應(yīng)重視對數(shù)學(xué)難點概念的深度解讀

孔小明 項美霞 陳蕾

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念教學(xué)始終處于數(shù)學(xué)教學(xué)的核心地位，幾乎所有高中數(shù)學(xué)教師都有這樣體會：在對高中數(shù)學(xué)幾百個概念進(jìn)行教學(xué)時，的的確確存在著這樣一些重要的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生在學(xué)習(xí)這些概念時普遍感到難以理解和掌握，成為他們在概念學(xué)習(xí)中的難點；教師對這些概念的教學(xué)也感到難以把握、難以突破，成為教師在概念教學(xué)中的難點，這樣的一些概念，我們不妨稱之為難點概念，

通過查閱相關(guān)資料與討論，筆者認(rèn)為，高中數(shù)學(xué)難點概念的成因主要有：（1）概念本身問題：部分概念抽象層級多，抽象思維和邏輯思維要求高，表征方法少，具體化、形象化困難，理解難度大；（2）教材編寫中的問題：部分概念定義的文字表述過長、語言枯燥、符號抽象難懂，教材中對概念的形成提供的感性材料不夠充分，鞏固概念的配套練習(xí)不夠恰當(dāng)，教學(xué)課時安排過于緊張，學(xué)生缺乏深入理解所必須的時間；（3）教師教學(xué)中的問題：對所引入概念的必要性（背景）闡述不夠重視；對概念本質(zhì)屬性的剖析不夠到位，沒有從文字?jǐn)⑹?、圖形、數(shù)學(xué)符號等多角度地揭示概念的內(nèi)涵和外延；對概念辨析的教學(xué)環(huán)節(jié)重視不夠，普遍存在以解題代替鞏固練習(xí)的現(xiàn)象；（4）學(xué)生學(xué)習(xí)中的問題：不能理解部分概念學(xué)習(xí)的必要性，學(xué)習(xí)動力不足；上位概念理解不深、固定點知識薄弱；語言轉(zhuǎn)換能力缺乏，難以用自己的語言表述概念；表征方法少，缺乏原型和樣例支撐；不清楚相關(guān)概念的內(nèi)在聯(lián)系，無法形成恰當(dāng)?shù)母拍罹W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，

有效提升學(xué)生學(xué)習(xí)力的基礎(chǔ)之一就是讓學(xué)生理解概念，而要讓學(xué)生理解概念，教師首先自己要理解概念，為此，我校數(shù)學(xué)學(xué)科組開展了“高中數(shù)學(xué)難點概念解讀”為主題的學(xué)科校本研修活動，提出概念的解讀也要高立意的要求，體現(xiàn)在能宏觀把握數(shù)學(xué)概念在中學(xué)階段的地位與作用，明確這個數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵——對象的“質(zhì)”的特征，及其外延——對象的“量”的范圍，挖掘依附于概念的數(shù)學(xué)思想方法，從前后知識聯(lián)系的角度審視概念，在概念體系中認(rèn)識概念等，只有這樣，概念的教學(xué)才能循序漸進(jìn)，具體教學(xué)才能抓住教學(xué)核心，摒棄細(xì)枝末節(jié)，即一節(jié)課中到底講些什么，哪些重點講，哪些不需講，哪些本課之前講，哪些后續(xù)講等，提高概念的教學(xué)效率，

以下我們以“曲線與方程”的概念解讀為例，談?wù)勅绾螌?shù)學(xué)難點概念進(jìn)行深入解讀，

1.地位作用

“曲線與方程”是人教c版教材選修2一l中第二章“圓錐曲線與方程”第一節(jié)“曲線與方程”第一課時的內(nèi)容，是在學(xué)生已學(xué)過必修2中的直線與方程、圓與方程內(nèi)容的基礎(chǔ)上，繼續(xù)學(xué)習(xí)“圓錐曲線與方程”的起始課，具有承上啟下的作用，由于解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法來研究幾何問題，即通過研究曲線的方程來研究曲線的性質(zhì)，這就帶來一個關(guān)鍵性的問題，為什么能通過研究方程來研究曲線？即怎樣保證這種研究的可靠性，

“曲線的方程”與“方程的曲線”是解析幾何的基本概念，解析幾何的兩個基本問題（建立曲線方程和利用方程研究曲線的性質(zhì)），都是以這兩個概念為基礎(chǔ)的，該內(nèi)容安排于直線與圓的方程之后，是讓學(xué)生對曲線的方程的認(rèn)識經(jīng)歷從“觀念”到“概念”的螺旋上升過程，又使后續(xù)研究圓錐曲線等內(nèi)容的理論基礎(chǔ)，使得學(xué)生對曲線與方程的關(guān)系有一個更加系統(tǒng)、完整的認(rèn)識，更為重要的是，人們可以借助曲線與方程之間互為表示的等價關(guān)系，通過方程來研究曲線，因此，“曲線的方程”與“方程的曲線”概念是解析幾何的核心概念，

2.內(nèi)容解析

“曲線的方程”與“方程的曲線”的定義：一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線c（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程f（x，y）=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：

（1）曲線上點的坐標(biāo)都是這個方程的解；

（2）以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點，

那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線，

在平面直角坐標(biāo)系建立以后，任何曲線都有惟一的方程，任何方程也都有惟一確定的曲線（或點集），曲線與方程之間的一一對應(yīng)的關(guān)系，是通過曲線上的點所成的集合與方程所有解所構(gòu)成的集合之間存在一一對應(yīng)關(guān)系來建立的，定義中，條件（1）中“都”字闡明了曲線上每一點的坐標(biāo)都滿足方程，保證了曲線對于方程的純粹性；同樣地，（2）中“都”字闡明了符合條件的所有點都在曲線上，保證了曲線對于方程的完備性，純粹性與完備性合起來，保證了曲線與方程的等價性，這是曲線的方程概念的本質(zhì)屬性，

從集合角度看，如果把直角坐標(biāo)平面內(nèi)曲線上的點所組成的集合記作A，方程F（x，y）=0的解所對應(yīng)點的集合記作日，那么定義中（1）用集合關(guān)系表示就是A∈B，定義中（2）用集合關(guān)系表示就是B∈A，兩者合起來即A=B，這是從集合角度對曲線與方程關(guān)系的解釋，

“曲線的方程”與“方程的曲線”是同一事物的兩種表現(xiàn)形式，只是定義的主體不同，曲線的方程反映的是圖形所滿足的數(shù)量關(guān)系，方程的曲線反映的是數(shù)量關(guān)系所表示的圖形，“曲線與方程”概念所界定的既不是具體直觀的曲線，也不是具體實在的方程，而是它們之間相互的“隸屬關(guān)系”，跨越幾何和代數(shù)兩界，認(rèn)識這種隸屬關(guān)系并能應(yīng)用，是教學(xué)的著力點和落腳點，

“曲線與方程”一方面要從形到數(shù)，即繪出曲線，寫出相應(yīng)方程；另一方面要從數(shù)到形，即給出方程及其要求，畫出相應(yīng)曲線，揭示幾何中的形與代數(shù)中的數(shù)相互統(tǒng)一的關(guān)系，體現(xiàn)解析幾何的核心——數(shù)形結(jié)合的思想，為“作形判數(shù)”與“就數(shù)論形”的相互轉(zhuǎn)化開辟了途徑，是數(shù)學(xué)方法論上的一次飛躍，

3.學(xué)情分析

3.1知識與認(rèn)知基礎(chǔ)

就學(xué)生而言，在這節(jié)課之前，他們已經(jīng)在必修課程《數(shù)學(xué)2》的直線與方程、圓與方程中，討論了曲線與方程的關(guān)系，加上初中和高一學(xué)過的函數(shù)在內(nèi)，學(xué)生已有了曲線與方程的初步觀念（還不能說是“概念”），有了一定的感性認(rèn)識，也有了處理相關(guān)問題的基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，這是學(xué)生學(xué)習(xí)曲線與方程的認(rèn)知基礎(chǔ)，是學(xué)生理解曲線與方程概念的最近發(fā)展區(qū)，

3.2可能的理解障礙

首先，學(xué)生在學(xué)習(xí)曲線與方程概念之前，對曲線與方程的關(guān)系更多是從整體、宏觀角度認(rèn)識的，一般情況下，會認(rèn)為直線就是直線、圓就是圓，不會想到把它們看作滿足某種條件的點的集合，方程就是方程，不會想到把它們看作滿足某種條件的解的集合，而曲線與方程概念是通過“曲線上的點”和“方程的解（有序?qū)崝?shù)對）”之間一一對應(yīng)關(guān)系來定義的，這種考察問題角度與思維方式的變化會導(dǎo)致學(xué)生理解上的思維障礙，因此，教學(xué)設(shè)計的著力點是借助實例，將學(xué)生對曲線與方程之間的“能相互替代”“等價”“不多不少”等觀念進(jìn)行精確描述，將已有觀念明確化、概念化，

其次，在經(jīng)歷由直觀表象上升到抽象概念的過程中，學(xué)生容易對定義中為什么要規(guī)定兩個方面產(chǎn)生困惑，原因是不理解兩者缺一都將擴(kuò)大概念的外延，同時學(xué)生易將定義中的（1）（2）兩點孤立開來，認(rèn)為曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解，那么曲線就是方程的曲線，以方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點，那么方程就是曲線的方程，未能將兩個方面統(tǒng)一起來，因此，教學(xué)要通過對正、反例的充分辨析，引導(dǎo)學(xué)生明確概念的內(nèi)涵與外延，認(rèn)識到曲線的方程與方程的曲線是同一事物的兩種表現(xiàn)形式，

再次，之前學(xué)生求得的直線或圓往往是一條完整的直線或一個完整的圓，不需要去深究求得的方程是否會混入不在曲線上的點的問題，而進(jìn)入到一般的曲線的研究過程，在給定曲線一部分確定其方程時，學(xué)生會受函數(shù)定義域與值域負(fù)遷移的影響，出現(xiàn)變量范圍錯誤的現(xiàn)象，例如，對單位圓的上半圓（不含端點），其方程應(yīng)為X²+y²=1（y>o），學(xué)生會寫成X²+y²=1（-1

4.教學(xué)建議

4.1關(guān)注知識體系的螺旋上升

教師要從全套教材的結(jié)構(gòu)來認(rèn)識曲線與方程的地位，弄清知識的前后安排順序，把握好要求，體現(xiàn)知識體系的螺旋上升過程，教學(xué)要循序漸進(jìn)，水到渠成，在函數(shù)教學(xué)中，要讓學(xué)生體會到直角坐標(biāo)系中的點與其坐標(biāo)的一一對應(yīng)關(guān)系；在直線與方程、圓與方程的內(nèi)容學(xué)習(xí)中，要明確提出曲線上的點與方程的解的對應(yīng)關(guān)系，使學(xué)生能熟練地判斷給定坐標(biāo)的點是否在曲線上，熟悉曲線上點的坐標(biāo)求法，為得出曲線的方程概念埋下伏筆；在圓錐曲線方程的內(nèi)容學(xué)習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會“曲線的方程”與“方程的曲線”的關(guān)系，強(qiáng)化概念的理解，

4.2重視概念的生成過程

從既要讓學(xué)生理解“曲線與方程”的概念、又要讓學(xué)生體會“為什么要引入這個概念”出發(fā)，以學(xué)生熟悉的“直線與方程”“圓與方程”為載體，在給出抽象概念之前，通過實例，讓學(xué)生建立起“純粹性”“完備性”的充分體驗，體會到引入曲線與方程概念的必要性與合理性后，再給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，并借助反例引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行概念辨析，使學(xué)生從內(nèi)心接受“曲線的方程”“方程的曲線”這樣“顛來倒去”的數(shù)學(xué)定義，再通過給出曲線寫方程、給出方程畫出曲線的圖象，以及證明“已知方程是給出曲線的方程”等問題的探究，讓學(xué)生充分理解“曲線與方程”這一概念的內(nèi)涵與外延，領(lǐng)悟定義中①②的缺一不可性，把握概念的深層結(jié)構(gòu)，

4.3善于舉例，使抽象概念具體化

由于“曲線與方程”的概念比較抽象，教學(xué)要通過簡單、具體而又較為豐富的例子（直線、圓及其變式）完成概念同化，在概念應(yīng)用中通過進(jìn)一步的變式訓(xùn)練完成概念的順應(yīng)，從而建立起良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，教學(xué)時，應(yīng)該為學(xué)生提供各種感性材料，不斷改變其表現(xiàn)形式，合理運用變式，使學(xué)生從不同的角度去認(rèn)識概念的本質(zhì)屬性，其中，反例（非概念變式）的引入對于概念的正確理解、防止或糾正學(xué)生各種可能的錯誤觀念具有重要作用，

4.4充分發(fā)揮現(xiàn)代教育技術(shù)的作用

由于曲線的方程概念的高度抽象性，教學(xué)可借助一些軟件（如幾何畫板等）加強(qiáng)幾何直觀，使學(xué)生進(jìn)一步理解曲線與方程的關(guān)系，如在概念的生成階段，利用幾何畫板的可操作性，拖動曲線上的點，觀察其坐標(biāo)是否滿足方程，由學(xué)生說點坐標(biāo)，再繪制出點驗證其在不在曲線上，給學(xué)生直觀的體驗，讓學(xué)生初步體驗曲線上的點與方程的解之問的對應(yīng)關(guān)系，體會數(shù)與形之問的內(nèi)在聯(lián)系，為學(xué)生深刻理解曲線與方程的本質(zhì)奠定基礎(chǔ)，