一道中考數(shù)學(xué)壓軸試題的命題背景探究

張錦州　楊蒼洲

近日在泉州市的一次數(shù)學(xué)沙龍上，筆者與同行們研究了2013年福建省泉州市中考數(shù)學(xué)的壓軸試題.研究過程中，除了研究試題的解法之外，我們還從命題的角度研究試題的命制.究竟命題者是如何命制出如此漂亮的試題？經(jīng)過深入挖掘，我們發(fā)現(xiàn)這個試題是基于橢圓的第二定義進(jìn)行的命制，是高中數(shù)學(xué)解析幾何內(nèi)容中一個常見的基本問題.現(xiàn)筆者展示對此試題的探究過程，與讀者交流.2命題過程還原

壓軸題的壓軸步驟決定了試題的難度.因此，命題者往往先考慮如何設(shè)置壓軸步驟的問題.一旦壓軸問題確定，即可在前面的設(shè)問中設(shè)置問題臺階，讓試題的設(shè)問環(huán)環(huán)相扣，一氣呵成.因此探究本題的壓軸步驟是研究本題的關(guān)鍵.

從上述問題（2）（3）的分析過程，可知本題是以橢圓為背景命制的試題.命題者通過對問題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，巧妙地隱去橢圓，嵌入三角形、平行線、相似形等初中數(shù)學(xué)的主干知識，把高中數(shù)學(xué)的問題轉(zhuǎn)化成初中考生能夠解決的問題，實(shí)現(xiàn)了對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本思想方法的考查.

本題的命題者應(yīng)當(dāng)對高中數(shù)學(xué)相對比較熟悉，而且具有豐富的命題經(jīng)驗(yàn).他是如何編擬出本題的呢？下面，筆者對命題過程作一還原模擬.

（3）隱去干擾元素，建立直角坐標(biāo)

命題者隱去題中的干擾元素（如圖8），使得圖形簡潔美觀，同時也使得解題者更加難以識破試題的背景.

為了方便表述，命題者以D為原點(diǎn)，建立了平面直角坐標(biāo)系.同時為了試題的美，命題者把四邊形OBc特殊化為正方形（如圖9）