從一道向量題的一題多解中感悟數(shù)學(xué)解題的“真諦”

徐良鋒

向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，一方面它自身具有很強(qiáng)的知識(shí)性與方法性，題型變化多，解題靈活性大，另一方面它與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容聯(lián)系十分緊密，具有很強(qiáng)基礎(chǔ)性與工具性.因此，學(xué)習(xí)與研究向量問(wèn)題的解法對(duì)于提高我們分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力具有十分重要的意義，下面就通過(guò)向量問(wèn)題的一題多解，與讀者一起感悟數(shù)學(xué)解題的“真諦”

評(píng)注以上解法是利用了共線向量的通性，但過(guò)程不是很簡(jiǎn)單，其實(shí)我們仔細(xì)觀察條件等式，還可以通過(guò)簡(jiǎn)化形式，得到一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的方法. 評(píng)注解法2先是對(duì)題設(shè)中的等式進(jìn)行了變形，即通過(guò)優(yōu)化條件，然后再數(shù)形結(jié)合找到了一種解決問(wèn)題簡(jiǎn)單辦法，其實(shí)，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想大都一樣，先簡(jiǎn)化題設(shè)中的條件與結(jié)論，然后再去尋求解題的最佳途徑.

評(píng)注解法3將一般情形特殊化，這樣有助于復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，如果結(jié)論是一個(gè)填空題，還可以再進(jìn)一步特殊化：在物理學(xué)中我們知道三個(gè)大小一樣互相成120°的三個(gè)力作用于同一點(diǎn)合力為0.利用這個(gè)模型求解此例會(huì)更簡(jiǎn)明，也更易讓人理解與接受.

解法4由平面向量的基本定理，我們知道，平面上的任一個(gè)向量都可以用一組基向量表示出來(lái)，且表示的形式唯一，這樣不妨讓我們用基向量思想方法來(lái)進(jìn)行求解.

評(píng)注解法4充分利用了平面向量的基本定理，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，并充分利用了平面幾何性質(zhì)，得到了一種簡(jiǎn)單的求解方法，其實(shí)，此例作為一個(gè)填空題，在不影響條件的情況下，我們還可以利用特殊的思想，選用以單位正交向量為基底，利用坐標(biāo)的形式進(jìn)行求解.