類比“等差數(shù)列”探究“等比數(shù)列”

王耀文

新的課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，注重經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比的思維過程，下面就在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列所有內(nèi)容的前提下，如何引導(dǎo)學(xué)生類比已學(xué)等差數(shù)列的知識(shí)和研究等比數(shù)列的方法探究“等比數(shù)列”談?wù)勛约旱南敕ǎ凑?qǐng)各位同仁提出寶貴意見，

1.復(fù)習(xí)回顧（意在進(jìn)一步掌握等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，為學(xué)習(xí)等比數(shù)列做鋪墊）

教師：在等差數(shù)列的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？哪些方法？請(qǐng)?zhí)钤谙卤淼诙校?/p>

2.新課引入（意在引導(dǎo)學(xué)生類比聯(lián)想，通過探討發(fā)現(xiàn)特殊數(shù)列除了等差數(shù)列外，還應(yīng)有等和數(shù)列、等積數(shù)列、等比數(shù)列）

教師：等差數(shù)列是指后項(xiàng)與前一項(xiàng)的差的運(yùn)算，能否將差的運(yùn)算替換為其它運(yùn)算呢？請(qǐng)同學(xué)們思考，這樣的數(shù)列是否存在，若存在，請(qǐng)舉出具體的例子，5分鐘后，

學(xué)生l：若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的和都等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是否可稱為等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為公和，這種數(shù)列很簡(jiǎn)單，比如首項(xiàng)為l，公和為3的等和數(shù)列為：1，4，1，4，1，4，......它的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都比較簡(jiǎn)單，

學(xué)生2：若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的積都等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是否可稱為等積數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為公積，這種數(shù)列也很簡(jiǎn)單，比如首項(xiàng)為l，公積為3的等積數(shù)列為：1，3，1，3，1，3，…，它的通項(xiàng)公式及前n和公式也都比較簡(jiǎn)單，

學(xué)生3：若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的商（或比）都等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是否可稱為等商（比）數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為公商（比），這種數(shù)列有點(diǎn)類似等差數(shù)列，但又不同，比如由定義，在等比數(shù)列中任意一項(xiàng)都不為0且公比也不為0，

筆者肯定了學(xué)生的想法，并指出：由于等和數(shù)列和等積數(shù)列比較簡(jiǎn)單，我們很容易利用定義根據(jù)它的首項(xiàng)、公和（或公積）給出它的通項(xiàng)公式和前”項(xiàng)和公式，因此教材中沒有涉及，但在一些考卷中出現(xiàn)過，主要考查考生們的閱讀理解能力和數(shù)學(xué)能力，從剛才同學(xué)們的回答我們已經(jīng)解決了這兩類數(shù)列的基本問題，而等比數(shù)列和等差數(shù)列很類似，但又有區(qū)別，下面我們類比等差數(shù)列的研究方法來學(xué)習(xí)研究等比數(shù)列，

3.新課探究（意在放手學(xué)生，讓他們大膽猜想、探索）

教師：請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立思考，類比第2列填寫上表的第3列，要求先填寫自己能獨(dú)立解決的問題，然后以小組為單位，交流、思考、補(bǔ)充，

臨近下課時(shí)，經(jīng)過學(xué)生的共同努力，完成了除前”項(xiàng)和公式外的所有內(nèi)容（見表格），教師表揚(yáng)了同學(xué)們，并要求學(xué)生課后試著推導(dǎo)等比數(shù)列前”項(xiàng)和公式（要求如果直接討論有難度的話，可以先討論：

這3個(gè)練習(xí)的目的是：（1）判斷是否為等比數(shù)列；（2）如果是等比數(shù)列，公比是否為l；（3）滿足等比數(shù)列求和公式時(shí)，一定要注意求多少項(xiàng)的和；（4）獨(dú)立思考：一個(gè)數(shù)列有等比數(shù)列的背景時(shí)，求和是否可考慮錯(cuò)位相減法；（5）理解錯(cuò)位相減法：步驟：列式、錯(cuò)位、相減，“錯(cuò)位”的目的是對(duì)其同類項(xiàng)，是為了后面計(jì)算不錯(cuò)，

4.課后反思

顯然，這樣的設(shè)計(jì)是在明確目標(biāo)的前提下，學(xué)生在已有等差數(shù)列知識(shí)和研究方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行的自主探究，學(xué)生研究的熱情比較高漲，而且從作業(yè)反饋的信息來看，效果也比較好，因此，教師在教學(xué)中一定要樹立“以人為本”的理念，相信學(xué)生，放手使他們大膽探究，