關(guān)于洛希極限下的引力輻射

韓勝強

(焦作師范高等?？茖W(xué)校 理工學(xué)院，河南 焦作　461400)

?

關(guān)于洛希極限下的引力輻射

韓勝強

(焦作師范高等?？茖W(xué)校 理工學(xué)院，河南 焦作461400)

指出了對于行星(或是衛(wèi)星)繞主星體公轉(zhuǎn)由于發(fā)射引力波損失動能而出現(xiàn)向主星體接近的速度，如果行星對主星體的洛希極限在主星體的外部，那么行星在由于引力輻射而向主星體接近的速度驅(qū)使下到達其洛希極限時就會被主星體的潮汐力所撕裂，引力輻射在此時終結(jié)，筆者計算給出了行星被撕裂的時間方程式.以太陽系中的土星為例子計算了它因引力輻射向太陽接近時被潮汐掉的時間，并將這一想法推廣到相互繞轉(zhuǎn)的雙星系統(tǒng)或彗星.

引力輻射;洛希極限;接近;潮汐力;碎裂

關(guān)于動體的弱場引力輻射是由A.Einstein在他的廣義相對論的著作中提出的[1].盡管有關(guān)引力波的理論工作在逐漸走向成熟，但在實驗上并沒有直接探測到，引力輻射和引力波的理論探討和實驗檢測一直是引力研究領(lǐng)域的核心問題之一[2].美國科學(xué)家韋伯是首個用實驗去檢驗引力波的人，他曾宣稱檢測到來自銀河系中心的引力輻射，但后來沒被證實.引力波的發(fā)現(xiàn)對我們了解宇宙起源意義重大.筆者在這里考慮了對于繞主星體公轉(zhuǎn)發(fā)射引力波的行星(或衛(wèi)星)在到達其洛希極限被撕碎而解體時引力輻射所終止的時間，在推廣到雙星或密度比較小的彗星時我們有必要考慮這一情況.

假設(shè)一個質(zhì)量為m的行星繞著一個質(zhì)量為M的主星體(或者視為恒星)以角速度ω公轉(zhuǎn)，它們之間的距離為r,公轉(zhuǎn)軌道近似為圓形.由于這顆行星有隨時間變化的引力四極矩，那么它會發(fā)出引力輻射，即四極輻射.我們在Landau-Lifshitz關(guān)于引力場的能量動量表述的基礎(chǔ)上，有弱場近似下的引力輻射功率為[3,4]

(1)

圖1

(2)

為了描述行星m在實驗室坐標系中的位置我們引入如下的坐標變換：

(3)

于是，行星在其主星體的引力場中做近似圓周運動的四極矩張量(為對稱張量)為

Qij=∫mδ(x1-x10,x2-x20,x3)xixjdV

(4)

Q11(t)=∫mδ(x1-x10,x2-x20,x3)x1x1dV=

I11cos2ωt

(5)

Q12(t)=Q21(t)=I11cosωtsinωt

(6)

Q22(t)=I11sin2ωt

(7)

其余的Qij(t) 都為零.

由式(5)—式(7)可以得到行星的四極矩張量對時間的三階導(dǎo)數(shù)為：

進一步得：

(8)

(9)

(10)

其中四極矩上的點表示對時間的微分，以上3個點代表對時間的三階微分.

將式(8)—式(10)代入式(1)得到行星m的引力輻射功率公式：

(11)

引力場是保守場，行星在引力場中運動的總的能量是其動能與勢能之和：

故行星由于引力輻射損失能量所引起的向主星體接近的速度為

(12)

將式(11)代入式(12)中得

(13)

由式(13)可以看出，行星輻射出能量后會向主星體靠近，距離越小接近的速度就越大.其實，這是由于行星的角動量在隨時間減小，輻射場對質(zhì)心的角動量在隨時間而增加的緣故[6].

如果我們假設(shè)，這個行星對其主星體的洛希極限在主星體的外面，也就是說有如下關(guān)系成立：

RRoche>R0

其中，RRoche為行星對其主星體的洛希極限，R0為主星體的半徑.那么行星由于引力輻射損失能量在向主星體接近時到達其洛希極限的時間為

整理后得到

作為例子，討論太陽系中的土星，假設(shè)其在不受其他因素影響下，在因引力輻射損失動能而向太陽接近時到達其洛希極限時因太陽的引潮力而碎裂的時間.

由洛希極限表達式：

其中，M⊕為主星體質(zhì)量，ρm為行星的密度.在我們討論的這一情況下，太陽的質(zhì)量為：M⊕=1.989×1030kg[7].土星的密度為：ρ0=700 kg·m-3，由此可以算出土星對太陽的洛希極限：

RRoche=1.267 228 129 051×109m

且有

RRoche>R⊙,(R⊙為太陽半徑)

也就是說土星的洛希極限暴露在太陽的球體以外，土星向太陽靠近(由于引力輻射)，那么在土星到達其對太陽的洛希極限時會因為太陽的引潮力而碎裂，土星的引力輻射會在此時終止.根據(jù)這些數(shù)據(jù)我們可以大致計算出這一時間為

t≈9.337 450 903 182 8×1024年

我們再次做出這樣一個假設(shè)：如果土星的洛希極限沒有暴露在太陽的球體之外，那么土星向太陽靠近并撞上太陽合并在一起，引力輻射在這樣的情況下終止的時間為

計算后得

t′≈9.337 450 903 188 6×1024年

由此便可得出在這樣的假設(shè)下，土星的引力輻射終

止的時間提前了：

Δt=t′-t

≈5.8×1012年

可見，這一提前的時間與總的時間相比數(shù)量級的差別是何等之大，顯得微不足道.當我們看到這些數(shù)據(jù)之后會發(fā)現(xiàn)它們的數(shù)量級驚人，事實上這也不足為奇，因為我們太陽系中的土星輻射功率是非常小的.以至于要想將動能完全輻射掉所需要的時間甚至要遠遠大于我們現(xiàn)在所了解的宇宙的年齡.

在這里我們以太陽系的土星為例子來對這一想法做出說明，我們也可以把它應(yīng)用到宇宙中的彗星、雙星系統(tǒng)或其他星系團中去.對于那些洛希極限暴露在主星體外面的行星(或衛(wèi)星)我們有必要去考慮這一因素.比如在1975年美國科學(xué)家J.泰勒和R.休斯首先發(fā)現(xiàn)的射電脈沖雙星 PSR1913+16 ，有科學(xué)家估計它們因引力輻射而引起的相互接近(旋進)直至合并所需要的時間大約為：3億年[8]，如果伴星對主星的洛希極限大于主星體的球體半徑，那么我認為這一時間有可能會提前.

[1]愛因斯坦.愛因斯坦文集(增訂本)第二卷[M].范岱年，趙中立，許良英，譯.北京：商務(wù)印書館，2009：427-444.

[2]青心.對-諧條件下不存在引力輻射和引力波的研究[J].物理學(xué)報，2000，49(2).

[3]E.M.栗弗席茲，朗道.場論[M].任朗，袁炳楠，譯.北京：人民教育出版社，1978.

[4]劉遼，趙崢.廣義相對論[M].2版.北京：高等教育出版社2004:136.

[5]趙崢，劉文彪.廣義相對論基礎(chǔ)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2010:110.

[6]汪定雄.引力輻射與角動量守恒[J].大學(xué)物理，1992，11(10)：24-25.

[7]靳鐵良.天體系統(tǒng)和粒子系統(tǒng)的相似性歸納[J].平頂山師專學(xué)報 2002,17(2).

[8]PSR B1913+16[EB/OL].http://zh.wikipedia.org/wiki/PSR_1913%2B16.

The gravitational radiation under the roche limit

HAN Sheng-qiang

(School of Science and Engineering，Jiaozuo Teachers College,Jiaozuo, Henan 461400, China)

This paper points out that a planet (or a satellite) revolving around a primary star may generate a velocity component towards the star because of kinetic energy loss due to gravitational wave emission and, if the Roche limit of the planet with respect to the primary star lies outside of the star surface, the planet, driven by the velocity component towards the star, will ultimately approach the Roche limit, where it is ripped apart by the tidal force and where the gravitational radiation terminates. The author gives an equation for computing the time at which the planet is ripped apart. A computation example is given using Saturn in the solar system as the study subject, in which the time of its ripping apart by tidal force is computed as it approaches the Sun under the influence of gravitational radiation. This philosophy is further generalized to binary stars that revolving around each other and to comets.

gravitational radiation; Roche limit; approach; tidal force; ripping apart

2015-06-13；

2015-11-12

韓勝強(1992—)，男，河南周口人，焦作師范高等?？茖W(xué)校理工學(xué)院2012級?？粕?，學(xué)習(xí)和研究理論物理及宇宙量子現(xiàn)象.

大學(xué)生園地

O 412

A

1000- 0712(2016)03- 0054- 02