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    一維氫原子模型中的空間分離

    2016-10-15 03:29:06劉天貴劉全慧
    大學(xué)物理 2016年3期
    關(guān)鍵詞:物理模型

    王 鑫,劉天貴,劉全慧

    (湖南大學(xué) 物理與微電子科學(xué)學(xué)院 理論物理研究所,湖南 長沙410082)

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    一維氫原子模型中的空間分離

    王鑫,劉天貴,劉全慧

    (湖南大學(xué) 物理與微電子科學(xué)學(xué)院 理論物理研究所,湖南 長沙410082)

    一維氫原子模型原始的定義在全空間x∈(-∞,∞),多年的研究發(fā)現(xiàn),由于勢~-1/|x|的奇異性比想象嚴(yán)重,空間被分割成為了兩個(gè)獨(dú)立的半無限空間.在這兩個(gè)獨(dú)立的空間中,分別定義了兩個(gè)半空間中的氫原子.

    一維氫原子模型;空間分離;奇異勢能

    1 一維氫原子模型,通常教科書中“標(biāo)準(zhǔn)”處理及其結(jié)果

    一維氫原子模型指的是一個(gè)負(fù)電荷(-q)在一個(gè)質(zhì)量無限大的正電荷Q中的運(yùn)動,最簡單的情況是Q=q=e為電子電荷的絕對值.電勢能為

    (1)

    其中k=qQ/(4πε0)→e2/(4πε0)為一正常數(shù),|x|為正負(fù)電荷間的距離.在量子力學(xué)中,哈密頓算符為

    (2)

    定態(tài)薛定諤方程為

    Hψ=Eψ

    (3)

    物理學(xué)界第一次注意到這個(gè)問題是1952年[1],后來又反復(fù)回到這一問題.2009年的一篇《論一維庫侖問題》[2]的短文,列出了54篇相關(guān)文獻(xiàn),而這篇論文現(xiàn)有15篇引用(2015年10月3日google數(shù)據(jù)).當(dāng)然,這些論文不全是、也不可能是這個(gè)問題的全部研究論文.對這個(gè)問題的研究興趣持續(xù)不減,至今(2015年)仍是[3,4],既有理論上的原因,例如它涉及到很現(xiàn)代的概念例如超對稱[2]、重整化[5]等;也由于多種物理問題可以用相互作用進(jìn)行近似處理,詳情可參見文獻(xiàn)[2]中的綜述部分.

    從教學(xué)研究的角度看,對于一維體系,有3個(gè)相關(guān)的定理.定理之一是:基態(tài)無簡并且沒有節(jié)點(diǎn).定理之二是:粒子在對稱勢場中運(yùn)動,那么對于某一能級的定態(tài),如果沒有簡并,則該態(tài)具有確定的宇稱.定理之三是:粒子在充分規(guī)則的勢場中運(yùn)動,如果有束縛態(tài),則必定不是簡并的.

    由于一維氫原子模型的勢能在x=0處奇異,故不滿足定理三;由于定理二處理的是一般情況,本質(zhì)上也要求勢函數(shù)充分規(guī)則,所以定理二也不適用.只剩下定理一,似乎不能不滿足,但是問題遠(yuǎn)比預(yù)期復(fù)雜.

    從表面上看,方程(3)的解可以通過如下過程而獲得.

    1) 對于非奇異態(tài),波函數(shù)本身及其導(dǎo)數(shù)連續(xù),故ψ(0)=0. 證明如下.

    現(xiàn)在處理的是全一維空間x∈(-∞,∞),而x=0是勢能V(x)的奇點(diǎn),也就是系統(tǒng)哈密頓算符的奇點(diǎn),這一點(diǎn)的態(tài)只能由邊值關(guān)系來確定.對式(3)的兩邊同時(shí)積分,得

    (4)

    第二個(gè)積分是一個(gè)廣義積分,需要研究其積分主值

    (5)

    這個(gè)積分有意義要求滿足條件:

    ψ(0-)+ψ(0+)=0

    (6)

    另一方面,波函數(shù)本身必須連續(xù),即

    ψ(0-)=ψ(0+)=ψ(0)

    (7)

    故得

    ψ(0)=0

    (8)

    證畢.

    2) 基態(tài)可能是奇異態(tài),可以利用各種漸近過程去逼近這個(gè)奇異態(tài).一種方式就是利用如下勢能:

    (9)

    先求出基態(tài),然后讓參量α→0,或者β→0,發(fā)現(xiàn)可能存在一個(gè)奇異態(tài):

    (10)

    這個(gè)態(tài)對應(yīng)的能量為負(fù)無窮大,即

    E0=-∞

    (11)

    3) 哈密頓算符(2)具有一個(gè)明顯的性質(zhì):宇稱算符P和哈密頓H對易,即

    [H,P]=0

    (12)

    (13)

    (14)

    它們構(gòu)成二重簡并態(tài),對應(yīng)的能量本征值為

    (15)

    也就是通常的氫原子能級.

    2 “標(biāo)準(zhǔn)”結(jié)果中的一些數(shù)學(xué)上的困難

    1) 數(shù)學(xué)上,哈密頓算符(2)不是一個(gè)自伴算符[4,5].這個(gè)算符從形式上看,是如下算符的極限:

    (16)

    這兩個(gè)算符是自伴算符!但是,H(α→0)≠H(α=0),也就是自伴算符的極限完全可以是非自伴算符.如何理解這個(gè)“怪異”的現(xiàn)象呢?

    一般來說,數(shù)學(xué)上,極限有3種情況.下面用定義在一個(gè)圓域r∈[0,1)內(nèi)的函數(shù)f(r)的數(shù)值和它在邊界r=1點(diǎn)處函數(shù)值f(1)之間的關(guān)系來說明.第一種情況最簡單,f(1)極限存在,而這點(diǎn)的極限數(shù)值可以通過逼近來獲得,有

    f(1)=f(0.999…)

    (17)

    第二情況是,f(1)極限存在,而這點(diǎn)的極限數(shù)值不可以通過逼近來獲得,即

    f(1)≠f(0.999…)

    (18)

    一個(gè)半徑為1的圓形的篩子,就屬于這種情況.注意這個(gè)篩子是一個(gè)理想的數(shù)學(xué)抽象,邊沿不連續(xù)地直立向上而底面是圓面,這個(gè)邊沿的厚度為零.

    第三情況是,r=1根本沒有定義,談?wù)撨@點(diǎn)的極限數(shù)值無意義.一個(gè)例子是上面的圓形篩子把邊齊根剪掉之后的情況.

    很明顯,我們碰到一個(gè)極為容易忽視的問題,表面上看來,式(2)是式(15)的極限,也就是屬于上面的第一種情況,其實(shí)不是!當(dāng)a=β=0時(shí),算符不是自伴算符,根本不屬于自伴算符族H(α)或者H(β)中a→0或者β→0的極限情況.故屬于第二種情況式(18).

    (19)

    也就是有

    ψ′(0+)-ψ′(0-)=0

    (20)

    而把式(14)代入后發(fā)現(xiàn)[6,7]:

    ψ′(0+)-ψ′(0-)≠0

    (21)

    故而應(yīng)該剔除偶宇稱解.

    以上3點(diǎn),不是數(shù)學(xué)困難的全部,有些問題超出了大學(xué)物理的范圍,例如來自超選擇規(guī)則(superselection rule)[6],超對稱勢伴(supersymmetric partner)勢[6],等等,可以參看有關(guān)專業(yè)文獻(xiàn).

    3 “標(biāo)準(zhǔn)”結(jié)果中的一些物理上的困難

    1) 任何波包都不隨時(shí)間演化.任意構(gòu)造一個(gè)波包:

    (22)

    直接計(jì)算可得它不僅概率流密度為零,而且位置和動量的期待值為零:

    j(0)=0,〈x〉=0,〈p〉=0

    (23)

    這個(gè)結(jié)果暗示,從這個(gè)系統(tǒng)中讀不出任何信息.要么這是一個(gè)完全非物理的模型;要么它是一個(gè)物理的模型,但我們可能忽視了某個(gè)重要的原則.

    (24)

    把這個(gè)結(jié)果延拓到E<0(復(fù)γ)能域,T的簡單極點(diǎn)對應(yīng)的束縛態(tài)能量正好是E=-μγ2/(2?2).

    3) 一個(gè)不是很嚴(yán)重的困難是基態(tài)解的負(fù)無窮能量問題.任何高能級上的粒子會由于自發(fā)躍遷而向基態(tài)躍遷,如果這樣,系統(tǒng)將一直呆在基態(tài)上.反過來,如果粒子已經(jīng)在基態(tài)上,似乎就無法躍遷到激發(fā)態(tài)去.不過,自發(fā)躍遷要求有物理真空的存在,而對一維系統(tǒng)如何定義這一真空,且這一真空是否可導(dǎo)致通常的自發(fā)躍遷不是很清楚;反過來,如果存在一維真空,而真空中有無限大的能量,這個(gè)能量足夠把基態(tài)上的粒子激發(fā)出來.

    4) 另外一個(gè)不是很嚴(yán)重的困難是,這個(gè)問題沒有經(jīng)典對應(yīng).在經(jīng)典力學(xué)中,這個(gè)問題的解認(rèn)為粒子只能分別局限在兩個(gè)半空間中運(yùn)動,而不能從左半空間運(yùn)動到右半空間去.為什么這個(gè)困難也不是很嚴(yán)重? 這是因?yàn)?,?jīng)典力學(xué)中不存在的東西,量子力學(xué)中可以存在.

    4 “標(biāo)準(zhǔn)”結(jié)果的數(shù)學(xué)和物理的困難導(dǎo)致必須正確理解一維氫原子模型

    定義在一維全空間x∈(-∞,∞)中的一維氫原子模型,有許多困難,但是根本的困難在于x=0時(shí),勢的奇異性太厲害,以至于把空間分割成為了兩個(gè)獨(dú)立的半無限空間.這樣,一維氫原子模型變得異常簡單,

    (25)

    這個(gè)系統(tǒng)的能量就是氫原子能級式(15),定態(tài)為φn(x),(x>0)或者φn(-x),(x<0).它本質(zhì)上就是三維氫原子中零角動量的解.

    如果考慮到核半徑的有限性,一維氫原子模型的勢能最好由式(9)來描述,這個(gè)時(shí)候,奇宇稱和偶宇稱的解同時(shí)存在,但是不簡并[10].關(guān)于一維體系的許多量子力學(xué)定理都平庸地適用.

    5 結(jié)論和討論

    盡管形式一樣,二維、三維空間中庫侖勢-1/r的奇異性和一維勢-1/|x|的奇異性完全不同.一維氫原子模型不能定義在全空間x∈(-∞,∞),由于勢的奇異性太嚴(yán)重,以至于x=0處,空間被分割成為了兩個(gè)獨(dú)立的半無限空間.每個(gè)半空間中都有一個(gè)一維氫原子.

    對于奇異系統(tǒng),不是一些已知的定理能不能用的問題,而是根本不在同一框架中.這說明在物理學(xué)中,每碰到特異性時(shí),往往需要單獨(dú)研究.

    [1]Flügge S,Marschall H.Rechenmethoden der Quantentheorie [M].Berlin: Springer-Verlag,1952:69.

    [2]Benjamín Jaramilloa,Martínez-y-Romerob R P,Núez-Yépezc H N,et al. On the one-dimensional Coulomb problem[J],Phys Lett A,2009,374(2):150-153.

    [3]Carrillo-Bernal M A,Núez-Yépez H N,Salas-Brito A L,et al. Comment on “Calculations for the one-dimensional soft Coulomb problem and the hard Coulomb limit” [J].Phys Rev E,2015,91: 027301.

    [4]Daniel H Gebremedhin,Charles A Weatherford.Calculations for the one-dimensional soft Coulomb problem and the hard Coulomb limit [J].Phys Rev E,2014,89:053319;Reply to “Comment on ‘Calculations for the one-dimensional soft Coulomb problem and the hard Coulomb limit’ ” [J].Phys Rev E,2015,91: 027302.

    [5]Mineev V S.The Physics of Self-Adjoint Extensions: One-Dimensional Scattering Problem for the Coulomb Potential [J].Teoret Mat Fiz,2004,140(2): 310-328.

    [7]Dai Xianxi,Dai Jixin,Dai Jiqiong.Orthogonality criteria for singular states and the nonexistence of stationary states with even parity for the one-dimensional hydrogen atom [J].Phys Rev A,1997,55: 2617.

    [8] Oseguera U,de Llano M.Two singular potentials: The space-splitting effect [J].J Math Phys,1993,34: 4575.

    [9]曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)(卷I)[M].5版.北京:科學(xué)出版社,2013:91;240.

    [10]Daniel H Gebremedhin,Charles A Weatherford.Calculations for the one-dimensional soft Coulomb problem and the hard Coulomb limit [J].Phys Rev E,2014,89: 053319.

    Space-splitting in the one-dimensional hydrogen atom model

    WANG Xin,LIU Tian-gui,LIU Quan-hui

    (School for Theoretical Physics,School of Physics and Microelectronic Science,Hunan University,Changsha,Hunan 410082,China)

    The potential energy for one-dimensional hydrogen atom is usually modelled by-1/|x|over the entire spacex∈(-∞,∞).Studies over years reach a consensus that the space is separated into two impermeably semi-infinite spaces due to the serious singularity of the potential.In the two spaces, there exist two independent one-dimensional hydrogen atoms.

    one-dimensional hydrogen atom;space-splitting;singular potential

    2015-08-00;

    2015-10-08

    國家自然科學(xué)基金資助課題(批準(zhǔn)號:11175063);湖南大學(xué)教改基金資助課題.

    王鑫(1966-),女,河南舞陽人,湖南大學(xué)物電院副教授,博士.

    O 413.1

    A

    1000- 0712(2016)03- 0030- 04

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