留數(shù)定理計算無窮求和及其推廣

周運清，黃文濤，周愷元

(浙江省海洋大數(shù)據(jù)挖掘與應(yīng)用重點實驗室；浙江海洋學(xué)院 物理系，浙江 舟山　316000)

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留數(shù)定理計算無窮求和及其推廣

周運清，黃文濤，周愷元

(浙江省海洋大數(shù)據(jù)挖掘與應(yīng)用重點實驗室；浙江海洋學(xué)院 物理系，浙江 舟山316000)

先討論了留數(shù)定理在某些無窮項級數(shù)求和問題中的應(yīng)用，然后推廣至含正弦或余弦三角函數(shù)的無窮項級數(shù)求和，并作了嚴(yán)格證明，最后舉例中兩種方法對比說明結(jié)果的正確性，及說明留數(shù)定理在簡化無窮級數(shù)時的有效性.

留數(shù)定理;無窮項級數(shù)求和;三角函數(shù)

留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)論的重要部分，在計算實數(shù)與復(fù)數(shù)積分中都有廣泛的應(yīng)用，復(fù)變函數(shù)和數(shù)學(xué)物理方法書籍上均對這些內(nèi)容進(jìn)行了詳細(xì)的論述[1-3]，然而對留數(shù)定理在某些無窮項級數(shù)求和中的應(yīng)用論述相對較少. 最近，有作者詳細(xì)討論了應(yīng)用留數(shù)定理計算積分和一些具體級數(shù)和[4，5]. 本文則先系統(tǒng)地論述留數(shù)定理在無窮級數(shù)求和中的應(yīng)用，再推廣至含三角函數(shù)的無窮級數(shù)求和，并給出公式及其嚴(yán)格證明，最后給出一個實例，與傅里葉級數(shù)展開結(jié)果進(jìn)行比較，可以明顯看出我們結(jié)果的合理性，而文獻(xiàn)[1，2]的推廣方法欠妥.

圖1　積分圍道CN

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

把式(5)代入式(3)即可得到式(4)，即我們的推廣式(4)得證. 值得注意的是，推廣式(4)在θ=0時即為式(2).

解：由式(4)可得

(6)

由式(4)兩邊取虛部得

(7)

為了驗證我們得到的結(jié)果的正確性，把式(7)右邊進(jìn)行傅里葉級數(shù)展開得

(8)

其中傅里葉系數(shù)分別為：

(9)

當(dāng)n=1，2，3，…時

(10)

(11)

而式(7)左邊為

(12)

本文先論述了用留數(shù)定理求無窮級數(shù)的一般方法，接著推廣至含三角函數(shù)的無窮級數(shù)求和，然后舉例說明我們推廣的合理性，從例子可以看出，對于某些傅里葉級數(shù)求和問題，可以用留數(shù)定理化成較為簡單明了的結(jié)果，將更容易分析其物理規(guī)律.

[1]胡嗣柱，徐建軍. 數(shù)學(xué)物理方法解題指導(dǎo) [M]. 北京: 高等教育出版社，1997: 85；115-117.

[2]Mitrinovic D S, Keckic J D. The Cauchy Method of Residues [M]. Dordrecht: D Reidel Publishing Co，1984: 211-218.

[3]吳崇試. 數(shù)學(xué)物理方法[M]. 北京：北京大學(xué)出版社，2003: 96-97.

[4]林金楠. 基于留數(shù)定理的一種級數(shù)求和法[J]. 高等數(shù)學(xué)研究，2009(12)：110-113.

[5]朱順東. 應(yīng)用留數(shù)定理計算一類級數(shù)求和問題[J].麗水學(xué)院學(xué)報，2005，27(5):10-12.

Evaluation of infinite sum by residue theorem and its generalization

ZHOU Yun-qing, HUANG Wen-tao, ZHOU Kai-yuan

(Key Laboratory of Oceanographic Big Data Mining & Application of Zhejiang Province; Department of Physics,Zhejiang Ocean University, Zhoushan, Zhejiang 316000, China)

We discuss the method of summation of some infinite series by the residue theorem, then extend to infinite series containing trigonometric function and give rigorous proofs. Finally，we illustrate the correctness of the present results and compare the result of an example by using two different methods. From an example, we see the effectiveness of residue theorem in the simplification of infinite series.

residue theorem; sum of infinite series; trigonometric function

2015-06-24；

2015-12-01

浙江海洋學(xué)院校級重大項目(X12ZD10)和大學(xué)生科技創(chuàng)新項目(XJ201561)、浙江省自然基金項目(Y6110250，LY14A040001)、國家自然基金(11304281，31201001)資助

周運清(1976— )，男，湖北監(jiān)利人，浙江海洋學(xué)院物理系副教授，博士，主要從事大學(xué)物理和理論物理方面的教學(xué)和研究工作.

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1000- 0712(2016)04- 0026- 04