拋物線的變換

□劉頓

拋物線的變換

□劉頓

二次函數(shù)是中考重要而常見的考點(diǎn)，且大多出現(xiàn)在綜合題和壓軸題中，其中有關(guān)拋物線的變換更是頻頻亮相，現(xiàn)歸類說(shuō)明，供參考！

一、拋物線的旋轉(zhuǎn)

例1（2016·菏澤）如圖1，一段拋物線：y=-x（x-2）（0≤x≤2）記為C1，它與x軸交于兩點(diǎn)O、A1；將C1繞A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2，交x軸于A2；將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180°得到C3，交x軸于A3；……如此進(jìn)行下去，直至得到C6.若點(diǎn)P（11，m）在第6段拋物線C6上，則m=________.

圖1

分析：將拋物線C1通過(guò)配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)并求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以知道C1與C2的頂點(diǎn)到x軸的距離相等，且OA1=A1A2，照此類推可以知道點(diǎn)P（11，m）為拋物線C6的頂點(diǎn)，從而得到結(jié)果.

解：∵y=-x（x-2）（0≤x≤2），

∴配方，得y=-（x-1）2+1（0≤x≤2），

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），

∴A1坐標(biāo)為（2，0），

∵C2由C1旋轉(zhuǎn)得到，

∴OA1=A1A2，

即C2頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-1），A2（4，0）；照此類推可知，C3頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，1），A3（6，0）；C4頂點(diǎn)坐標(biāo)為（7，-1），A4（8，0）；C5頂點(diǎn)坐標(biāo)為（9，1），A5（10，0）；C6頂點(diǎn)坐標(biāo)為（11，-1），A6（12，0），∴m=-1.

點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

二、拋物線的平移

例2（2016·金華）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，平行于x軸的直線與拋物線L：y=ax2相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在第一象限），點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上.

（1）已知a=1，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2.

①如圖2，向右平移拋物線L使該拋物線過(guò)點(diǎn)B，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，求AC的長(zhǎng).

圖2

圖3

（2）如圖4，若BD=AB，過(guò)O、B、D三點(diǎn)的拋物線L3，頂點(diǎn)為P，對(duì)應(yīng)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為a3，過(guò)點(diǎn)P作PE∥x軸，交拋物線L于E、F兩點(diǎn)，求的值，并直接寫出的值.

圖4

分析：（1）①根據(jù)函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出AC的長(zhǎng)；②作拋物線L2的對(duì)稱軸與AD相交于點(diǎn)N，根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性求出OM，利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）過(guò)點(diǎn)B作BK⊥x軸于點(diǎn)K，設(shè)OK=t，得到OG=4t，利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)B（t，at2），求出的值，根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出的值.

解：（1）①二次函數(shù)y=ax2，

當(dāng)y=2時(shí)，2=x2，

∵平移得到的拋物線L1經(jīng)過(guò)點(diǎn)

②作拋物線L2的對(duì)稱軸與AD相交于點(diǎn)N，如圖3，根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性，得

設(shè)拋物線L2的函數(shù)表達(dá)式為

解得a=4.

∴拋物線L2的函數(shù)表達(dá)式為

（2）如圖4，拋物線L3與x軸交于點(diǎn)G，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)B作BK⊥x軸于點(diǎn)K.

設(shè)OK=t，則AB=BD=2t，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t，at2），根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性，得OQ=2t，OG=2OQ=4t.

設(shè)拋物線L3的函數(shù)表達(dá)式為y=a3x（x-4t），

∵該拋物線過(guò)點(diǎn)B（t，at2），

∴at2=a3t（t-4t），

由題意得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2t，-4a3t2），則-4a3t2=ax2，

點(diǎn)評(píng)：靈活運(yùn)用待定系數(shù)法求

出函數(shù)解析式，掌握拋物線的對(duì)稱性、正確理解拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵.

三、拋物線的翻折

例3（2016·宜賓）如圖5，已知二次函數(shù)y1=ax2+bx過(guò)（-2，4）、（-4，4）兩點(diǎn).

圖5

（1）求二次函數(shù)y1的解析式.

（2）將y1沿x軸翻折，再向右平移2個(gè)單位，得到拋物線y2，直線y= m（m＞0）交y2于M、N兩點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)度（用含m的代數(shù)式表示）.

（3）在（2）的條件下，y1、y2交于A、B兩點(diǎn)，如果直線y=m與y1、y2的圖象形成的封閉曲線交于C、D兩點(diǎn)（C在左側(cè)），直線y=-m與y1、y2的圖象形成的封閉曲線交于E、F兩點(diǎn)（E在左側(cè)），求證：四邊形CEFD是平行四邊形.

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題.

（2）利用圖形翻折的原理，先求出拋物線y2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再求出其解析式，利用方程組以及根與系數(shù)關(guān)系即可求出MN.

（3）用類似（2）的方法分別求出CD、EF，即可解決問(wèn)題.

解：（1）∵二次函數(shù)y1=ax2+ bx過(guò)（-2，4）、（-4，4）兩點(diǎn)，

∴二次函數(shù)y1的解析式為

∵將y1沿x軸翻折，再向右平移2個(gè)單位，得到拋物線y2，則拋物線y2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

∴拋物線y2為

消去y并整理得

x2+2x-8-2m=0，

設(shè)x1、x2是它的兩個(gè)根，

則x1+x2=-2，x1x2=-8-2m，

設(shè)其兩個(gè)根為x1，x2，

則CD=|x1-x2|

設(shè)其兩個(gè)根為x1，x2，

則EF=|x1-x2|

即EF=CD，又EF∥CD，

故四邊形CEFD是平行四邊形.

點(diǎn)評(píng)：本題涉及二次函數(shù)、根與系數(shù)關(guān)系、平行四邊形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，記住公式|x1-x2|=屬于中考?jí)狠S題.