旋度概念的從頭構(gòu)建法

羅 凌 霄

(大理大學(xué) 工程學(xué)院，云南 大理　671003)

?

旋度概念的從頭構(gòu)建法

羅 凌 霄

(大理大學(xué) 工程學(xué)院，云南 大理671003)

矢量場(chǎng)；環(huán)量面密度；旋度

在矢量分析和場(chǎng)論中，旋度理論是建立在斯托克斯公式基礎(chǔ)之上的，旋度概念的建立頗費(fèi)周折[1].另外，旋度的確切含義也往往闡述得不清楚[2].更由于采用了不良的符號(hào)系統(tǒng)，導(dǎo)致公式不容易記憶，與物理學(xué)的銜接較差，導(dǎo)致電動(dòng)力學(xué)、電磁場(chǎng)理論這些課里還須重講旋度理論，造成了精力浪費(fèi).本文將通過新的途徑，從根基上講清楚旋度概念的由來和確切含義.并且指出計(jì)算矢量場(chǎng)沿?zé)o窮短線段的線積分時(shí)人們常犯的錯(cuò)誤.

1　矢量場(chǎng)沿?zé)o窮小平面回路的線積分

矢量場(chǎng)f(r,t)是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，在某一空間區(qū)域Ω內(nèi)，矢量場(chǎng)f(r,t)沿各個(gè)坐標(biāo)軸的分量fxi(r,t)對(duì)各個(gè)坐標(biāo)xj的偏導(dǎo)數(shù)?fxi(r,t)/?xj連續(xù).如圖1所示：P(x,y,z)是Ω內(nèi)任意一點(diǎn).n是任意的坐標(biāo)軸，在過P點(diǎn)垂直于n軸的平面內(nèi)作一無窮小

圖1

回路l′圈圍P點(diǎn)，回路光滑或者分段光滑，并且使回路的繞行方向與n軸方向符合右手螺旋關(guān)系.回路l′處于Ω內(nèi)，P′(x′,y′,z′)是l′上的任意一點(diǎn).我們把無窮小回路l′進(jìn)一步細(xì)分為無窮多個(gè)線元，使每一個(gè)線元的長度與回路長度之比都趨于零.dl′是其中任意的一個(gè)線元矢量.

(1)

(2)

(3)

于是t時(shí)刻f沿回路l′的線積分(也叫做t時(shí)刻f沿回路l′的環(huán)量)為

∮l′f(P′)·dl′=∮l′fx(P′)dx′+

∮l′fy(P′)dy′+∮l′fz(P′)dz′

(4)

右邊第一項(xiàng)

(5)

(6)

同理可以推出

(7)

(8)

根據(jù)分部積分公式可以推出

∮l′z′dy′=-∮l′y′dz′，∮l′x′dz′=-∮l′z′dx′，

∮l′y′dx′=-∮l′x′dy′

把式(6)—式(8)和上面3個(gè)關(guān)系式代入式(4)，得

[ex∮l′y′dz′+ey∮l′z′dx′+ez∮l′x′dy′]

(9)

2　無窮小平面回路所圈圍的面元矢量

ez(z′-z)]×(exdx′+eydy′+ezdz′)=

(10)

無窮小回路l′圈圍的面元矢量為

+z∮l′dy′)+ey(∮l′z′dx′-z∮l′dx′-∮l′x′dz′+x∮l′dz′)+ez(∮l′x′dy′-x∮l′dy′-∮l′y′dx′+y∮l′dx′)]=

ex∮l′y′dz′+ey∮l′z′dx′+ez∮l′x′dy′

(11)

3　環(huán)量面密度

(12)

(13)

其中en表示n軸的方向矢量.上式也可表示為極限形式

(14)

其中l(wèi)⊥n表示過P點(diǎn)與n軸垂直的平面內(nèi)圈圍P點(diǎn)的回路，其繞向與n軸方向符合右手螺旋關(guān)系.ΔSn是回路l⊥n圈圍的平面面積.求極限時(shí)回路在此平面內(nèi)從一切方向朝P點(diǎn)無限收縮.

所以，式(14)簡(jiǎn)寫為

(15)

我們把左端的量叫做P點(diǎn)處與n軸垂直的平面內(nèi)矢量場(chǎng)f(r,t)的環(huán)量面密度，也叫做P點(diǎn)處矢量場(chǎng)f(r,t)繞n軸的環(huán)量面密度.

4　旋度

環(huán)量面密度的清楚的定義是：過P點(diǎn)作垂直于n軸的平面，在此平面內(nèi)作光滑或者分段光滑的回路l⊥n圈圍P點(diǎn)，并且使回路的繞向與n軸方向符合右手螺旋關(guān)系.寫出f(r,t)沿此回路的環(huán)量∮l⊥nf·dl與回路圈圍的平面面積ΔSn的比值∮l⊥nf·dl/ΔSn，然后讓回路在此平面內(nèi)從一切方向朝P點(diǎn)無限收縮，算出比值的極限，此極限就定義為P點(diǎn)處矢量場(chǎng)f(r,t)繞n軸的環(huán)量面密度.矢量場(chǎng)f(r,t)中P點(diǎn)環(huán)量面密度概念成立的條件是f(r,t)的各個(gè)分量對(duì)各個(gè)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)在P點(diǎn)處連續(xù).

5　結(jié)語

上述的旋度理論，不依賴于斯托克斯公式，斯托克斯公式反而是它的一個(gè)推論.把一個(gè)有限大小的回路所圈圍的曲面分割為無窮多個(gè)平面面元，對(duì)每一個(gè)面元，式(12)都成立.把各個(gè)面元對(duì)應(yīng)的式子全部加在一起，就可以推出斯托克斯公式.

式(12)給出了矢量場(chǎng)沿?zé)o窮小平面回路的線積分的簡(jiǎn)潔算法，但是它也掩蓋了計(jì)算的細(xì)節(jié).需要強(qiáng)調(diào)的是，計(jì)算矢量場(chǎng)f(r,t)沿?zé)o窮小回路的線積分時(shí)，即使回路是矩形狀的，仍然需要把回路細(xì)分為無窮多個(gè)線元，使每一個(gè)線元的長度與回路長度之比都趨于零.矢量場(chǎng)f(r,t)沿?zé)o窮小矩形回路的一條邊的線積分，并不等于這條邊上任意一點(diǎn)處的f(r,t)點(diǎn)乘與這條邊對(duì)應(yīng)的線元矢量，但是在f(r,t)的分量對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的情況下，它等于這條邊中點(diǎn)處的f(r,t)點(diǎn)乘與這條邊對(duì)應(yīng)的線元矢量.

例如，對(duì)如圖2所示的長為dx、寬為dy的逆時(shí)針繞向的無窮小矩形回路，矢量場(chǎng)f(r,t)沿AB邊的線積分∫ABf(r,t)·dr，并不等于AB邊上任意點(diǎn)處的f(r,t)點(diǎn)乘(-exdx)，但是在f(r,t)的分量對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的情況下，它等于AB邊中點(diǎn)處的f(r,t)點(diǎn)乘(-exdx).

圖2

AB邊上任意點(diǎn)處的f(r,t)點(diǎn)乘(-exdx)，與AB邊中點(diǎn)處的f(r,t)點(diǎn)乘(-exdx)，兩者都是一階無窮小量，并且可以證明，它們的差別是二階無窮小量，似乎可以忽略它們之間的差別.但是現(xiàn)在我們的目的是計(jì)算矢量場(chǎng)沿?zé)o窮小矩形回路的線積分，它只是一個(gè)二階無窮小量，所以計(jì)算矢量場(chǎng)沿?zé)o窮小矩形回路每一條邊的線積分時(shí)，都應(yīng)精確到二階無窮小量，因此在這種情形下不能忽略AB邊上任意點(diǎn)處的f(r,t)點(diǎn)乘(-exdx)與AB邊中點(diǎn)處的f(r,t)點(diǎn)乘(-exdx)這兩者之間的差別.

如果用無窮小矩形邊上任意一點(diǎn)處的矢量場(chǎng)點(diǎn)乘此無窮短邊對(duì)應(yīng)的線元矢量所得結(jié)果來代替矢量場(chǎng)沿此無窮短邊的線積分，用這樣的4個(gè)點(diǎn)乘項(xiàng)之和代替矢量場(chǎng)沿矩形回路的線積分，那么環(huán)量的計(jì)算誤差就達(dá)到和環(huán)量本身可以相比較的程度，

都是

二階無窮小量，導(dǎo)致最終得出環(huán)量面密度竟然與4個(gè)點(diǎn)在無窮小矩形邊上的位置(即它們對(duì)矩形邊的分割方式)密切相關(guān)這一錯(cuò)誤結(jié)論.

例如，對(duì)圖2所示的回路，我們用上述錯(cuò)誤的方法算得矩形中心處繞z軸的平行軸的環(huán)量面密度等于

有的教科書在推導(dǎo)旋度公式時(shí)用了這個(gè)規(guī)律，但是沒有意識(shí)到需要做出解釋[3].

這是一條微妙的規(guī)律.我們將在下一篇論文中闡述這條規(guī)律，并且介紹它在電磁場(chǎng)切向邊值關(guān)系中的應(yīng)用.

[1]文麗,吳良大.高等數(shù)學(xué)(物理類.第二冊(cè))[M].北京:北京大學(xué)出版社,1990,326-352,119-122.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))[M].4版.北京:高等教育出版社,1996:214-224.

[3]楊憲章.工程電磁場(chǎng)[M].2版.北京:中國電力出版社,2011:17-19.

Building of curl concept from scratch

LUO Ling-xiao

(Faculty Engineering, Dali University, Dali,Yunnan 671003,China)

vector field; the surface density of circulation; curl

2015-07-02；

2015-10-31

羅凌霄(1964—),男,白族,云南劍川人,大理大學(xué)工程學(xué)院教授,主要從事電磁場(chǎng)理論的教學(xué)與研究工作..

O 411

A

1000- 0712(2016)03- 0008- 03