兩維離子晶體的馬德隆常數(shù)

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院,浙江 湖州　313000)

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兩維離子晶體的馬德隆常數(shù)

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院,浙江 湖州313000)

由無窮求和技巧和漸近展開，得到了兩維正方形和正六邊形晶體馬德隆常數(shù)的解析表達(dá)式.

馬德隆常數(shù)；無窮求和;正六邊形

馬德隆常數(shù)的物理意義很明確，麻煩的是如何給出解析表達(dá)式或者具體數(shù)值. 常用的手段是數(shù)值計(jì)算，文獻(xiàn)[1]數(shù)值計(jì)算了兩維正方形晶體的馬德隆常數(shù)，文獻(xiàn)[2]則給出了兩維正三角形(正六邊形)晶體馬德隆常數(shù)的數(shù)值解. 數(shù)值方法簡(jiǎn)單直觀，但要達(dá)到需要的數(shù)值精度，計(jì)算時(shí)間一般以小時(shí)為計(jì). 如果這兩個(gè)常數(shù)有解析表達(dá)式，數(shù)學(xué)軟件馬上就可以給出所需精度的數(shù)值表示. 我們發(fā)現(xiàn)，利用數(shù)學(xué)上的無窮求和技巧，是可以得到文獻(xiàn)[1,2]上兩個(gè)常數(shù)的解析表達(dá)式的. 文獻(xiàn)[2]中馬德隆常數(shù)與本文解析值前7位相同，文獻(xiàn)[3]中馬德隆常數(shù)與本文解析值前6位相同,驗(yàn)證了本文所用方法的合理正確性.

設(shè)兩維格點(diǎn)(晶體)上有固定離子，離子之間的相互作用勢(shì)是

(1)

定義無量綱的馬德隆常數(shù)為

圖1　正方形晶體離子分布示意圖

(2)

式(2)中第一個(gè)兩重?zé)o窮求和要扣除(0,0). 當(dāng)0

(4)

利用單位躍遷函數(shù)H(x)[4]，可以把式(3)中有限求和化為無窮求和

(5)

其中求和遍及除去原點(diǎn)(0,0).利用躍遷函數(shù)積分表示[4]:

(6)

以及積分變換公式:

(7)

式(5)化為

(8)

令q=exp(-(z+t))，利用兩重求和恒等式[5]:

(9)

式(8)化為

(10)

繼續(xù)利用(6)、(7)兩式，式(10)化為

(11)

考慮到躍遷函數(shù)的作用，式(11)化為

(12)

其中N(R,m)是R2/(2m+1)的整數(shù)部分. 在式(7)中，令z=k+λ，兩邊對(duì)k從0到n求和，得到

(13)

同樣兩邊對(duì)k從0到n積分，得到

(14)

式(13)減去式(14)，并利用Hurwitz Zeta 函數(shù)ζ(s,λ)[7]的積分表達(dá)式[6]：

(15)

得到

0

(16)

當(dāng)圓半徑R趨向無窮大時(shí)，利用式(16)，式(12)化為

(17)

式(17)可以化為

(18)

式(18)右邊的第一項(xiàng)是發(fā)散項(xiàng)，隨圓半徑R增大而增大. 同樣，利用兩重求和恒等式[5]

(19)

沿用以上方法，計(jì)算得到

(20)

由此得到正方形晶體馬德隆常數(shù)解析表達(dá)式為

ζ(s,3/4)][ζ(s)-ζ(s,1/2)]

(21)

(22)

這與文獻(xiàn)[3]的數(shù)值計(jì)算結(jié)果一致.

圖2　正六邊形晶體離子分布示意圖

定義無量綱的馬德隆常數(shù)為

(m+1/3)(n+1/3)]-s

(23)

由文獻(xiàn)[5]中的兩重?zé)o窮求和恒等式：

(24)

(25)

沿用以上方法，計(jì)算得到二維正六邊形晶體馬德隆常數(shù)的解析表達(dá)式為

αΔ(s)=6×3-sζ(s)[ζ(s,1/3)-ζ(s,2/3)]-

3×6-s{ζ(s,1/3)[ζ(s,1/6)-ζ(s,2/3)]+

ζ(s,2/3)[ζ(s,1/3)-ζ(s,5/6)]}

(26)

(27)

這與文獻(xiàn)[2]的數(shù)值計(jì)算結(jié)果一致.

馬德隆常數(shù)的數(shù)值計(jì)算雖然很直接,但是先要按一定規(guī)則對(duì)晶格劃分編號(hào),再手動(dòng)編寫程序,最后輸入計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算,整個(gè)過程還是麻煩. 馬德隆常數(shù)的解析計(jì)算只有有限幾種情形,包括本文的正方形晶格和正六邊形晶格,計(jì)算過程中要用到積分表示，積分變換,特殊函數(shù)和漸近展開,可以作為數(shù)學(xué)物理方法在固體物理應(yīng)用的教學(xué)例子之一.

[1]劉策軍. 二維NaCl晶體馬德隆常數(shù)計(jì)算[J]. 大學(xué)物理,1995,14(12): 21-22.

[2]黃仕華，徐晶晶. 二維三角離子晶體馬德隆常數(shù)的計(jì)算[J]. 浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007，30(3): 282-286.

[3]詹瀘成，羅志琳. 離子晶體的馬德隆常數(shù)計(jì)算[EB/OL].北京：中國(guó)科技論文在線[2010-05-06].http://www.paper.edu.cn/releasepaper/content/201005-161.

[4]躍遷函數(shù)[EB/OL]. http://mathworld.wolfram.com/HeavisideStepFunction.html

[5]Itzykson C， Luck J M. Arithmetical degeneracies in simple quantum systems[J]. J Phys A: Math Gen,1986,19: 211-239.

[6]Srivastava H M,Junesang Choi. Series associated with Zeta and related functions[M]. Kluwer Academic Press,2001: 92-93.

[7]王竹溪，郭敦仁. 特殊函數(shù)概論[M].北京：北京大學(xué)出版社，2000.

The Madelung constant of two-dimensional ion crystal

QIU Wei-gang

(School of Science,Huzhou Teachers College,Huzhou,Zhejiang 313000，China)

The analytical expression of Madelung constant of two-dimensional square and hexagon ion crystal is derived from the infinite summation technique and asymptotic expansion method.

Madelung constant;infinite summation;hexagon

2015-04-07；

2015-09-17

國(guó)家自然科學(xué)基金(11475062，11275067)資助.

邱為鋼(1975—),男,江蘇張家港人，湖州師范學(xué)院理學(xué)院副教授，博士，主要從事數(shù)學(xué)物理和大學(xué)物理的教學(xué)研究工作.

教學(xué)討論

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A

1000- 0712(2016)04- 0019- 03