m>-4.

    又m+3≠0,即m≠-3,

    故m的取值范圍為m>-4且m≠-3.

    老師:王慧同學(xué)的解答正確嗎?

    葉?。翰蝗妫?yàn)轭}設(shè)并沒有指明是二次函數(shù)還是一次函數(shù),函數(shù)圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)或有兩個(gè)交點(diǎn)都符合題意,因此必須分類討論.

    ①當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù),且圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn),這時(shí)就是王慧同學(xué)的解答;

    ②當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù),且圖象與x軸只有1個(gè)交點(diǎn),則△=0,解得m=-4;

    ③當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù),這時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)m+3=0,即m=-3,這時(shí)函數(shù)為,它與x軸有一個(gè)交點(diǎn)

    綜上所述,m的取值范圍應(yīng)為m≥-4.

    老師:葉巍同學(xué)的解答很全面,就應(yīng)這樣來分析.現(xiàn)在我們再一起思考下面這道題.

    例2已知當(dāng)-2≤x≤1時(shí),二次函數(shù)y=-(x-k)2+k2+1有最大值4,試求實(shí)數(shù)k的值.

    (又有很多同學(xué)舉起了手)

    盧霞:由題設(shè)可知,拋物線的開口向下,對稱軸為x=k,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(k,k2+1).

    當(dāng)-2≤k≤1時(shí),最大值k2+1=4,解得

    老師:盧霞同學(xué)的解答正確嗎?

    朱丹:不正確.首先k2=不在-2≤k≤1范圍內(nèi),應(yīng)舍去.同時(shí)k的取值也不一定局限于-2≤k≤1范圍內(nèi).

    ①當(dāng)k<-2時(shí),可知當(dāng)x=-2時(shí)有最大值,即-(-2-k)2+k2+1=4,解得(不合題意舍去);

    ②當(dāng)k>1時(shí),可知當(dāng)x=1時(shí)有最大值,即-(1-k)2+k2+1=4,解得k=2.

    (同學(xué)們熱烈鼓掌,一致認(rèn)為朱丹同學(xué)的分析太好了)

    老師:好,朱丹同學(xué)的解答確實(shí)很好!最后還有一道題,請同學(xué)們再考慮一下.

    例3試求函數(shù)y=(k-1)x2-2kx+k的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

    (這次舉手的同學(xué)更多了)

    祁婷婷:令(k-1)x2-2kx+k=0,解得令x=0,得到y(tǒng)=k.

    老師:祁婷婷同學(xué)的解答對不對呢?

    周燕:不夠完整.由于函數(shù)解析式中含有待定系數(shù),由于系數(shù)的不同可能得到不同類型的函數(shù),如果是二次函數(shù),還要對二次函數(shù)的判別式加以討論.

    (1)當(dāng)k=1時(shí),函數(shù)為y=-2x+1,這時(shí)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)和(

    (2)當(dāng)k≠1時(shí),△=(-2k)2-4(k-1)·k=4k.

    ①若k<0,則△<0,此時(shí)拋物線與x軸無交點(diǎn),但與y軸交點(diǎn)為(0,k);

    ②若k=0,函數(shù)為y=-x2,此時(shí)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0);

    ③若k>0,且k≠1時(shí),則△>0,此時(shí)就是祁婷婷同學(xué)的解法,得到拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和(0,k).

    (又是一陣熱烈的掌聲)

    老師:周燕同學(xué)的分析同樣很精辟,從以上幾例可以體會到解題時(shí)一定要全面思考,充分挖掘隱含條件,不重不漏地進(jìn)行分類討論,切忌受思維定勢的影響,以偏概全,掛一漏萬,導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論.

    下面還有兩道題,有興趣的同學(xué)可以繼續(xù)探討:

    1.已知關(guān)于x的函數(shù)y=(m+1)x2-2mx+m-2的圖象與x軸總有交點(diǎn),試求m的取值范圍.

    參考答案:

    1.m≥-2 2.a的取值為0、2或-2.

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