王 鑫,劉天貴,劉全慧
(湖南大學(xué) 物理與微電子科學(xué)學(xué)院 理論物理研究所,湖南 長沙410082)
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一維氫原子模型中的空間分離
王鑫,劉天貴,劉全慧
(湖南大學(xué) 物理與微電子科學(xué)學(xué)院 理論物理研究所,湖南 長沙410082)
一維氫原子模型原始的定義在全空間x∈(-∞,∞),多年的研究發(fā)現(xiàn),由于勢~-1/|x|的奇異性比想象嚴(yán)重,空間被分割成為了兩個獨立的半無限空間.在這兩個獨立的空間中,分別定義了兩個半空間中的氫原子.
一維氫原子模型;空間分離;奇異勢能
一維氫原子模型指的是一個負電荷(-q)在一個質(zhì)量無限大的正電荷Q中的運動,最簡單的情況是Q=q=e為電子電荷的絕對值.電勢能為
(1)
其中k=qQ/(4πε0)→e2/(4πε0)為一正常數(shù),|x|為正負電荷間的距離.在量子力學(xué)中,哈密頓算符為
(2)
定態(tài)薛定諤方程為
Hψ=Eψ
(3)
物理學(xué)界第一次注意到這個問題是1952年[1],后來又反復(fù)回到這一問題.2009年的一篇《論一維庫侖問題》[2]的短文,列出了54篇相關(guān)文獻,而這篇論文現(xiàn)有15篇引用(2015年10月3日google數(shù)據(jù)).當(dāng)然,這些論文不全是、也不可能是這個問題的全部研究論文.對這個問題的研究興趣持續(xù)不減,至今(2015年)仍是[3,4],既有理論上的原因,例如它涉及到很現(xiàn)代的概念例如超對稱[2]、重整化[5]等;也由于多種物理問題可以用相互作用進行近似處理,詳情可參見文獻[2]中的綜述部分.
從教學(xué)研究的角度看,對于一維體系,有3個相關(guān)的定理.定理之一是:基態(tài)無簡并且沒有節(jié)點.定理之二是:粒子在對稱勢場中運動,那么對于某一能級的定態(tài),如果沒有簡并,則該態(tài)具有確定的宇稱.定理之三是:粒子在充分規(guī)則的勢場中運動,如果有束縛態(tài),則必定不是簡并的.
由于一維氫原子模型的勢能在x=0處奇異,故不滿足定理三;由于定理二處理的是一般情況,本質(zhì)上也要求勢函數(shù)充分規(guī)則,所以定理二也不適用.只剩下定理一,似乎不能不滿足,但是問題遠比預(yù)期復(fù)雜.
從表面上看,方程(3)的解可以通過如下過程而獲得.
1) 對于非奇異態(tài),波函數(shù)本身及其導(dǎo)數(shù)連續(xù),故ψ(0)=0. 證明如下.
現(xiàn)在處理的是全一維空間x∈(-∞,∞),而x=0是勢能V(x)的奇點,也就是系統(tǒng)哈密頓算符的奇點,這一點的態(tài)只能由邊值關(guān)系來確定.對式(3)的兩邊同時積分,得
(4)
第二個積分是一個廣義積分,需要研究其積分主值
(5)
這個積分有意義要求滿足條件:
ψ(0-)+ψ(0+)=0
(6)
另一方面,波函數(shù)本身必須連續(xù),即
ψ(0-)=ψ(0+)=ψ(0)
(7)
故得
ψ(0)=0
(8)
證畢.
2) 基態(tài)可能是奇異態(tài),可以利用各種漸近過程去逼近這個奇異態(tài).一種方式就是利用如下勢能:
(9)
先求出基態(tài),然后讓參量α→0,或者β→0,發(fā)現(xiàn)可能存在一個奇異態(tài):
(10)
這個態(tài)對應(yīng)的能量為負無窮大,即
E0=-∞
(11)
3) 哈密頓算符(2)具有一個明顯的性質(zhì):宇稱算符P和哈密頓H對易,即
[H,P]=0
(12)
(13)
(14)
它們構(gòu)成二重簡并態(tài),對應(yīng)的能量本征值為
(15)
也就是通常的氫原子能級.
1) 數(shù)學(xué)上,哈密頓算符(2)不是一個自伴算符[4,5].這個算符從形式上看,是如下算符的極限:
(16)
這兩個算符是自伴算符!但是,H(α→0)≠H(α=0),也就是自伴算符的極限完全可以是非自伴算符.如何理解這個“怪異”的現(xiàn)象呢?
一般來說,數(shù)學(xué)上,極限有3種情況.下面用定義在一個圓域r∈[0,1)內(nèi)的函數(shù)f(r)的數(shù)值和它在邊界r=1點處函數(shù)值f(1)之間的關(guān)系來說明.第一種情況最簡單,f(1)極限存在,而這點的極限數(shù)值可以通過逼近來獲得,有
f(1)=f(0.999…)
(17)
第二情況是,f(1)極限存在,而這點的極限數(shù)值不可以通過逼近來獲得,即
f(1)≠f(0.999…)
(18)
一個半徑為1的圓形的篩子,就屬于這種情況.注意這個篩子是一個理想的數(shù)學(xué)抽象,邊沿不連續(xù)地直立向上而底面是圓面,這個邊沿的厚度為零.
第三情況是,r=1根本沒有定義,談?wù)撨@點的極限數(shù)值無意義.一個例子是上面的圓形篩子把邊齊根剪掉之后的情況.
很明顯,我們碰到一個極為容易忽視的問題,表面上看來,式(2)是式(15)的極限,也就是屬于上面的第一種情況,其實不是!當(dāng)a=β=0時,算符不是自伴算符,根本不屬于自伴算符族H(α)或者H(β)中a→0或者β→0的極限情況.故屬于第二種情況式(18).
(19)
也就是有
ψ′(0+)-ψ′(0-)=0
(20)
而把式(14)代入后發(fā)現(xiàn)[6,7]:
ψ′(0+)-ψ′(0-)≠0
(21)
故而應(yīng)該剔除偶宇稱解.
以上3點,不是數(shù)學(xué)困難的全部,有些問題超出了大學(xué)物理的范圍,例如來自超選擇規(guī)則(superselection rule)[6],超對稱勢伴(supersymmetric partner)勢[6],等等,可以參看有關(guān)專業(yè)文獻.
1) 任何波包都不隨時間演化.任意構(gòu)造一個波包:
(22)
直接計算可得它不僅概率流密度為零,而且位置和動量的期待值為零:
j(0)=0,〈x〉=0,〈p〉=0
(23)
這個結(jié)果暗示,從這個系統(tǒng)中讀不出任何信息.要么這是一個完全非物理的模型;要么它是一個物理的模型,但我們可能忽視了某個重要的原則.
(24)
把這個結(jié)果延拓到E<0(復(fù)γ)能域,T的簡單極點對應(yīng)的束縛態(tài)能量正好是E=-μγ2/(2?2).
3) 一個不是很嚴(yán)重的困難是基態(tài)解的負無窮能量問題.任何高能級上的粒子會由于自發(fā)躍遷而向基態(tài)躍遷,如果這樣,系統(tǒng)將一直呆在基態(tài)上.反過來,如果粒子已經(jīng)在基態(tài)上,似乎就無法躍遷到激發(fā)態(tài)去.不過,自發(fā)躍遷要求有物理真空的存在,而對一維系統(tǒng)如何定義這一真空,且這一真空是否可導(dǎo)致通常的自發(fā)躍遷不是很清楚;反過來,如果存在一維真空,而真空中有無限大的能量,這個能量足夠把基態(tài)上的粒子激發(fā)出來.
4) 另外一個不是很嚴(yán)重的困難是,這個問題沒有經(jīng)典對應(yīng).在經(jīng)典力學(xué)中,這個問題的解認為粒子只能分別局限在兩個半空間中運動,而不能從左半空間運動到右半空間去.為什么這個困難也不是很嚴(yán)重? 這是因為,經(jīng)典力學(xué)中不存在的東西,量子力學(xué)中可以存在.
定義在一維全空間x∈(-∞,∞)中的一維氫原子模型,有許多困難,但是根本的困難在于x=0時,勢的奇異性太厲害,以至于把空間分割成為了兩個獨立的半無限空間.這樣,一維氫原子模型變得異常簡單,
(25)
這個系統(tǒng)的能量就是氫原子能級式(15),定態(tài)為φn(x),(x>0)或者φn(-x),(x<0).它本質(zhì)上就是三維氫原子中零角動量的解.
如果考慮到核半徑的有限性,一維氫原子模型的勢能最好由式(9)來描述,這個時候,奇宇稱和偶宇稱的解同時存在,但是不簡并[10].關(guān)于一維體系的許多量子力學(xué)定理都平庸地適用.
盡管形式一樣,二維、三維空間中庫侖勢-1/r的奇異性和一維勢-1/|x|的奇異性完全不同.一維氫原子模型不能定義在全空間x∈(-∞,∞),由于勢的奇異性太嚴(yán)重,以至于x=0處,空間被分割成為了兩個獨立的半無限空間.每個半空間中都有一個一維氫原子.
對于奇異系統(tǒng),不是一些已知的定理能不能用的問題,而是根本不在同一框架中.這說明在物理學(xué)中,每碰到特異性時,往往需要單獨研究.
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Space-splitting in the one-dimensional hydrogen atom model
WANG Xin,LIU Tian-gui,LIU Quan-hui
(School for Theoretical Physics,School of Physics and Microelectronic Science,Hunan University,Changsha,Hunan 410082,China)
The potential energy for one-dimensional hydrogen atom is usually modelled by-1/|x|over the entire spacex∈(-∞,∞).Studies over years reach a consensus that the space is separated into two impermeably semi-infinite spaces due to the serious singularity of the potential.In the two spaces, there exist two independent one-dimensional hydrogen atoms.
one-dimensional hydrogen atom;space-splitting;singular potential
2015-08-00;
2015-10-08
國家自然科學(xué)基金資助課題(批準(zhǔn)號:11175063);湖南大學(xué)教改基金資助課題.
王鑫(1966-),女,河南舞陽人,湖南大學(xué)物電院副教授,博士.
O 413.1
A
1000- 0712(2016)03- 0030- 04